高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念精练

第六章　6.1　

A组·素养自测

一、选择题

1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④密度．其中是向量的是(　B　)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

[解析]　由物理学知识知速度和位移是向量，既有大小又有方向，符合向量的定义．故选B．

2．在同一平面上，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是(　B　)

A．一条线段 B．一条直线

C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆

[解析]　由于向量的起点确定，而向量平行于同一直线，所以随着向量模长的变化，向量的终点构成的是一条直线．

3．某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是(　C　)

A．南偏东60° B．南偏东45°

C．南偏东30° D．南偏东15°

[解析]　如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，则tan ∠BAC＝＝，

∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．

4．如果a，b是两个单位向量，则a与b一定(　D　)

A．相等 B．平行

C．方向相同 D．长度相等

[解析]　因为a，b是两个单位向量；所以其模长相等，方向不定．故选D．

5．(2022·淄博高一检测)在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有(　A　)

A．一组 B．二组

C．三组 D．四组

[解析]　由图可知，只有＝．故选A．

二、填空题

6．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”“相等”“无关”)．

7．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出__6__个互不相等的非零向量．

[解析]　模为1个单位的向量有2个，如，；模为2个单位的向量有2个，如，；模为3个单位的向量有2个，如，，故共有6个．

8．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有__12__个元素．

[解析]　根据题意知，由点O，A，B，C，D可以构成20个向量．但它们有12个向量各不相等，由元素的互异性知T中有12个元素．

三、解答题

9．如右图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，

(1)写出与、相等的向量；

(2)写出与模相等的向量．

[解析]　(1)与相等的向量为、，与相等的向量为．

(2)，，．

10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：

(1)与相等的向量共有几个；

(2)与平行且模为的向量共有几个？

(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？

[解析]　(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．

(2)与向量平行且模为的向量共有24个．

(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．

B　组·素养提升

一、选择题

1．如图所示，在⊙O中，向量，与是(　C　)

A．有相同始点的向量 B．共线向量

C．模相等的向量 D．相等的向量

2．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，点F分别在两腰AD，BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是(　D　)

A．＝ B．＝

C．＝ D．＝

[解析]　由相等向量的定义，显然＝．

3．(多选题)在下列结论中，正确的是(　ACD　)

A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件

B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件

C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件

D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件

[解析]　若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A对，B错误C、D对，故选ACD．

4．(多选题)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则(　ABC　)

A．与相等的向量只有一个(不含)

B．与的模相等的向量有9个(不含)

C．的模恰好为的模的倍

D．与不共线

[解析]　与相等的向量只有，A正确；由已知条件可得||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||，B正确；因为四边形ABCD为菱形，由菱形的性质可得＝sin 60°＝，∴＝，∴的模为||的模的倍．故C正确；与方向相同，大小相等，故＝，与共线，D错误．故选ABC．

二、填空题

5．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__3π__．

[解析]　这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π．

6．有下列说法：

①若a≠b，则a一定不与b共线；

②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

③在▱ABCD中，一定有＝；

④若a＝b，b＝c，则a＝c；

⑤共线向量是在一条直线上的向量．

其中，正确的说法是__③④__．

[解析]　①两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；②A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故③正确；④a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；⑤共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确．

三、解答题

7．如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．

(1)与相等的向量有哪些？

(2)与共线的向量有哪些？

(3)若||＝1．5，求||的大小．

[解析]　(1)与相等的向量即与同向且等长的向量，有，．

(2)与共线的向量即与方向相同或相反的向量，有，，，，，，．

(3)若||＝1．5，则||＝||＝||＋||＝2||＝3．

8．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝．

(1)画出所有的向量；

(2)求||的最大值与最小值．

[解析]　(1)画出所有的向量如图所示．

(2)由(1)所画的图知，

①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；

②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝．

∴||的最大值为，最小值为．