人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算测试题

第六章　6.2　6.2.3

A　组·素养自测

一、选择题

1．点C在直线AB上，且＝3，则等于(　D　)

A．－2 B．

C．－ D．2

[解析]　＝－＝3－＝2．

2．(多选题)下列说法中错误的是(　ABC　)

A．λa与a的方向不是相同就是相反

B．若a，b共线，则b＝λa

C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a

D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|

[解析]　对于A，λ＝0时，结论不成立；

对于B，a≠0时，结论成立；

对于C，|b|＝2|a|时，b与a不一定共线；

对于D，利用平面向量共线定理可知正确．

3．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则＝(　A　)

A．λ(＋)　λ∈(0，1) B．λ(＋)　λ∈

C．λ(－)　λ∈(0，1) D．λ(－)　λ∈

[解析]　设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平行线，设＝λ，则λ∈(0，1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0，1)．

4．如图，向量，，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　D　)

A．－4 B．－2

C．2 D．4

[解析]　由图象可知a＝＋3，λ＝1，μ＝3，λ＋μ＝4．故选D．

5．(2022·新高考Ⅰ卷) 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　B　)

A．3m－2n B．－2m＋3n

C．3m＋2n D．2m＋3n

[解析]　因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2(－)，

所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n．

故选B．

二、填空题

6．已知＝－则使得＝λ的实数λ＝__－2__．

[解析]　＝－，则A在线段BC上，且AC＝2AB，所以＝－2，又＝λ，

所以λ＝－2．故答案为－2．

7．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝__－2或__．

[解析]　由题设知＝，

所以3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或．

8．设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为____．

[解析]　由已知＝－＝－

＝(－)＋＝－＋，

∴λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝．

三、解答题

9．已知两个非零向量e1、e2不共线，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2．求证：A、B、D三点共线．

[解析]　∵＝＋＋

＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2

＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6，

∴∥．

又∵AD和AB有公共点A，∴A、B、D三点共线．

10．计算：(1)－2；

(2)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a．

[解析]　(1)原式＝－a－b

＝a＋b－a－b＝0．

(2)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝(10－3－7)a＋(－8＋9)b＋(2－3)c＝b－c．

B　组·素养提升

一、选择题

1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　C　)

A．a与－λa的方向相反 

B．|－λa|≥|a|

C．a与λ2a的方向相同 

D．|－λa|＝|λ|a

[解析]　A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|＜1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C正确，因为λ2(λ≠0)一定是正数，故a与λ2a的方向相同．故选C．

2．如图，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的四等分点，则＝(　D　)

A．＋ B．＋

C．＋ D．＋

[解析]　由题意可得＝＋，＝，

＝＋，＝，

∴＝＋(＋)

＝＋．

3．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，能使a，b共线的条件是(　AB　)

A．2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e

B．存在相异实数λ，μ，使得λa＋μb＝0

C．xa＋yb＝0(其中x，y满足x＋y＝0)

D．已知在梯形ABCD中，＝a，＝b

[解析]　由A中条件的b＝10a，故a，b共线，由B中条件的b＝－a，故a，b共线，CD中条件不能推出a，b共线，故选AB．

4．O为平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　B　)

A．外心 B．内心 

C．重心 D．垂心

[解析]　由＝＋λ，则－＝λ，则＝λ．

而是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，以这两个单位向量为邻边作平行四边形AB1P1C1，易得平行四边形AB1P1C1是菱形，对角线AP1平分∠B1AC1，且＝，＝，所以＋＝＋＝，则＝λ．

由λ∈[0，＋∞)，可知点P在∠BAC的平分线上，即动点P的轨迹经过△ABC的内心．

二、填空题

5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝__3__；y＝__－4__．

[解析]　因为a与b不共线，根据向量相等得解得

6．设点O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|＋2|＝1，则|＋2＋3|＝__2__．

[解析]　如题图所示，易知|＋2＋3|＝|＋＋2(＋)|＝|2＋4|＝2|＋2|＝2．

三、解答题

7．如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE至N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．

[解析]　因为D为MC的中点，且D为AB的中点，所以四边形ACBM是平行四边形，所以＝＋．所以＝－＝．同理可证明＝－＝．

所以＝－．所以，共线，又与有公共点A．所以M，A，N三点共线．

8．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且＝t，求t的值．

[解析]　∵＝＋，

∴3＝2＋，

即2－2＝－．∴2＝，

即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示．

∵A，M，Q三点共线，

∴设＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，

又＝－，

∴＝＋．

又＝－＝－，且＝t，

∴＋＝t．

∴解得t＝．