2019北京西城高一（上）期末数学（教师版）

2019北京西城高一（上）期末

                   数    学                            2019.1

试卷满分：150分  考试时间：120分钟

A卷 [三角函数与平面向量]      本卷满分：100分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.

11．若，且为第三象限的角，则______．

12．已知向量．与向量共线的一个非零向量的坐标可以是______．

13．如果，那么的最小值是______．

14．如图，已知正方形．若，其中，，则______．

15．在直角坐标系中，已知点，，，是坐标平面内的一点．

① 若四边形是平行四边形，则点的坐标为______；

② 若，则点的坐标为______．

16．设函数．若的图象关于直线对称，则的取值集合是_____.

三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）  

已知，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

18．（本小题满分12分）

函数的部分图象如图所示，其中．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值；

（Ⅲ）写出的单调递增区间．

19．（本小题满分12分）

在直角坐标系中，已知点，，，其中．

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）是否存在，使得△为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不

      存在，说明理由．

B卷   [学期综合]本卷满分：50分

一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．

1．若集合，，则_____．

2．函数的定义域为_____.

3．已知三个实数，，．将按从小到大排列为_____．

4．里氏震级的计算公式为：，其中是标准地震的振幅，是测震仪记录的地震曲线的最大振幅．在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是，则此次地震的里氏震级为_____级；级地震的最大振幅是级地震最大振幅的_____倍．

5．已知函数 若，则的值域是____；若的值   域是，则实数的取值范围是_____．

二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

6．（本小题满分10分）

已知函数．

（Ⅰ）证明：是奇函数；

（Ⅱ）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．

7．（本小题满分10分）

    已知函数定义在区间上，其中．

（Ⅰ）若，求的最小值；

（Ⅱ）求的最大值．

8．（本小题满分10分）

已知函数的定义域为．若对于任意，且，都有，则称函数为“凸函数”．

（Ⅰ）判断函数与是否为“凸函数”，并说明理由；

（Ⅱ）若函数（为常数）是“凸函数”， 求的取值范围；

（Ⅲ）写出一个定义在上的“凸函数”，满足．（只需写出结论）

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1. D    2. C    3. B     4. C     5. B     6. D    7. D    8. B    9.A    10.A

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.

11.                     12. （答案不唯一）           13.

14.              15.；                    16.

注：第15题每空2分.   

三、解答题：本大题共3小题，共36分.

17.（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：因为，，

      所以                               ……………………2分

                ．                                   ……………………3分

      所以                      ……………………5分

                    ．                             ……………………6分

（Ⅱ）解：因为 ，，

      所以                                   ……………………8分

                ．                                   ……………………9分

      所以            ……………………11分

．                       ……………………12分

18. （本小题满分12分）

（Ⅰ）解：由图象可知 ．                             ……………………1分

      因为 的最小正周期为 ，

      所以 ．                                    ……………………3分

      令 ， 解得 ，适合．                  

      所以 ．                             ……………………5分

（Ⅱ）解：因为，所以．             ……………………6分

      所以，当，即时，取得最大值；  ……………………8分

      当，即时，取得最小值．       ……………………10分

（Ⅲ）解：的单调递增区间为（）．   ……………………12分

19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）解：，．        ……………………2分

      所以           ……………………3分

                 ．                          ……………………4分

      因为 ，所以 ．                  ……………………5分

      所以 当，即时，取得最大值．    ……………………6分

（Ⅱ）解：因为，，

      ．

      又 ，所以 ，，

      所以 ，．

      所以 若△为钝角三角形，则角是钝角，从而．………………8分

      由（Ⅰ）得，解得．      ……………………9分

      所以 ， 即．                   ……………………11分

      反之，当时，，

      又 三点不共线，所以 △为钝角三角形．

      综上，当且仅当时，△为钝角三角形．      ……………………12分

B卷   [学期综合]  满分50分

一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.

1.      2.，或       3.    

4.；          5.；

注：第4题、第5题每空2分.

二、解答题：本大题共3小题，共30分.

6.（本小题满分10分）

（Ⅰ）解：函数的定义域为.                ……………………1分

  对于任意，因为 ，        ……………………3分

  所以 是奇函数．                                 ……………………4分

（Ⅱ）解：函数在区间上是减函数．          ……………………5分

证明：在上任取，，且 ，              ……………………6分

则 ．      ……………………8分

由 ，得 ，，，，

  所以 ，即 .

  所以 函数在区间上是减函数.         ……………………10分

7.（本小题满分10分）

（Ⅰ）解：当时， ．         ……………………2分

      所以 在区间上单调递增，在上单调递减．

      因为 ，，

      所以 的最小值为．                             ……………………4分

（Ⅱ）解：① 当时，．

      所以 在区间上单调递增，

      所以 的最大值为．                         ……………………5分

      当时，函数图像的对称轴方程是.     ………6分

      ② 当，即时，的最大值为. ………8分

      ③ 当时，在区间上单调递增，

      所以 的最大值为．                     ……………………9分

      综上，当时，的最大值为；

            当时，的最大值为．         ……………………10分

8.（本小题满分10分）

（Ⅰ）解：对于函数，其定义域为．

      取，有，，

      所以 ， 所以 不是“凸函数”．…………2分

      对于函数 ，其定义域为．

      对于任意，且，由

      ，

      所以 ．

      因为 ，，

      所以 ， 所以 是“凸函数”．……………4分

（Ⅱ）解：函数的定义域为．               

      对于任意，且，

                      ……………………5分

      ．                                      ……………………7分

      依题意，有．

      因为 ，所以 ．                     ……………………8分

（Ⅲ）． （注：答案不唯一）            ……………………10分