2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）
1．（5分）下列导数公式错误的是（　　）
A．（sinx）'＝﹣cosx B．
C． D．（ex）'＝ex
2．（5分）双曲线x21的焦点坐标是（　　）
A．（0，），（0，） B．（，0），（，0）
C．（0，2），（0，﹣2） D．（2，0），（﹣2，0）
3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，，，则（　　）

A． B． C． D．
4．（5分）若（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），则是∥的（　　）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
5．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）设函数f（x），则（　　）
A．x，f（x）取得最大值 B．x，f（x）取得最小值
C．x＝2，f（x）取得最大值 D．x＝2，f（x）取得最小值
7．（5分）如果把二次函数f（x）＝ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（5分）函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，2] C．[﹣2，+∞） D．[2，+∞）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中，）
9．（5分）已知函数f（x）＝x2，则　 　．
10．（5分）已知函数，则f′（1）＝　 　．
11．（5分）已知空间向量（0，1，1），（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为　 　．
12．（5分）直线y＝a与函数f（x）＝x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是　 　．
13．（5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为　 　．
14．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为体对角线BD1上动点．
则（1）M到CC1距离的最小值为　 　；
（2）M位于BD1三等分点处时，M到各顶点的距离的不同取值有　 　种．
三、解答题（共3小题，满分30分）
15．（10分）已知抛物线C方程：y2＝2px（p＞0），点（1，2）在C上，F为焦点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程和焦点F坐标；
（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，求原点O到直线AB的距离．
16．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：
x
﹣2
0
1
3
8
f′（x）
﹣10
6
8
0
﹣90
根据表中数据，回答下列问题：
（Ⅰ）实数c的值为　 　；当x＝　 　时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．
（Ⅱ）求实数a，b的值．
（Ⅲ）求f（x）的单调区间．
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC＝1，AB＝2，，E为PA中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位置上.）
18．（6分）过抛物线y2＝2x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝5，则AB的中点M到y轴的距离等于（　　）
A．2 B．25 C．3 D．4
19．（6分）如图，已知直线y＝kx与曲线y＝f（x）相切于两点，设函数g（x）＝kx+m（m＞0），则函数F（x）＝g（x）﹣f（x）（　　）

A．有极小值，没有极大值
B．有极大值，没有极小值
C．至少有两个极小值和一个极大值
D．至少有一个极小值和两个极大值
20．（6分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上且AD＝2DA1，P点在棱C1C上，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．
21．（6分）已知集合Rn＝{X|X＝（x1，x2，…，xn），xi∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，…，an）∈Rn，B＝（b1，b2，…，bn）∈Rn，定义A与B之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|an﹣bn|．
若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中）.
22．（13分）已知离心率为的椭圆C：1（a＞b＞0）与直线x＝2相交于P，Q两点（点P在x轴上方），且|PQ|＝2．点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且∠APQ＝∠BPQ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．
23．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R
（Ⅰ）当a＝0时，
（ⅰ）求f（x）的极值点；
（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；
（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．

2018-2019学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“机读答题卡”的相应位置上.）
1．（5分）下列导数公式错误的是（　　）
A．（sinx）'＝﹣cosx B．
C． D．（ex）'＝ex
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、（sinx）'＝cosx，故A错误；
对于B、（lnx）′，故B正确；
对于C、（）′＝x﹣1＝（﹣1）×x﹣2，故C正确；
对于D、（ex）'＝ex，故D正确；
故选：A．
2．（5分）双曲线x21的焦点坐标是（　　）
A．（0，），（0，） B．（，0），（，0）
C．（0，2），（0，﹣2） D．（2，0），（﹣2，0）
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x21，
其中a＝1，b，则c2，
又由双曲线的焦点在x轴上，则其焦点坐标为（2，0）（﹣2，0）；
故选：D．
3．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，，，则（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：═
故选：C．
4．（5分）若（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），则是∥的（　　）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
【解答】解：∵（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），
∴当时，向量∥成立．
当（1，0，0），（2，0，0），满足∥，
但不成立，
∴是∥的充分不必要条件．
故选：D．
5．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，
∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，
设AB＝a，AA1＝2a，∴A1B＝C1Ba，A1C1a，
∠A1BC1的余弦值为，
故选：D．

