第六章 导数及其应用（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）

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班级 姓名 学号 分数
第六章 导数及其应用（A卷·知识通关练）
核心知识1 导数的概念
1．（2023·天津河西·高二天津实验中学校考期末）已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数，
所以该函数在区间上的平均变化率为
，
故选：A
2．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）函数在区间上的平均变化率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.
故选：A.
3．（2023·全国·高二专题练习）函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（    ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解析】，
.
由题意，知，所以.
故选：A.
4．（2023·陕西汉中·高二统考期末）自由落体运动的物体下落的距离（单位：）关于时间（单位：）的函数，取，则时的瞬时速度是多少（    ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【解析】，故时的瞬时速度是.
故选:B.
5．（2023·江苏徐州·高二统考期末）已知函数，则（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】由导数的定义可知，
又，
故，
故选：B
6．（2023·山西晋城·高二统考期末）有一机器人的运动方程为，（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为（    ）
A．5 B．7 C．10 D．13
【答案】C
【解析】因为，所以，
则，
所以该机器人在时刻时的瞬时速度为，
故选：.
7．（2023·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期末）设函数在点处的切线方程为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由导数值的定义，，根据导数的几何意义，，即.
故选：A
8．（2023·湖北襄阳·高二襄阳四中校考期末）若函数在处的导数为1，则（    ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，.
根据导数的定义可知，，
即，
所以.
故选：D.
核心知识2 导数的运算：求函数的导数
9．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】（1）
．
（2）令，，则．
（3）因为，
所以．
10．（2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4），．
11．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解析】（1）
（2）
（3）令则
，故
（4）
12．（2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【解析】（1）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（2）函数可以看作函数和的复合函数，
∴ .
（3）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（4）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（5）函数可以看作函数和的复合函数，
∴ ．
（6）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
13．（2023·全国·高二专题练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【解析】（1），.
（2），
，.
（3），

.
（4），
.
（5），
．
核心知识3 利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处）
14．（2023·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】，
当时，，
所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：.
15．（2023·浙江省常山县第一中学高二期中）已知，则在x＝1处的切线方程是______．
【答案】
【解析】已知当时，
由，得
根据点斜式可得：
故答案为:
16．（2023·辽宁实验中学高二开学考试）已知曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】将代入，则，即，
由，则，由题意，，
将代入，则，由，则，
将代入，则，
则切线方程为，即.
故答案为：.
17．（2023·全国·高二课时练习）过点且与曲线相切的直线方程为______．
【答案】或
【解析】由题意，设切点坐标为，则，
又由函数，可得，可得，所以，
根据斜率公式和导数的几何意义，可得，即，
解得或，所以切线的斜率为或，
所以切线方程为或，即或.
故答案为：或.
18．（2023·辽宁丹东·高二期末）写出a的一个值，使得直线是曲线的切线，则a=______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】设切点为，直线恒过定点，
，则，
则，可得其中一个根，
，此时，得.
故答案为： （答案不唯一）
19．（2023·全国·高二专题练习）过点且与曲线相切的直线共有________条.
【答案】2
【解析】设切点的坐标为，因为，
所以切线的方程为，
将代入方程整理得，解得或.
故切线方程为或，
即过点且与曲线相切的直线共有2条.
故答案为：
20．（2023·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知函数，.
(1)求曲线在处切线的方程；
(2)若直线l过坐标原点且与曲线相切，求直线l的方程.
【解析】（1），所以，所以，，所以切线方程为：，整理得.
（2），所以，设切点坐标为，所以切线斜率为，
则切线方程为：，又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得，所以切线方程为：，整理得.
21．（2023·陕西·西安中学高二阶段练习）已知二次函数，其图象过点，且.
(1)求、的值；
(2)设函数，求曲线在处的切线方程.
【解析】（1）因为，则，
所以，，解得.
（2）因为的定义域为，且，
所以，，，故切点坐标为，
所以，函数在处的切线方程为.
22．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，且.
(1)求的解析式；
(2)求曲线在处的切线方程.
【解析】（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为.
（2）由（1）可知，；
又，所以曲线在处的切线方程为，即.

