2018-2019学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷
一、选择题；本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的
1．（4分）已知复数z＝（1+x）+i（i为虚数单位，x∈R）在复平面内对应的点在第二象限，那么x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜0 D．0＜x＜1
2．（4分）已知a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定成立的是（　　）
A．b﹣a＜0 B．|a|＞|b| C．a2＜ab D．
3．（4分）已知等差数列{an}的前15项和S15＝45，那么a4+a12等于（　　）
A．6 B．10 C．12 D．15
4．（4分）已知复数z，则z为（　　）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+2i D．1﹣2i
5．（4分）已知椭圆y2＝1的一个焦点是（2，0），那么实数k＝（　　）
A． B． C．3 D．5
6．（4分）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝﹣2，an+1＝Sn，那么a5＝（　　）
A．﹣4 B．﹣8 C．﹣16 D．﹣32
7．（4分）“直线l∥平面α”是“直线在平面α外”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（4分）已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）那么下列说法中：
①∥⇔α∥β；②⊥⇔α⊥β；③∥⇔l∥α；④⊥⇔l⊥α．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足λ，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，λ的值为（　　）

A． B． C． D．
10．（4分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为（　　）
A．1044 B．1024 C．1045 D．1025
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，
11．（4分）命题∀x∈R，x2﹣x+3＞0的否定是　 　．
12．（4分）当且仅当x＝　 　时，函数y＝4x（x＞0）取得最小值．
13．（4分）已知抛物线C的顶点在原点，准线方程为y＝﹣2，则抛物线C的标准方程为　 　．
14．（4分）不等式0的解集为　 　．
15．（4分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是　 　．
16．（4分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为60°时，那么线段PM的长度是　 　．

三、解答题：本大題共4小题，每小題9分，共36分，解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤
17．（9分）等差数列{an}中，a3＝6，a5＝10．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a4，a8分别是等比数列{bn}的第4项和第5项，试求数列{bn}的通项公式．
18．（9分）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C经过点P（3，6）．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）经过抛物线C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，求线段AB的长．
19．（9分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，PA＝AC＝4，AB＝2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线MN到平面BDE的距离；
（Ⅲ）求二面角B﹣DE﹣P的大小．

20．（9分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点P（﹣1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且P点平分线段AB，求直线AB的方程；
（Ⅲ）一条动直线l与椭圆C交于不同两点M，N，O为坐标原点，△OMN的面积为．求证：|OM|2+|ON|2为定值．

2018-2019学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题；本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的
1．（4分）已知复数z＝（1+x）+i（i为虚数单位，x∈R）在复平面内对应的点在第二象限，那么x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜0 D．0＜x＜1
【解答】解：复数z＝（1+x）+i（i为虚数单位，x∈R）在复平面内对应的点在第二象限，
则1+x＜0，解得x＜﹣1．
那么x的取值范围是x＜﹣1．
故选：A．
2．（4分）已知a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定成立的是（　　）
A．b﹣a＜0 B．|a|＞|b| C．a2＜ab D．
【解答】解：若a＜0，b＞0，则﹣a＞0，
则b﹣a＞0，故A错误，
|a|＞|b|不一定成立，
a2＞ab，则C不成立，
0，0，则，成立，故D正确，
故选：D．
3．（4分）已知等差数列{an}的前15项和S15＝45，那么a4+a12等于（　　）
A．6 B．10 C．12 D．15
【解答】解：∵等差数列{an}的前15项和S15＝45，
∴S15（a1+a15）45，
解得a4+a12＝6．
故选：A．
4．（4分）已知复数z，则z为（　　）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+2i D．1﹣2i
【解答】解：．
故选：A．
5．（4分）已知椭圆y2＝1的一个焦点是（2，0），那么实数k＝（　　）
A． B． C．3 D．5
【解答】解：因为椭圆y2＝1的一个焦点是（2，0），
所以k＞1，
所以k﹣1＝4，
k＝5．
故选：D．
6．（4分）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝﹣2，an+1＝Sn，那么a5＝（　　）
A．﹣4 B．﹣8 C．﹣16 D．﹣32
【解答】解：n≥2时，an+1＝Sn，an＝Sn﹣1，可得：an+1﹣an＝an，化为an+1＝2an．
n＝1时，a2＝a1＝﹣2．
∴数列{an}从第二项起为等比数列，公比为2，首项为﹣2．
那么a5＝﹣2×23＝﹣16．
故选：C．
7．（4分）“直线l∥平面α”是“直线在平面α外”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：“直线l与平面α平行”⇒“直线l在平面α外”
“直线l在平面α外”则直线l与平面α平行或相交，故“直线l在平面α外”不能推出“直线l与平面α平行”
故“直线l与平面α平行”是“直线l在平面α外”的充分非必要条件
故选：A．
8．（4分）已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）那么下列说法中：
①∥⇔α∥β；②⊥⇔α⊥β；③∥⇔l∥α；④⊥⇔l⊥α．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵平面α，β不重合；
∴平面α，β的法向量平行（垂直）等价于平面α，β平行（垂直）；
∴①②正确；
直线l的方向向量平行（垂直）于平面α的法向量等价于直线l垂直（平行）于平面α；
∴③④都错误．
故选：B．
9．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足λ，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，λ的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则P（λ，0，1），（，，﹣1），
平面ABC的一个法向量为（0，0，1）
∴sinθ，
∴当λ时，（sinθ）max，此时角θ最大为arcsin．
故选：A．