6．（5分）设函数f（x），则（　　）
A．x，f（x）取得最大值 B．x，f（x）取得最小值
C．x＝2，f（x）取得最大值 D．x＝2，f（x）取得最小值
【解答】解：∵f（x），（x＞0）
∴f′（x），
令f′（x）＞0，解得：x＞2，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
故x＝2时，f（x）取最小值，
故选：D．
7．（5分）如果把二次函数f（x）＝ax2+bx+c与其导函数f′（x）的图象画在同一个坐标系中．则下面四组图中一定错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：二次函数f（x）＝ax2+bx+c的对称轴是x，
故其导函数f′（x）＝2ax+b＝0的根是，
二次函数的顶点和导函数的解均在直线x上，
故对于选项B是错误的，
故选：B．
8．（5分）函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，2] C．[﹣2，+∞） D．[2，+∞）
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+kx2﹣7x，其导数f′（x）＝3x2+2kx﹣7，
若函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[﹣1，1]上单调递减，
则f′（x）＝3x2+2kx﹣7≤0在[﹣1，1]上恒成立，
则有，解可得﹣2≤k≤2，
即k的取值范围为[﹣2，2]；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把结果填在答题纸中，）
9．（5分）已知函数f（x）＝x2，则　0　．
【解答】解：∵f（x）＝x2，
∴f′（x）＝2x，
∴f′（0）＝0，
故答案为：0．
10．（5分）已知函数，则f′（1）＝　0　．
【解答】解：∵函数，
∴f'（x），
∴f′（1），
故答案为：0．
11．（5分）已知空间向量（0，1，1），（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为　1或﹣1　．
【解答】解：已知，
则：，
由于，
则：
解得：x＝1或﹣1
故答案为：1或﹣1
12．（5分）直线y＝a与函数f（x）＝x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是　（﹣2，2）　．
【解答】解：令f′（x）＝3x2﹣3＝0，
得x＝±1，
可求得f（x）的极大值为f（﹣1）＝2，
极小值为f（1）＝﹣2，
如图所示，当满足﹣2＜a＜2时，恰有三个不同公共点．
故答案为：（﹣2，2）

13．（5分）电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为　40　．
【解答】解：由题设知y'＝x2﹣39x﹣40，
令y'＞0，解得x＞40，或x＜﹣1，
故函数在[40，+∞）上增，在（0，40]上减，
当x＝40，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40；
故答案为：40．
14．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为体对角线BD1上动点．
则（1）M到CC1距离的最小值为　　；
（2）M位于BD1三等分点处时，M到各顶点的距离的不同取值有　4　种．
【解答】解：（1）M到CC1距离的最小值是异面直线BD1和CC1间的距离，
连结AC，BD，交于点O，
则AC⊥BD，AC∥DD1，∴AC⊥平面BDD1，
∴OC⊥BD1，且OC⊥CC1，
∴M到CC1距离的最小值为|OC|．
故答案为：．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），
A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），
M位于BD1三等分点处时，设M（），
∴AM，BM，
CM，DM1，
A1M1，B1M，
C1M1，D1M．
∴M到各顶点的距离的不同取值有4种．
故答案为：4．

