第六章 导数及其应用（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）

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第六章  导数及其应用（B卷·能力提升练）

（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2023·山西临汾·高二统考期末）若函数在处的切线方程为，则的值是（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】，

由切线斜率为4，得，整理得①，

由切线经过，得，整理得②，

联立①②解得，故.

故选：A.

2．（2023·陕西汉中·高二统考期末）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．函数在区间上单调递增

B．函数在区间上单调递减

C．函数在处取得极大值

D．函数在处取得极大值

【答案】A

【解析】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确；

在区间上，故函数在区间上单调递增，故B错误；

当时，，可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故C错误；

当时，，单调递减；当时，，单调递增，故函数在处取得极小值，故D错误，

故选：A.

3．（2023·陕西汉中·高二统考期末）已知函数，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为函数，

所以，

所以在上递增，

又因为，

所以，

故选：D

4．（2023·湖南张家界·高二统考期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】函数的定义域为，

因为函数有两个不同的极值点，

所以有两个不同正根，

即有两个不同正根，

所以解得，

故答案为:A.

5．（2023·山西临汾·高二统考期末）已知函数是的导函数，则函数的零点个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】由题意知，令，即研究的零点个数，

显然的定义域为，

由知在定义域内单调递增，

又，

故在定义域内有唯一零点，且.

故选：B.

6．（2023·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期末）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】原不等式等价于，设，，所以，得．当时，，

所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，当时，取极大值.

又，且时，，因此与的图象如下，直线恒过点.

当时，显然不满足条件；当时，只需要满足，即，解得．

故选：D.

7．（2023·陕西咸阳·高二校考期末）已知对于恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，，

令，解得：，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因为对于恒成立，所以，即.

故选：B.

8．（2023·江苏徐州·高二统考期末）已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设，则有，

所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；

所以，

即有，

故；

令，则，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；

所以，

即，

故，

综上所述，则有.

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（2023·山西大同·高二大同一中校考期末）已知函数的最大值为3，最小值为，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】由题意可得：，，

当时，则，显然不合题意，舍去；

当时，令，而，则，

故在上单调递减，在上单调递增，且，即，

故，解得，则；

当时，令，而，则，

故在上单调递减，在上单调递增，且，即，

故，解得，则；

综上所述：或.

故选：AC.

10．（2023·江苏·高二统考期末）定义在上的函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．函数在上单调递减

B．

C．函数在x＝5处取得极小值

D．函数存在最小值

【答案】ACD

【解析】在恒成立，则在上单调递减，故A正确；

在恒成立，则在上单调递增，

则，故B错误；

上，上,

则函数在x＝5处取得极小值，故C正确;

由导数图可知在上递减，在上递增，

在上递减，在上递增，

故在两个极小值和中产生，故存在最小值，故D正确;

故选：ACD.

11．（2023·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）过下列哪些点恰可以作函数的两条切线（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】由，所以，

设切点为，则.

对于A，因为，所以在函数上，

当为切点时，有一条切线；

当不为切点时，由，

即，

设，则，

令，则或；令，则，

所以函数在 和上单调递增，在上单调递减，

又，，

所以函数只有一个零点，故只有一个解，

综上所述，过恰可做函数的两条切线，故A正确；

对于B，由，

即，

设，则，

令，则或；令，则，

所以函数在 和上单调递增，在上单调递减，

又，，

所以函数有3个零点，故有3个解，

所以恰可做函数的三条切线，故B不正确；

对于C，由，

即，解得或，

所以过恰可做函数的两条切线，故C正确；

对于D，由，

即，

设，则，

令，则或；令，则，

所以函数在 和上单调递增，在上单调递减，

又，，

所以函数有1个零点，故有1个解，

所以恰可做函数的一条切线，故D不正确；

故选：AC.

12．（2023·湖南张家界·高二统考期末）已知，且，下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】设函数恒成立，

所以在单调递增，所以，

所以对恒成立，

所以恒成立，A正确；

设函数，，

令解得，所以在单调递增，

所以，

即对恒成立，

所以恒成立，B正确；

设函数，，

令解得，

令解得，

所以当时，有增有减，

所以时，的大小关系不一定，

即不恒成立，

也即不恒成立，C错误；

因为，所以令，

设，

因为，所以恒成立，所以单调递增，

所以，即，

即即，

也即，D正确，

故选:ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2023春·江苏淮安·高二洪泽湖高级中学校考开学考试）已知函数的导数为，则的图象在点处的切线的斜率为___________.

