2022北京石景山高一（上）期末数学（教师版）

2022北京石景山高一（上）期末

数    学

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知集合，且，则的值可能为　　

A． B． C．0 D．1

2．命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

3．下列函数中既是奇函数，又是减函数的是　　

A． B． C． D．

4．设，，，且，下列选项中一定正确的是　　

A． B． C． D．

5．设是定义在上的奇函数，且当时，，则（1）　　

A． B． C．0 D．2

6．函数的零点所在的区间是　　

A． B． C． D．

7．不等式的解集为，则函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

8．令，，，则，，的大小顺序是　　

A． B． C． D．

9．下列命题中不正确的是　　

A．一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数 

B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5 

C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙 

D．为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽取初中生20人，高中生10人．经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟

10．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：满足．若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为　　（参考数据：

A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

11．函数的定义域是 　　．

12．已知幂函数经过点，则　　．

13．制造一种零件，甲机床的正品率为0.9，乙机床的正品率为0.8．从它们制造的产品中各任抽1件，则两件都是正品的概率是 　　．

14．“”是“”的 　　条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分也不必要”

15．已知函数．

①当时，的值域为 　　；

②若在区间上单调递增，则的取值范围是 　　．

三、解答题：本大题共5个小题，共40分。应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（6分）已知集合，，．

（1）求，；

（2）若，求实数的取值范围．

17．（8分）已知函数．

（Ⅰ）用定义证明函数在区间上单调递增；

（Ⅱ）对任意，都有成立，求实数的取值范围．

18．（9分）某网站为调查某项业务的受众年龄，从订购该项业务的人群中随机选出200人，并将这200人的年龄按照，，，，，，，，，分成5组，得到的频率分布直方图如图所示：

（Ⅰ）求的值和样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中恰有1人年龄在，中的概率．

19．（8分）计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示．

（Ⅰ）将表示为的函数，并写出定义域；

（Ⅱ）当取何值时，取最大值？最大值是多少？

20．（9分）若实数，，满足，则称比远离．

（Ⅰ）若比远离1，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由．

参考答案

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．【分析】化简集合，利用元素与集合之间的关系即可得出．

【解答】解：集合，

四个选项中，只有，

故选：．

【点评】本题考查了元素与集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为，，

故选：．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

3．【分析】由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．

【解答】解：为奇函数，在上递减，故符合题意；

为奇函数，在上递增，故不符题意；

是对数函数，不是奇函数，在上递增，故不符题意；

是指数函数，不是奇函数，在上递增，故不符题意．

故选：．

【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题．

4．【分析】直接利用不等式的性质的应用判断、、、的结论．

【解答】解：对于：当时，，故错误；

对于：由于，所以，故错误；

对于：由于，当，时，所以不成立，故错误；

对于：由于，恒成立，故正确．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

5．【分析】利用奇函数的性质则有（1）求解即可．

【解答】解：因为是定义在上的奇函数，且当时，，

所以（1），

故选：．

【点评】本题考查了奇函数的性质，属于易做题，也可以求出的表达式再代值计算．

6．【分析】判断在递增，求得（3），（4）的值由零点存在定理即可判断．

【解答】解：函数，在时函数是连续增函数，

由（4），（3），

可得在存在零点．

故选：．

【点评】本题考查函数零点存在定理的运用，考查运算能力，属于基础题．

7．【分析】由条件可得， 的解集为，利用根与系数的关系求得，，从而得到函数，由此得到函数的图象．

【解答】解：不等式的解集为，，

故 的解集为．

和1是方程的两个根，故，，解得，．

故函数，其图象为，

故选：．

【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．

8．【分析】利用指数函数和对数函数的性质求解．

【解答】解：，，

，，

，，

，

故选：．

【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．

9．【分析】选项：根据众数与中位数的定义分别求出比较即可判断；选项：先将数据从小到大排列，然后根据百分位数的求法求解即可；选项：求出乙组数据的方差即可判断；选项：根据平均数的求法即可判断．