三、解答题（共3小题，满分30分）
15．（10分）已知抛物线C方程：y2＝2px（p＞0），点（1，2）在C上，F为焦点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程和焦点F坐标；
（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|AF|＝2，|BF|＝5，求原点O到直线AB的距离．
【解答】解：（Ⅰ）将（1，2）代入抛物线方程可得4＝2p，
解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x，F（1，0）；
（Ⅱ）若抛物线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，
且|AF|＝2，|BF|＝5，
由抛物线的定义可得xA+1＝2，xB+1＝5，
即有xA＝1，xB＝4，
即为A（1，2），B（4，﹣4），AB的斜率为﹣2，
AB的方程为2x+y﹣4＝0，
O到直线AB的距离为d．
16．（10分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx，其导函数为f′（x）的部分值如表所示：
x
﹣2
0
1
3
8
f′（x）
﹣10
6
8
0
﹣90
根据表中数据，回答下列问题：
（Ⅰ）实数c的值为　6　；当x＝　3　时，f（x）取得极大值（将答案填写在横线上）．
（Ⅱ）求实数a，b的值．
（Ⅲ）求f（x）的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）6，3
（Ⅱ）：f'（x）＝3ax2+2bx+c，
由已知表格可得解得
（Ⅲ）：由（Ⅱ）可得f'（x）＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣3）（x+1），
因为x∈（﹣∞，﹣1）和x∈（3，+∞）时f'（x）＜0，x∈（﹣1，3）时f'（x）＞0，
所以f（x）的单调增区间为（﹣1，3），单调减区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞）．
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC＝1，AB＝2，，E为PA中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

【解答】（共14分）
证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．
因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．
在△PAC中，由已知E为PA中点，
所以EF∥PC．
又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，
所以PC∥平面BED． …（5分）
（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．
因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，
所以PO⊥CD．
又因为平面PCD⊥平面ABCD，
PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．
取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，
所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．…（1分）
如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（1，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，﹣1，0），
B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．
（﹣1，2，0），（0，1，﹣1）．
设平面PAC的法向量为（x，y，z），
则，令z＝1，得（2，1，1）．
平面PCD的法向量为（1，0，0）．
设的夹角为α，所以cosα．
由图可知二面角A﹣PC﹣D为锐角，
所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（10分）
（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．
因此点M（0，λ，1﹣λ），（﹣1，λ﹣1，1﹣λ），（﹣1，2，0）．
由，得1+2（λ﹣1）＝0，解得．
因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．
此时，． …（14分）

一、选择题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”的相应位置上.）
18．（6分）过抛物线y2＝2x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝5，则AB的中点M到y轴的距离等于（　　）
A．2 B．25 C．3 D．4
【解答】解：由抛物线为y2＝2x，
可得p＝1．
设A、B两点横坐标分别为x1，x2，
设线段AB中点的横坐标为m，
则m，即x1+x2＝2m，
由|AB|＝x1+x2+p＝2m+1＝5，
解得m＝2，可得AB的中点M到y轴的距离为2．
故选：A．
19．（6分）如图，已知直线y＝kx与曲线y＝f（x）相切于两点，设函数g（x）＝kx+m（m＞0），则函数F（x）＝g（x）﹣f（x）（　　）

A．有极小值，没有极大值
B．有极大值，没有极小值
C．至少有两个极小值和一个极大值
D．至少有一个极小值和两个极大值
【解答】解：设y＝kx与f（x）的切点横坐标分别为x1，x2，（x1＜x2），
设f（x）的另一条斜率为k的切线与f（x）图象的切点横坐标为x3，
如图所示：
而F（x）＝kx+m﹣f（x）表示直线g（x）的点（x，g（x））
与f（x）上的点的（x，f（x））的纵坐标的差，
显然，F（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，x3）上单调递增，
在（x3，x2）上单调递减，
在（x2，+∞）上单调递增，
∴x1，x2为F（x）的极小值点，x3为F（x）的极大值点．
∴F（x1），F（x2）为F（x）的极小值，F（x3）为F（x）的极大值．
故选：C．

20．（6分）如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，底面边长A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°，D点在棱AA1上且AD＝2DA1，P点在棱C1C上，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
则D（1，0，2），B1（0，1，3），
设P（0，0，z），
则 （1，0，2﹣z），（0，1，3﹣z），
∴•0+0+（2﹣z）（3﹣z），
故当z时，• 取得最小值为，
故选：B．