【答案】8

【解析】因为，

所以，则，解得，

所以，则，

即的图象在点处的切线的斜率为.

故答案为：

14．（2023春·湖南衡阳·高二校考开学考试）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为_________．

【答案】

【解析】由，得，

则有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根，

令，则，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，，

当时，，当时，，

当时，的增长速率远远比的要大，所以，

作出的图象，如图所示，

．

故答案为：．

15．（2023·全国·高二专题练习）已知是定义在上的奇函数， 是的导函数，当时， .若，则不等式的解集是________.

【答案】

【解析】设 ，则 ，

在 时是单调递增的， ， 时 ， 时， ， ， ；

设 ，则 ， 是偶函数，

时， 的解是 ；

故答案为： .

16．（2023·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为________.

【答案】

【解析】.

令，，则，

∴在上单调递增.

∵，，∴，

∴恒成立，

令，则，

∴单调递增；单调递减，

时，的最大值为，

∴，∴的最小值为.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

17．（10分）

（2023·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若在区间，上的最小值为，求的值．

【解析】（1），

，

令，得；令，得或，

所求的单调减区间为，和，，单调增区间为．

（2）由函数在区间内的列表可知：

函数在上是减函数，在上是增函数．

．

，

．

18．（12分）

（2023春·江苏泰州·高二校考开学考试）已知函数在处取得极大值1.

(1)求函数的图象在处的切线方程；

(2)求过点与曲线相切的直线方程.

【解析】（1），则，

由题意可得，解得，

即，，

令，解得或，

故在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值1，

即符合题意.

∵，则切点坐标为，切线斜率，

∴函数的图象在处的切线方程为，即.

（2）由（1）可得：，，

设切点坐标为，切线斜率，

则切线方程为，

∵切线过点，则，整理得，即，

∴切线方程为，即.

19．（12分）

（2023·陕西渭南·高二统考期末）已知函数（，常数）．

(1)当时，求的单调递增区间；

(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．

【解析】（1）时，，，

令，解得或，

故的递增区间是；

（2）若函数在上单调递增，

故在恒成立，

故，

令，则，

令，解得，令，解得，

故在上单调递减，在上单调递增，

故，

故的取值范围是.

20．（12分）

（2023·江苏徐州·高二统考期末）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路，余下的外围是抛物线的一段，的中垂线恰是该抛物线的对称轴，是的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形区域种植草坪，其中均在该抛物线上.经测量，直路段长为60米，抛物线的顶点到直路的距离为40米.以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.

(1)求该段抛物线的方程；

(2)当长为多少米时，等腰梯形草坪的面积最大？

【解析】（1）设该抛物线的方程为，由条件知，，

所以，解得，

故该段抛物线的方程为.

（2）由（1）可设，所以梯形的面积，

设，

则，令，解得，

当时，在上是增函数；

当时，在上是减函数.

所以当时，取得极大值，也是最大值.

故当长为20米时，等腰梯形草坪的面积最大.

21．（12分）

（2023·全国·高二专题练习）已知函数，（，为自然对数的底数）.

(1)求函数的极值；

(2)若对，恒成立，求的取值范围.

【解析】（1）定义域为，，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

的极大值为，无极小值.

（2）由得：，在上恒成立；

令，则；

令，则，

在上单调递增，又，，

，使得，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，；

由得：，，

，，

则实数的取值范围为.

22．（12分）

（2023·江苏盐城·高二校考期末）已知函数，.

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间；

(3)如果存在实数、，其中，使得，求的取值范围．

【解析】（1）因为，其中，则，所以，，，

所以，函数在点处的切线方程为，即.

（2）由可得，由可得.

所以，函数的减区间为，增区间为.

（3）由已知，则函数在、上为增函数，

若存在实数、，其中，使得，则，，

令，则，可得，

由可得；由可得，所以，，

令，其中，令可得，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

故当时，，

又因为，，且，所以，，

因此，的取值范围是.