【解答】解：选项，2，3，3，4，5的众数为3，中位数为，故相等，所以错误，

选项将数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，则它们的分位数为，即为5，故正确，

选项：乙组数据的平均值为，所以方差为，

所以这两组数据中较稳定的是乙，故正确，

选项：被抽中的30名学生每天平均阅读时间为，故正确，

故选：．

【点评】本题考查了众数，中位数以及平均数的应用，涉及到方差的计算，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．

10．【分析】由题意可得，，，，故，再结合对数函数的公式，即可求解．

【解答】解：由题意可得，，，，

故，

，即，

．

故选：．

【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

11．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式，求出解集即可．

【解答】解：，

，，

函数的定义域是，，

故答案为：，．

【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式，是基础题．

12．【分析】把点的坐标代入幂函数解析式求出的值，求出解析式，再计算的值．

【解答】解：幂函数经过点，

即，解得，

所以；

所以．

故答案为：．

【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．

13．【分析】利用相互独立事件的概率计算公式即可求解．

【解答】解：从它们制造的产品中各任抽1件，

两件都是正品的概率为，

故答案为：0.72．

【点评】本题考查了相互独立事件概率的计算公式的应用，属于基础题．

14．【分析】由解得或，可解决此题．

【解答】解：由解得或，

“”是“”的充分不必要条件，

故答案为：充分不必要．

【点评】本题考查用集合法判定充分、必要条件，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．

15．【分析】①直接分段求解值域即可得到结论，

②直接根据分段函数的单调性即可求解．

【解答】解：函数，

①当时，，

，，

的值域为，

②函数在每一段上均递增，

在区间上单调递增，只需：或，

又，

的取值范围是：，．

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，其中涉及到函数的值域以及单调性，难度中档．

三、解答题：本大题共5个小题，共40分。应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．【分析】（1）根据集合的基本运算即可求，；

（2）根据，建立条件关系即可求实数的取值范围．

【解答】解：（1）已知集合，，．

，

，

（2）若，则．

则实数的取值范围是．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

17．【分析】（Ⅰ）直接利用函数单调性的定义证明；

（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的单调性，利用单调性求得函数在，上的最大值，从而求实数的取值范围．

【解答】（Ⅰ）证明：任取，

则

，

，

，，，

，即．

函数在上单调递增；

（Ⅱ）解：函数在，内为增函数，

函数在，内的最大值为（4），

在，上恒成立，

，

即实数的取值范围为，．

【点评】本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用单调性求函数的最值，是中档题．

18．【分析】第1，2，3，4，5组频率之和为1，所以所有长方形长之和为1除以组距，再根据其它组长方形的长计算出．频率分布直方图中样本平均值是各组中间值乘以对应频率之和．从1，2组按分层抽样，则由第一组与第二组概率比为知从第一组抽2人，从第二组抽3人，5人中抽2人恰有1人在第一组说明一，二组各抽到了一人．

【解答】解：（Ⅰ），．平均数：．

 （Ⅱ）第1组与第2组概率比为，所以从1，2组抽取五人，则从第一组抽2人，第2组抽3人，从5人中抽2人有种，恰有1人在第1组有种，所以恰有一人在第1组的概率为．

【点评】本题考查了频率分布直方图中的频率，平均数问题，考查了分层抽样和概率问题，都是基础问题，难度不大．

19．【分析】（1）由题意可知温室的另一边长度为米，养殖池的两边长度分别为米和米，从而求出关于的函数表达式，再结合边长为正数即可求出定义域．

（2）由（1）可知，再利用基本不等式即可求出结果．

【解答】解：（1）由题意可知温室的另一边长度为米，养殖池的两边长度分别为米和米，

两个养殖池的总面积，

，解得，

定义域为．

（2）由（1）可知，

当且仅当即时，等号成立，

当温室的边长取30米时，总面积取得最大值1215平方米．

【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．

20．【分析】（Ⅰ）由已知可得关于的不等式，解绝对值不等式即可得解；

（Ⅱ）利用作差法判断与的大小即可．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，即，

所以或，解答或，

故实数的取值范围是，，．

（Ⅱ）比更远离，理由如下：

因为，

所以，

从而，

①当时，，

即；

②当时，，

即；

综上，，即比更远离．

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式比较大小，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．