21．（6分）已知集合Rn＝{X|X＝（x1，x2，…，xn），xi∈{0，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，…，an）∈Rn，B＝（b1，b2，…，bn）∈Rn，定义A与B之间的距离为d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|an﹣bn|．
若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【解答】解：由n元子集个数得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，
已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，
所以M或
M，（1，1，1），
故集合M中元素个数最大值为4，
故选：A．
二、解答题（本大题共2小题，每个小题13分，满分26分，请把结果填在答题纸中）.
22．（13分）已知离心率为的椭圆C：1（a＞b＞0）与直线x＝2相交于P，Q两点（点P在x轴上方），且|PQ|＝2．点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，且∠APQ＝∠BPQ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求四边形APBQ面积的取值范围．
【解答】（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得e，则，设椭圆方程为：1（b＞0）
由题意可知点P（2，1）在椭圆上，
所以．解得b2＝2．
故椭圆C的标准方程为． …（4分）
（Ⅱ）由题意可知，直线PA，直线PB的斜率都存在且不等于0．
因为∠APQ＝∠BPQ，所以kPA＝﹣kPB．
设直线PA的斜率为k，则直线PA：y﹣1＝k（x﹣2）（k≠0）．
由，得（1+4k2）x2+8k（1﹣2k）x+16k2﹣16k﹣4＝0…①．
依题意，方程①有两个不相等的实数根，即根的判别式△＞0成立．
即△＝64k2（1﹣2k）2﹣4（1+4k2）（16k2﹣16k﹣4）＞0，
化简得16（2k+1）2＞0，解得k．
因为2是方程①的一个解，所以2xA．
所以xA．
当方程①根的判别式△＝0时，k，此时直线PA与椭圆相切．

由题意，可知直线PB的方程为y﹣1＝﹣k（x﹣2）．
同理，易得xB．
由于点A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的两个动点，∠APQ＝∠BPQ，
且能存在四边形APBQ，则直线PA的斜率k需满足|t|．
设四边形APBQ面积为S，则


由于|t|，
故S
当|t|时，，可得，即0＜S＜4．
（此处另解：设t＝|k|，讨论函数f（t）在t∈时的取值范围．
f′（t）＝4，则当t时，f′（t）＞0，f（t）单调递增．
则当t时，f（t）∈（4，+∞），即S∈（0，4）．
所以四边形APBQ面积S的取值范围是（0，4）．…（14分）
23．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R
（Ⅰ）当a＝0时，
（ⅰ）求f（x）的极值点；
（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；
（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且f′（x）＝3x2+2ax+b．[（1分）]
当a＝0时，f′（x）＝3x2+b；
（ⅰ）①当b≥0时，显然f（x）在R上单调递增，无极值点．[（2分）]
②当b＜0时，令f′（x）＝0，解得：x＝±．[（3分）]
f（x）和f′（x）的变化情况如下表：
x
（﹣∞，）

（，）

（，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↗

↘

↗
所以，x是f（x）的极大值点；x是f（x）的极小值点．[（5分）]
（ⅱ）若x＝x0是f（x）的极值点，则有3b＝0；
若x＝x0是f（x）的不动点，则有bx0+3＝x0，
从上述两式中消去b，
整理得：2x0﹣3＝0．[（6分）]
设g（x）＝2x3+x﹣3．
所以g′（x）＝6x2+1＞0，g（x）在R上单调递增．
又g（1）＝0，所以函数g（x）有且仅有一个零点x＝1，
即方程2x0﹣3＝0的根为x0＝1，
所以 b＝﹣33．[（8分）]
（Ⅱ）因为f（x）有两个相异的极值点x1，x2，
所以方程3x2+2ax+b＝0有两个不等实根x1，x2，
所以△＝4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0．[（9分）]
假设存在实数a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点，则x1，x2是方程
x3+ax2+（b﹣1）x+3＝0的两个实根，显然x1，x2≠0．
对于实根x1，有a（b﹣1）x1+3＝0．①
又因为32ax1+b＝0．②
①×3﹣②×x1，得a（2b﹣3）x1+9＝0．
同理可得a（2b﹣3）x2+9＝0．
所以，方程ax2+（2b﹣3）x+9＝0也有两个不等实根x1，x2．[（11分）]
所以x1+x2．
对于方程3x2+2ax+b＝0，有 x1+x2，
所以，即a2﹣3b，
这与a2﹣3b＞0相矛盾！
所以，不存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点．[（13分）]
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日期：2019/12/27 12:29:28；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265