10．（4分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为（　　）
A．1044 B．1024 C．1045 D．1025
【解答】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，
即：第一组：20，
第二组：20，21，
第三组：20，21，22，
…
第k组：20，21，22，…，2k﹣1，
根据等比数列前n项和公式，
求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2k﹣1，
每项含有的项数为：1，2，3，…，k，
总共的项数为N＝1+2+3+…+k，
当k＝9时，45，
故该数列的前50项和为S50＝21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+29﹣1+1+2+4+8+169+31＝1044．
故选：A．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，
11．（4分）命题∀x∈R，x2﹣x+3＞0的否定是　∃x∈R，x2﹣x+3≤0　．
【解答】解：原命题为：∀x∈R，x2﹣x+3＞0
∵原命题为全称命题
∴其否定为存在性命题，且不等号须改变
∴原命题的否定为：∃x∈R，x2﹣x+3≤0
故答案为：∃x∈R，x2﹣x+3≤0
12．（4分）当且仅当x＝　　时，函数y＝4x（x＞0）取得最小值．
【解答】解：由于x＞0，由基本不等式可得，
当且仅当，即当时，等号成立．
故答案为：．
13．（4分）已知抛物线C的顶点在原点，准线方程为y＝﹣2，则抛物线C的标准方程为　x2＝8y　．
【解答】解：由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py，（p＞0），
∵准线方程为y＝﹣2，∴，解得p＝4．
∴抛物线C的标准方程为x2＝8y．
故答案为：x2＝8y．
14．（4分）不等式0的解集为　[1，3）　．
【解答】解：不等式等价为，
即，即1≤x＜3，
则不等式的解集为[1，3），
故答案为：[1，3）．
15．（4分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是　　．
【解答】解：∵△ABF2是正三角形，
∴∠AF2B＝60°，
∵直线AB与椭圆长轴垂直，
∴F2F1是正三角形△ABF2的高，∠AF2F160°＝30°，
Rt△AF2F1中，设|AF1|＝m，sin30°，
∴|AF2|＝2m，|F1F2|
因此，椭圆的长轴2a＝|AF1|+|AF2|＝3m，焦距2cm
∴椭圆的离心率为e．
故答案为：

16．（4分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为60°时，那么线段PM的长度是　　．

【解答】
解：如图建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），
∴，
∵E是棱PB的中点，∴E（1，1，1），
设M（0，m，2﹣m），则，
|cos|＝||，
解得m，
∴M（0，，），
∴PM，
故答案为：．