核心知识4 与切线有关的综合问题
23．（2023·上海市杨浦高级中学高二期末）函数特性：“函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直”，则下列函数中满足特性的函数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设函数的图像上存在两点，，若，则图像在这两点处的切线互相垂直，
对A，，则，故A不正确；
对B，，则，因为，所以存在，满足，故B正确；
对C，，则，故C不正确；
对D，，则，故D不正确，
故选：B
24．（2023·陕西·西安中学高二阶段练习）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】的导数为，
由于存在垂直于轴的切线，
可得有实数解，
即有，即有，
解得或．
故选：B
25．（2023·安徽·安庆市第二中学高二期末）若过点可以作曲线的三条切线，则（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题可得，
设切点，则，整理得，
由题意知关于的方程有三个不同的解，
设，，
由，得或，又，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，单调递增，
当时，
当时，，且，，
函数的大致图像如图所示，

因为的图像与直线有三个交点，
所以，即.
故选：D.
26．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）过直线上一点可以作曲线的两条切线，则点横坐标的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，设切点为，，
，，
则过点的切线方程为，整理得，
由点在切线上，则，即，
因为过直线上一点可以作曲线两条切线，
所以关于的方程有两个不等的实数根，
即函数与函数的图象有两个交点，
，
，
则函数在上单调递增，在上单调递减，且，
时，；时，，
则函数与函数的图象如下图所示：

由图可知，，
故选：C.
27．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知函数在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，则实数的值为（    ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【解析】由题意，函数，则，
可得，，即切点坐标为，
所以在处的切线为，
当时，；当时，，
因为在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为，
可得，解得或，
又因为，所以.
故选：C.
28．（2023·山东烟台·高二期末）已知曲线在点（0，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的值为（    ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【解析】的导数，
曲线在处切线斜率，
则曲线在处切线方程为，即
由于切线与曲线只有一个公共点，
联立，得
即解得
故选: A.
29．（2023·湖南郴州·高二期末）过点作曲线的切线有且只有两条，则b的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设切点为，，故过的切线方程为，即.故有且仅有两根.设，则，令则，令则，且，又当时，，.故有且仅有两根则b的取值范围为

