2019北京民大附中高一（下）期末数学（教师版）

2019北京民大附中高一（下）期末

数    学

命题人: 高一数学组

第1卷(共40分)

注意事项:

1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上.

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

1．设全集U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩∁UB＝（　　）

A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{|x＞1}

2．已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，下面给出五个命题：

①a∥α，b⊂α⇒a∥b；

②a⊥α，b⊥α⇒a∥b；

③a∥c，c∥α⇒a∥α；

④a∥α，b⊥α⇒a⊥b；

⑤α⊥β，α⊥γ⇒β∥γ．

其中正确的命题是（　　）

A．①⑤ B．②③ C．②④ D．②⑤

3．已知（4，2），（x，3），且∥，则x的值是（　　）

A．6 B．﹣6 C．9 D．12

4．方程2x+x﹣2＝0的解所在的区间为（　　）

A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）

5．函数y＝sin（x）的图象可以看成是由函数y＝sin（x）的图象平移得到的，下列所述平移方法正确的是（　　）

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

6．已知圆x2+y2﹣4x﹣5＝0，则过点P（1，2）的最短弦所在直线l的方程是（　　）

A．3x+2y﹣7＝0 B．2x+y﹣4＝0 C．x﹣2y﹣3＝0 D．x﹣2y+3＝0

7．已知函数f（x），则f（﹣10）的值是（　　）

A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2

8．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与最接近的是（　　）

（参考数据：lg3≈0.48）

A．1033 B．1053 C．1073 D．1093

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：（本大题共6小题每小题5分，共30分）

9．在△ABC中，a2﹣b2﹣c2bc，则A＝　   　．

10．已知x＞0，y＞0且1，求x+y的最小值为　   　．

11．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+1，则f（﹣2）+f（0）＝　   　．

12．已知tanα＝2，则　   　．

13．设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为　   　m3．

14．已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为　   　．

三、解答题：（本大题共6小题，共80分）

15．（本小题满分13分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若，c＝5，求b．

16．（本小题满分13分）已知函数f（x）＝2sin2（x）cos2x．

（1）求f（x）的周期和单调递增区间；

（2）求f（x）在[]上的最值．

17．（本小题满分13分）如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：

（1）直线EF∥面ACD；

（2）平面EFC⊥面BCD．

18．（本小题满分13分）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y＝0的对称点仍在圆上，且与直线x﹣y+1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．

19．（本小题满分14分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：

（Ⅰ）估计该校男生的人数；

（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；

（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．

20．（本小题满分14分）设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…tn），tk∈{0，1}，k＝1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，xn）和β＝（y1，y2，…yn），记

M（α，β）[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（xn+yn﹣|xn﹣yn|）]

（Ⅰ）当n＝3时，若α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；

（Ⅱ）当n＝4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；

（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）＝0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．

参考答案

1． B．

2． C．

3． A．

4． B．

5． A．

6． D．

7． A．

8． D．

9． ．

10． 16．

11．﹣5

12． 1．

13． 4

14． ．

15．（Ⅰ）由a＝2bsinA，

根据正弦定理得sinA＝2sinBsinA，所以，

由△ABC为锐角三角形得．

（Ⅱ）根据余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB＝27+25﹣45＝7．

所以，．

16．f（x）＝2sin2（x）cos2x

．

（1）f（x）的周期Tπ，

由，k∈Z，

解得，k∈Z．

∴f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z；

（2）∵x∈[]，∴2x∈[，]，

则sin（）∈[，1]．

∴f（x）∈[2，3]．

即f（x）的最小值为2，最大值为3．

17．证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．

∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，

∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；

（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，

∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD

又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC，

∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD

18．设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，

∵点A（2，3）关于直线x+2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，

∴圆心（a，b）在直线x+2y＝0上，

∴a+2b＝0，①

（2﹣a）2+（3﹣b）2＝r2．②

又直线x﹣y+1＝0截圆所得的弦长为2，

圆心（a，b）到直线x﹣y+1＝0的距离为d，

则根据垂径定理得：r2﹣（）2＝（）2③

解由方程①、②、③组成的方程组得：

或

∴所求圆的方程为（x﹣6）2+（y+3）2＝52或（x﹣14）2+（y+7）2＝244．

19．（Ⅰ）样本中男生人数为2+5+13+14+2+4＝40，

由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400；

（Ⅱ）∵样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1＝35人，

样本容量为70，

∴样本中学生身高在170～185cm之间的频率f0.5，

故可估计该校学生身高在170～180cm之间的概率p＝0.5；

（Ⅲ）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，

样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，

从上述6人中任取2人的树状图为：

∴从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，

求至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，

∴所求概率p2．

20．（I ） M（α，α）＝1+1+0＝2，M（α，β）＝0+1+0＝1．

（II）考虑数对（xk，yk）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的分别为0、0、0、1，

所以B中的每个元素应有奇数个1，

所以B中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：

（1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1），

（0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0），

对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M（α，β）是偶数，

所以四元集合B＝{（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足 题意，

假设B中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，

除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，

则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M（α，β）＝1不合题意，

故B中元素个数的最大值为4．

（Ⅲ） B＝{（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…，

（0，0，0，…，1）}，

此时B中有n+1个元素，下证其为最大．

对于任意两个不同的元素α，β，满足M（α，β）＝0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，

假设存在B有多于n+1个元素，由于α＝（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M（α，β）＝0，

所以除（0，0，0，…，0）外至少有n+1个元素含有1，

根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足xi＝yi＝l，此时M（α，β）≥1不满足题意，

故B中最多有n+1个元素．