三、解答题：本大題共4小题，每小題9分，共36分，解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤
17．（9分）等差数列{an}中，a3＝6，a5＝10．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a4，a8分别是等比数列{bn}的第4项和第5项，试求数列{bn}的通项公式．
【解答】解：（Ⅰ）在等差数列{an}中，由a3＝6，a5＝10，
得d，
∴an＝a3+2（n﹣3）＝6+2n﹣6＝2n；
（Ⅱ）在等比数列{bn}中，有b4＝a4＝8，b5＝a8＝16，
∴公比q，
则．
18．（9分）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C经过点P（3，6）．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）经过抛物线C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，求线段AB的长．
【解答】解：（Ⅰ）由题意设抛物线C的标准方程为y2＝2px，
其图象经过点P（3，6），
则62＝6p，
解得p＝6，
∴抛物线C的标准方程为y2＝12x；
（Ⅱ）抛物线C的标准方程为y2＝12x，焦点F（3，0），准线方程为x＝﹣1；
过焦点且斜率为2的直线l方程为y＝2（x﹣3），
由，
消去y，整理得x2﹣9x+9＝0，
由根与系数的关系得x1+x2＝9，
∴线段AB的长为|AB|＝x1+x2+p＝9+6＝15．
19．（9分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，PA＝AC＝4，AB＝2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线MN到平面BDE的距离；
（Ⅲ）求二面角B﹣DE﹣P的大小．

【解答】证明：（Ⅰ）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E分别为棱PA，PC的中点，
M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，PA＝AC＝4，
AB＝2．
以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
M（0，0，1），B（2，0，0），C（0，4，0），
N（1，2，0），D（0，0，2），P（0，0，4），
E（0，2，2），
（1，2，﹣1），（﹣2，0，2），
（﹣2，2，2），
设平面BDE的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，0，1），
∵0，MN⊄平面BDE，
∴MN∥平面BDE．
（Ⅱ）（﹣2，0，1），
∴直线MN到平面BDE的距离：
d．
（Ⅲ）∵平面BDE的法向量（1，0，1），
平面DEP的法向量（1，0，0），
设二面角B﹣DE﹣P的大小为θ，
则cosθ．
∴θ．
∴二面角B﹣DE﹣P的大小为．

20．（9分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点P（﹣1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且P点平分线段AB，求直线AB的方程；
（Ⅲ）一条动直线l与椭圆C交于不同两点M，N，O为坐标原点，△OMN的面积为．求证：|OM|2+|ON|2为定值．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为1（a＞b＞0），
即有2b＝2，即b，e，即ac，
由a2﹣b2＝c2，可得a，
则椭圆方程为1；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），点P（﹣1，1）为AB的中点，可得
x1+x2＝﹣2，y1+y2＝2，
由2x12+3y12＝6，2x22+3y22＝6，相减可得
2（x1﹣x2）（x1+x2）＝﹣3（y1﹣y2）（y1+y2），
可得kAB，
即有直线AB的方程为y﹣1（x+1），化为2x﹣3y+5＝0；
（Ⅲ）证明：设M（x3，y3），N（x4，y4），则|OM|2+|ON|2＝x32+x42+y32+y42，
当直线l的斜率不存在时，M，N关于x轴对称，即x3＝x4，y3＝﹣y4，
由1，△OMN的面积为，可得•|x3|•|2y3|，
即有|x3|，|y3|＝1，可得|OM|2+|ON|2＝2（1）＝5；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m（m≠0），
代入椭圆方程2x2+3y2＝6，可得（2+3k2）x2+6km+3m2﹣6＝0，
可得x3+x4，x3x4，
△＝36k2m2﹣12（2+3k2）（m2﹣2）＞0，可得3k2+2＞m2，
|MN|•，
O到直线l的距离为d，
则S△MNOd|MN|•••，
化为2+3k2＝2m2，
即有x32+x42＝（x3+x4）2﹣2x3x4＝（）2﹣2•3，
y32+y42＝2（1）+2（1）＝4（x32+x42）＝43＝2，
则|OM|2+|ON|2＝x32+x42+y32+y42＝5，
综上可得，|OM|2+|ON|2为定值5．
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日期：2019/12/27 12:29:33；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265