第2讲第1课时《二次根式的化简求值》（教案）人教版数学八年级下册

教学路径

导入

师：通过上节课的学习，我们已经掌握了二次根式的定义、基本性质以及基本运算法则.同学们首先回忆一下二次根式都具有哪些基本性质?

    生自由发言.

师：这节课那我们就来进一步学习二次根式化简和求值.

启动型问题

如图（1），已知一块矩形木板的长和宽分别为3cm和4cm，现在想利用这块矩形木板裁出面积分别为6 cm2和18 cm2两种规格的正方形，能裁出大小正方形各几个？请你给出裁剪的方案，并通过计算说明理由.

学生先独立思考，然后找学生说说自己想出的裁剪方案和理由,然后全班集体交流.

小亮（点击头像出示文字）:

若只裁小正方形,其边长为cm，∵2＜4＜3，

∴宽只够裁两块.，又∵长可裁三块，∴共可裁6块面积为6 cm2的小正方形.

(下一步)如图（2）所示.

小萍:若裁大正方形,其边长为3cm.

∵3＜4＜2×3,3＜3＜2×3，

∴只能裁出一块面积为18 cm2的大正方形.(下一步)

余下的宽为4-3=＜，不够裁小正方形，

余下的长（3-3）cm，

∵＜3-3＜2，

∴长也只够裁一块小正方形的.（下一步）

∴可裁出一块面积为18 cm2的大正方形，两块面积为6 cm2的小正方形，如图（3）所示.

师：在解本题的过程中用到了分类讨论的思想方法，在今后的学习过程中，同学们要注意数学思想方法的应用，分类讨论的思想方法能够使我们解题更全面，不遗漏.看完题目之后请同学们思考一下分母有理化的概念是什么？

回顾：

分母有理化

分母有理化是二次根式化简的一种常用方法，通过分子、分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化.

师：下面我们就一起来看几道例题.

初步性问题

探究类型之一   二次根式的混合运算

例 1  计算：（1）；

（2）；

（3）.

1.师：观察代数式的特点，选择合适的方法，请同学们思考如何计算下列代数式？

生：第一题将看成一个整体，运用平方差公式和完全平方公式计算.

生：第二题将、看成一个整体，运用平方差公式.

生：第三题先将分子分母因式分解，再约分.

2. 师指定三名学生到黑板上板演，其他同学在草稿纸上计算,指出错误并更正.

解析：

（1）利用加法交换律和加法结合律进行简单分组，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；(下一步)

（2）利用平方差公式计算；(下一步)

（3）将分子、分母在实数范围内因式分解，先提公因式，再平方差公式，然后再约分.

答案：

解：（1）原式=

=

=12-+6-18

=.(下一步)

（2）原式=

=

=.(下一步)

（3）原式=

=.

3.师小结：

（1）二次根式的混合运算常常用到幂的运算法则和乘法公式，有时题目中条件不明显，要善于变形，使之符合乘法公式，幂的运算法则特点，从而简化计算.

（2）二次根式的计算和化简灵活运用因式分解能使计算简便.

类似性问题

1.若，，则x y的值是(       )

A.                     B.

C. m + n                    D. m - n

学生独立完成，然后指定学生说说自己的答案.

解析：x y===.

探究类型之二   分母有理化

例2  阅读材料:“黑白双雄,纵横江湖；双剑合璧,天下无敌.”这是武侠小说的常见描述,其意是指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”,如:(2+)(2-)=1,(+)(-)=3,它们的积不含根号,我们就说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式的除法可以这样解:如==,==,像这样,通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.

(1)4+的有理化因式是____4-_______.

   (的有理化因式是_____________)(此行不必出现)

解析：

闪烁题目中黄色字体部分（下一步）

因为（4+）（4-）=42-（）2=9，所以4+的有理化因式是4-.

答案： 4-（直接出现在横线上）.

(2)计算: .

解析：

，.

.

答案：

解：原式=2-+-=2.

(3)计算: .

解析：

，将各个代数式分别分母有理化后再进行计算.

答案：

解：原式=（）（）

=（）（）

=（）2-12

=2012-1

=2011.

(4)已知a=,b=,求的值.

解析：

观察a、b和代数式的特点知a、b互为倒数，a、b的分母互为有理化因式，且=，所以只要求出a + b 、ab的值即可.（下一步）

ab==1，（下一步）

a + b ===+=10.

答案：

解：因为a=，b=，所以ab==1，

a + b ===+=10，

所以===.

（1）师：这是一道阅读题，题目中给出了有理化因式的定义，那么我们求有理化因式的方法是什么?

生：（预设）利用平方差公式求有理化因式.

（2）师：化简二次根式的方法有哪些呢？

生：（预设）有分母的可以利用商的算术平方根的性质和分母有理化将二次根式化简为最简二次根式，没有分母的利用积的算术平方根的性质化为最简二次根式.

（3）师：继续第三题，现在同学们可以尝试化简求值了.

生：（预设）将括号内的每个代数式分母有理化就可以了.

（4）师：好，如何求第四题中代数式的值呢?大家先观察一下a、b和代数式的特点.

生：（预设）a、b互为倒数，a、b的分母互为有理化因式，再根据代数式的特点只要求出a + b 、ab的值即可.

师小结：当分母中有根号时，分母有理化是我们处理二次根式问题时常用的一种方法，在有关二次根式化简求值的题目中我们经常会用到. 利用平方差公式进行分母有理化是常用方法.如:（+）(-)=a-b,(a+)(a-)=a2-b, (+b)(- b)=a-b2.

类似性问题

2. 如图,数轴上与1,对应的点分别为A,B，点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数为x,则|x-|+ =（     ）

A.                  B.

C.                  D. 2

解析：

因为点B和点C关于点A对称，点A和点B所表示的数分别为1，，所以点C表示的数为2-，即x=2-，（下一步）

故|x-|+ =|2--| + =2-2+=3.

初步性问题

探究类型之三    二次根式的大小比较

例3  比较大小:(1)-与-2；(2)-与-.

师：比较两个数大小的方法有哪些呢？

生：数轴、差值、商值、绝对值比较法.

师：这两道题目用什么方法来比较大小呢？同学们通过尝试发现以上方法都不合适，那还有别的方法吗？

生：第一题采用平方法，利用完全平方公式，平方项的和相等，只要比较交叉项即可.

生：第二题采用倒数法，利用平方差公式，分母有理化，平方项的差相等，只要比较分子大小即可.

师：非常好，比较二次根式的大小最常用的方法就是平方法和倒数法，先分析二次根式的特点再选择适合的方法，第二题也可直接分子有理化.

解析：

（1）作差法或平方法比较大小；（下一步）

（2）倒数法比较大小.

答案：

解：（1）--（-2）

=--+2

=（-）+（2-）.

∵>，2>，

∴->0, 2->0,

∴--（-2）>0.

∴->-2.(下一步)

（2）==，

==.

∵=<，

∴<，

∴->-.

类似性问题

3.已知，，，则下列结论中正确的是（     ）

A. a>b>c                 B. c>b>a

C. b>a>c                    D. b>c>a

解析： 利用倒数法比较大小.(下一步)

，

，

,（下一步）

∵0<，

∴a>b>c.