故选：A
30．（2023·陕西·延安市第一中学高二期中（理））设函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设函数，直线与曲线及都相切，且与切点的横坐标为，求证：.
【解析】（1）当时，  显然定义域为R
所以
令得：或
令得：
则在上单调递增，在上单调递减，
.所以的极小值为，极大值为
（2）由于，所以.
当时，，所以在上单调递增，
当时，令，解得：或，
令，解得：，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
综上所述，则时，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（3）已知.
设直线与曲线相切于点. 所以，
因为，，所以①，显然.
因为在处的切线方程为，又过点，
所以②，
由①、②可得
为函数的零点，
由于，所以在上单调递增，
且，则在上存在唯一零点，
因此.
31．（2023·全国·高二课时练习）已知函数，点、为函数图像上两点，且过A、B两点的切线互相垂直，若，求的最小值．
【解析】
∵，过A，B两点的切线互相垂直，∴，
∴，，∴，
当且仅当，即，时等号成立，
∴的最小值为1．
32．（2023·全国·高二课时练习）已知函数．
(1)当a＝1时，求曲线在x＝2处的切线方程；
(2)当时，曲线上存在分别以和为切点的两条互相平行的切线，求的取值范围．
【解析】（1）当a＝1时，，，
因为，所以， 即，
所以曲线在x＝2处的切线方程为，
即；
（2）由题意知，，
即，
整理得，因为，所以，
所以，
令，则，因为，，
所以在上单调递增，即，
所以，即，
所以，即的取值范围为．
33．（2023·全国·高二课时练习）已知两条曲线，，是否存在这两条曲线的一个公共点，使得在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】∵，，∴，．
设两条曲线的一个公共点为点，∴两条曲线在点处的切线斜率分别为，．若两条切线互相垂直，则，即，∴，
显然不成立，∴这两条曲线不存在这样的公共点，使得在这一点的两条曲线的切线互相垂直．
34．（2023·全国·高二期末）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)若直线l与函数，的图象都相切，求直线l的条数．
【解析】(1)由题设，，定义域为，
则
当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.
(2)因为，，所以，，
设直线分别与函数，的图象相切于点，
则，即
由，得
即，即
由，得，代入上式，得
即，则
设
当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，
则在上仅有一个零点.
因为，则在上仅有一个零点.
所以在上有两个零点，故与函数，的图象都相切的直线有两条.
核心知识5 最短距离问题
35．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）若是直线上的一点，点是曲线上的一点，则的最小值为 ________．
【答案】
【解析】因为点是曲线上的一点，故设，
所以到直线的距离为，
令，则
当单调递增；当单调递减；
所以，
所以
所以的最小值为
故答案为：
36．（2023·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知为直线上的一个动点，为曲线上的一个动点，则线段长度的最小值为______.
【答案】
【解析】直线可化为：.
对于曲线.
当时，代入不成立，所以.
所以可化为，导数为
所以线段的最小值即为与平行的直线与相切时，两平行线间的距离.
设切点.
由题意可得：，即，解得：或.
当时，；
当时，.
综上所述：线段长度的最小值为.
故答案为：.
37．（2023春·河北承德·高二统考阶段练习）曲线上的点到直线的最短距离是________．
【答案】
【解析】由题意得：
设与平行的直线l与相切，则切线l的斜率
因为，所以，由，得．
当时，，即切点坐标为
则点到直线的距离就是直线上的点到直线的最短距离
所以点到直线的距离
所以曲线上的点到直线的最短距离为．
故答案为：
38．（2023春·广东广州·高二校考期中）点是曲线上任意一点，则点P到直线的最短距离为___________.
【答案】
【解析】由，
令，解得或（舍去），
又由，可得斜率为1且与曲线相切的直线的切点为，
则点P到直线的最短距离为,
故答案为：
39．（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）已知曲线，则曲线上的点到直线的最短距离是______.
【答案】
【解析】的导数为，
设在处的切线平行于直线，
则有，得，，
即有切点为，
可得最短距离为点到直线的距离，
故答案为：．
40．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）函数上的点到直线的最短距离是________．
【答案】
【解析】要使上的点到直线的最短，则该点切线平行于，
由且，令，
∴，解得（舍）或，
∴切点为，故最短距离为.
故答案为：
41．（2023春·安徽芜湖·高二校考阶段练习）点是曲线上任意一点则点到直线的最短距离为______．
【答案】
【解析】设直线与函数的图象相切于点．
∵，∴，，解得，，
∴点到直线的距离为最小距离．
故答案为：．
核心知识6 利用导数求函数的单调区间
42．（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）函数 的单调递减区间是（      ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，
令，
故函数的单调递减区间是，
故选：C
43．（2023·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）函数的单调递增区间是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为定义域是，且，令，解得：，故单调递增区间是，
故选:.
44．（2023·全国·高二专题练习）函数的单调递增区间为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
，
令，得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：C
45．（2023·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）函数的增区间是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：函数的定义域为，
∵，
令，则，解得或，且，
∴函数的增区间是.
故选：D.
46．（2023·全国·高二专题练习）函数的单调减区间是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵的定义域为，且，
令，解得，
∴函数的单调减区间是.
故选：D.
核心知识7 已知单调性求参数的取值范围
47．（2023·全国·高二专题练习）设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数在上单调递减，则在上恒成立，
所以，在上恒成立，设函数，则，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，
则实数的取值范围是.
故选：D.
48．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的单调递减区间为，则（    ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得，又的单调递减区间是，所以和1是方程的两个根，代入得.经检验满足题意
故选：B.
49．（2023·全国·高二专题练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，故在上有零点，令，令，得，令，
则，由，得，单调递增，又由，得，
故，所以，的取值范围
故选：A
50．（2023·全国·高二专题练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得：.
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以在上有解，即在上有解.
设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以.
所以.
故选：D
51．（2023·全国·高二专题练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
当，解得：，
由条件可知，
所以 ，解得：.
故选：D
52．（2023·全国·高二专题练习）已知函数（其中），若函数为上的单调函数，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
（ⅰ）当时，，在递增，即在递增，
令，解得：，
故在递减，在递增，不单调，与题意不符；
（ⅱ）当时，由，
，
，
，
此时函数存在异号零点，与题意不符；
（ⅲ）当，由，可得，
由可得，
在上单调递增，在，上单调递减，
故，
由题意知，恒成立，
令，则上述不等式等价于，其中，
易证，当时，，
当，时成立，
由，解得．
综上，当时，函数为上的单调函数，且单调递减；
故选：D．
53．（2023·全国·高二专题练习）若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ）
A． B． C．(1，2] D．[1，2)
【答案】A
【解析】显然函数的定义域为，．
由，得函数的单调递增区间为；
由，得函数单调递减区间为．
因为函数在区间上不是单调函数，所以，解得，又因为为定义域内的一个子区间，所以，即．
综上可知实数k的取值范围是．
故选：A
54．（2023春·江苏扬州·高二校考开学考试）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题, 在上恒成立.即在上恒成立.
又,其导函数恒成立.故的最小值为.故.
故选：C
55．（2023·全国·高二专题练习）已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的定义域为，，
又在定义域内单调递减，
在上恒成立，即在上恒成立；
，
，即实数的取值范围为.
故选：D.
核心知识8 含参数单调性讨论
56．（2023·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)讨论的单调性.
【解析】（1）当时，令，
，
可得时，，函数单调递减；
时，，函数单调递增，
时，函数取得极小值即最小值，，
∴，即．
（2）函数的定义域为，
，  
当时， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；
当时，时，，函数单调递增区间为；时，，函数单调递减；
当时，，，函数在单调递增．
综上，当时，函数在单调递增，在单调递减；
当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增.
57．（2023·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数，．
(1)若函数在x＝1处取得极值，求a的值．
(2)讨论函数的单调区间．
【解析】（1）定义域为，
，因为在x＝1处取得极值，
所以，解得：，
经验证，此时x＝1为极大值点，满足要求，故；
（2），
当时，恒成立，令得：，
令得：，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，，故令得：或，
令得：，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，恒成立，故的单调递增区间为；
当时，，令得：或，
令得：，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为；
综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
58．（2023·山东潍坊·高二统考期末）已知.
(1)若函数在处取得极值，求实数的值；
(2)若，求函数的单调递增区间；
【解析】（1）因为，
所以，依题意，即，解得，
此时，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，符合题意，所以.
（2）因为，
所以，，
则，
令，则或，
当时，令可得，
函数的单调递增区间为；
当时，令，可得或，
函数的单调递增区间为，；
当时，在上恒成立，
函数的单调递增区间为；
当时，令可得：或，
函数的单调递增区间为，；
综上可得：当时单调递增区间为，当时单调递增区间为，，
当时单调递增区间为，当时单调递增区间为，.
59．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论的单调性；
【解析】由题意可知的定义域为，
，令，可得，
方程的判别式，
①当，即时，在上单调递增；
②当，即或时，由，
解得，
令，则或；令，则；
所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当或时，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.
60．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)当时，求的极值.
(2)讨论的单调性；
【解析】（1）当时，，
则，
令，得,


