数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算课时练习

第六章　6.2　6.2.4

A　组·素养自测

一、选择题

1．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b＜0，则△ABC是(　A　)

A．钝角三角形　　　　　　　 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．任意三角形

[解析]　由a·b＜0易知〈a，b〉为钝角．

2．已知|a|＝，|b|＝，且〈a，b〉＝45°，a⊥(a－b)，则实数m＝(　D　)

A．2 B．

C．1 D．0

[解析]　因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，

即a2－a·b＝0，

所以2－××cos 45°＝0，

即2－＝0，

解得m＝0．

3．已知正方形ABCD的边长为2，则·(＋)＝(　C　)

A．2 B．3

C．4 D．3

[解析]　·(＋)＝·＋·＝2×2×＝4，故选C．

4．甲、乙两人提起重量为8 N的物体，两人用力方向的夹角为θ，用力大小分别为6 N、7 N，则cos θ的值为(　A　)

A．－ B．

C． D．－

[解析]　如图，设||＝6，||＝7，合力即为||＝8，

∴＋＝，两边平方可得2＝2，

即||2＋2·＋||2＝||2，

∴62＋2×6×7×cos θ＋72＝82，解得cos θ＝－．

5．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　D　)

A．外心 B．内心

C．重心 D．垂心

[解析]　由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA．

同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．

二、填空题

6．在△ABC中，若·＋2＝0，则在上的投影向量为____．

[解析]　由·＋2＝0得·＝0，

∴在上的投影向量为．

7．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，记向量a在向量b方向上的投影向量为γ，则|γ|＝__1__．

[解析]　设向量a与向量b的夹角为θ，与b方向相同的单位向量为e，则a在b方向上的投影向量γ＝|a|cos θ·e，则|γ|＝||a|cos θ|＝|2×cos 120°|＝1．

8．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝__11__．

[解析]　设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝，

又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝1×3×＝1，

所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11．

故答案为11．

三、解答题

9．已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求：

(1)a·b；(2)(3a)·；

(3)(3b－2a)·(4a＋b)．

[解析]　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝10×12×cos 120°＝－60．

(2)(3a)·＝(a·b)＝×(－60)＝－36．

(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968．

10．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝3，m＝3a－2b，n＝2a＋kb．若m⊥n，求实数k的值．

[解析]　因为向量a与b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝3，

所以a·b＝|a|·|b|cos 120°＝2×3×＝－3．

又m⊥n且m＝3a－2b，n＝2a＋kb，

所以m·n＝(3a－2b)·(2a＋kb)＝6a2＋(3k－4)a·b－2kb2＝0所以6×22＋(3k－4)·(－3)－2k×32＝0，所以k＝．

B　组·素养提升

一、选择题

1．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　B　)

A．－8 B．8

C．－8或8 D．6

[解析]　由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos θ＝－，sin θ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×＝8．

2．窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，常见的形状有圆形、矩形、正六边形、正八边形等．如图，正八边形ABCDEFGH是某窗户的平面图，AB＝2，点P是正八边形ABCDEFGH的中心，则·＝(　A　)

A．2 B．4

C．2＋2 D．4＋2

[解析]　如图，过点P作PJ⊥AB，垂足为J ，由题意可得J为线段AB的中点，

则AJ＝1，从而cos∠PAJ＝，

故·＝||·||cos∠PAJ＝||·||·＝2×1＝2，故选A．

3．已知△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是(　C　)

A．等边三角形 B．锐角三角形

C．直角三角形 D．钝角三角形

[解析]　解法1：由2－·＝·＋·，

得·(－)＝·(－)，

即·＝·，∴·＋·＝0，

∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，

所以△ABC是直角三角形，故选C．

解法2：由条件得2＝·(＋)＋·

＝2＋·，

∴·＝0，∴⊥．

4．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　A　)

A．(－2，6) B．(－6，2)

C．(－2，4) D．(－4，6)

[解析]　如图，

的模为2，根据正六边形的特征，

可以得到在方向上的投影的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，

可知·等于的模与在方向上的投影的乘积，

所以·的取值范围是(－2，6)，

故选A．

二、填空题

5．在△ABC中，AB＝2，AC＝2，∠BAC为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且PQ＝2，若·的最小值为3，则BC＝__6__．

[解析]　取PQ中点O，

则·＝(＋)·(＋)

＝2＋·(＋)＋·

＝2－1，

因为·的最小值为3，

故2的最小值为4，即||的最小值为2，易得当||最小时⊥，且AO＝2，

所以BO＝＝2，CO＝＝4，故BC＝BO＋OC＝6．

6．如图所示，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则·＋·＋·＝__－__．

[解析]　·＝||||cos(180°－∠BAO)，

∵||cos(180°－∠BAO)＝－||cos ∠BAO

＝－||，

∴·＝－||2，

同理，·＝－||2，·＝－||2，

∴·＋·＋·＝－×(62＋72＋82)＝－．

三、解答题

7．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|xa＋b|＝|a－xb|(x＞0，x∈R)．

(1)求a，b关于x的解析式f(x)；

(2)求向量a与b夹角的最大值；

(3)若a与b平行，且方向相同，试求x的值．

[解析]　(1)由题意|xa＋b|2＝3|a－xb|2，

即x2a2＋2xa·b＋b2＝3a2－6xa·b＋3x2b2，

因为|a|＝|b|＝1，所以8xa·b＝2x2＋2，

所以a·b＝(x＞0)，即f(x)＝，(x＞0)．

(2)设向量a，b的夹角为θ，则

cos θ＝＝f(x)＝，

当＝，即x＝1时，cos θ有最小值，因为0≤θ≤π，所以θmax＝．

(3)因为a∥b且方向相同，所以a＝b，

所以a·b＝＝1，解得x＝2±．

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时，·有最大值．

[解析]　∵＝－，＝－＝－－，

∴·＝(－)·(－－)

＝－·＋·－2＋·

＝·－r2＋·(－)

＝·－r2＋·

＝||||cos ∠BAC－r2＋·

＝bccos ∠BAC－r2＋·．

当与同向时，·的最大值为||||＝ra，

即当与共线且同向时，·有最大值bccos ∠BAC＋ar－r2．