初中数学人教版八年级上册13.1.1 轴对称课时训练

轴对称全章复习与巩固（提高）

【学习目标】

1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；

2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；

3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、轴对称

1.轴对称图形和轴对称　　

（1）轴对称图形

如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

（2）轴对称
　　定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：

①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；

②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.

（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系

区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．

2.线段的垂直平分线

线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

要点二、作轴对称图形

1.作轴对称图形

（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；

（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

2.用坐标表示轴对称

点（,）关于轴对称的点的坐标为（,－）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（－,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（－,－）.

要点三、等腰三角形

1.等腰三角形

　　（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性质

   　①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等　 　　边”）.

2.等边三角形
　　（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　

（3）等边三角形的判定：

 ①三条边都相等的三角形是等边三角形；

 ②三个角都相等的三角形是等边三角形；

 ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.

3.直角三角形的性质定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【典型例题】

类型一、轴对称的性质与应用

1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（　　）

A.1个       B.2个        C.3个        D.4个

【思路点拨】分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.

【答案】C；

【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数．

△HEC与△ABC关于CD对称；△FDB与△ABC关于BE对称；△GED与△ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身．所以共3个．

【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键．

举一反三：

【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（　  　）

A.180°      B.270°       C.360°        D.480°

【答案】C；

解：连接AP，BP，CP，

∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点

∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，

∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．

2、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.

【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P的对称点来确定A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.

【答案与解析】

解：分别作P关于OM、ON的对称点，，连接交OM于A，ON于B.则△PAB为符合条件的三角形.

∵∠MON＝40°

　 ∴∠＝140°.

∠＝∠PAB,∠＝∠PBA.

∴ (∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140°

∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°

∵∠PAB＝∠＋∠, ∠PBA＝∠＋∠

∴∠＋∠＋∠＝180°

∴∠APB＝100°

【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.

举一反三：

【变式】（2015•乐陵市模拟）（1）如图1，直线同侧有两点A、B，在直线上求一点C，使它到A、B之和最小．（保留作图痕迹不写作法）

（2）知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）

（3）解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小（保留作图痕迹不写作法）

②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM的度数为　   　．

【答案】解：（1）作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，连接AC，BC，

则此时C点符合要求．

（2）作图如下：

（3）①作图如下：

 ②∵∠BAE=125°，

∴∠P+∠Q=180°﹣125°=55°，

∵∠AMN=∠P+∠PAM=2∠P，∠ANM=∠Q+∠QAN=2∠Q，

∴∠AMN+∠ANM=2（∠P+∠Q）=2×55°=110°．

3、（2016春•浦东新区期末）在直角坐标平面内，已知在y轴与直线x=3之间有一点M（a，3），如果该点关于直线x=3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（　　）

A．4        B．3         C．2       D．1

【思路点拨】根据题意得出对称点到直线x=3的距离为2，再利用对称点的性质得出答案．

【答案】D；

【解析】解：∵该点关于直线x=3的对称点N的坐标为（5，3），

∴对称点到直线x=3的距离为2，

∵点M（a，3）到直线x=3的距离为2，

∴a=1

【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点到直线x=3的距离是解题关键．

举一反三：

【变式1】如图，若直线经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△关于直线对称，已知A（1，2），则点的坐标为（　　）

A.（－1，2）  B.（1，－2）  C.（－1，－2） D.（－2，－1）

【答案】D；

提示：因为Rt△AOB与Rt△关于直线对称，所以通过作图可知，的坐标是（－2，－1）．

【变式2】如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为

（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．

【答案】

解：满足条件的点D的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.

类型二、等腰三角形的综合应用

4、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：

如图①，连接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH．

又∵，

∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．

（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=________.

【答案】7；4或10；

【解析】

解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴=AB•PE，=AC•PF，=AB•CH，

∵=+，

∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，

又∵AB=AC，

∴PE=PF+CH；

（2）∵在△ACH中，∠A=30°，

∴AC=2CH．

∵=AB•CH，AB=AC，

∴×2CH•CH=49，

∴CH=7．

分两种情况：

①P为底边BC上一点，如图①．

∵PE+PF=CH，

∴PE=CH-PF=7-3=4；

②P为BC延长线上的点时，如图②．

∵PE=PF+CH，

∴PE=3+7=10．

故答案为7；4或10．

【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．

5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求的度数．

【答案与解析】

解：将沿AB翻折，得到，连结CE，

则，

∴∠1＝∠5＝12°.

∴60°

∵48°∴．

又∵∠2＝36°，72°，

∴

∴BE＝BC

∴为等边三角形.

∴

又垂直平分BC．

∴AE平分．

∴30°

∴∠ADB＝30°

【总结升华】直接求很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．

举一反三：

【变式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为形内一点，且∠DAB＝∠DBA＝10°，

求∠ACD的度数.

【答案】　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：作D关于BC中垂线的对称点E，连结AE，EC，DE

　　　 　　∴△ABD≌△ACE

　　　 　　∴AD＝AE, ∠DAB＝∠EAC＝10°

　　　 　　∵∠BAC=80°，

∴∠DAE＝60°，△ADE为等边三角形

∴∠AED＝60°

　　　 　　∵∠DAB＝∠DBA＝10°

　　　 　　∴AD＝BD＝DE＝EC

　　　 　　∴∠AEC＝160°，

　　　 　　∴∠DEC＝140°

　　 　　　∴∠DCE＝20°

　　　 　　∴∠ACD＝30°

类型三、等边三角形的综合应用

6、（2014秋•辛集市期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．

（1）【特殊情况，探索结论】

如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE

　   　DB（填“＞”、“＜”或“=”）．

（2）【特例启发，解答题目】

如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE　   　DB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．

（3）【拓展结论，设计新题】

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．

【思路点拨】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED=EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；

（2）AE=DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE=EF=AF，BE=FC，再由ED=EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB=EF，等量代换即可得证；

（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．

【答案与解析】

解：（1）当E为AB的中点时，AE=DB；

（2）AE=DB，理由如下：

过点E作EF∥BC，交AC于点F，

证明：∵△ABC为等边三角形，

∴△AEF为等边三角形，

∴AE=EF，BE=CF，

∵ED=EC，

∴∠D=∠ECD，

∵∠DEB=60°﹣∠D，∠ECF=60°﹣∠ECD，

∴∠DEB=∠ECF，

在△DBE和△EFC中，

，

∴△DBE≌△EFC（SAS），

∴DB=EF，

则AE=DB；

（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，

∴DB=EF=2，BC=1，

则CD=BC+DB=3．

【总结升华】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．