2


+
0
-

单调递增

单调递减
所以的极大值为，无极小值.
（2）的定义域为，
对于二次方程，有，
①当时，恒成立，在上单调递减；
②当时，方程有两根，
若，时，；时，；
故在上单调递增，在上单调递减；
若，时，；时，；
故在与上单调递减，在上单调递增；
61．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中.讨论函数的单调性；
【解析】由，得，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
62．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)当时，求函数的单调增区间．
(2)讨论函数的单调性．
【解析】（1）函数的定义域为，
当时，，
所以.
故当时， ，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
所以函数的单调递增区间有和；
（2）由可得：.
①当时， ，在上单调递增；
②当时，时，时，在上单调递增；
时，时，在上单调递减；
时， ，在上单调递增；.
③当时，，且仅在时，，
所以函数在上单调递增；
④当时，时，时，在上单调递增；
时，时，在上单调递减；
时， ，在上单调递增；.
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
63．（2023·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）设函数（a为非零常数）
(1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性.
【解析】（1）函数，求导得：，则有，而，
因此曲线在点处的切线方程为，则有，
即，而，则，
所以实数的值为1.
（2）函数的定义域为，，
当时，恒有，当且仅当且取等号，则函数在上单调递增，
当时，由解得，，
当，即时，当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当，即时，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，递减区间是，递增区间是；
当时，递增区间是，，递减区间是；
当时，递增区间是.
64．（2023·山西太原·高二校考期末）已知三次函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程，
(2)讨论的单调性.
【解析】（1）当时，，
，
所以曲线在点处的切线斜率为，
又，，
整理可得曲线在点处的切线方程为；
（2），
若，由可得，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
当时，，
可得或，
所以在 为增函数，在上为减函数，
当时，
若，
在 为减函数，在上为增函数，
若，，在上为减函数，
若，
在 为减函数，在上为增函数，
综上可得：
若，
在上为增函数，在上为减函数，
当时， 在 为增函数，在上为减函数，
当时，
若
在 为减函数，在上为增函数，
若，，在上为减函数，
若，在 为减函数，在上为增函数.
核心知识9 求函数的极值
65．（2023·辽宁·阜新市第二高级中学高二期末）已知函数，求函数的极值.
【解析】，定义域为R，.
①当时， ， 在R上为增函数， 无极值.
②当时，令，得， .
当， ；当 ， ；
∴在上单调递减，在上单调递增，
在取得极小值，极小值为，无极大值.
综上所述，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.
66．（2023·浙江·高二期中）已知函数，满足．
(1)求实数a的值；
(2)求的单调区间和极值．
【解析】（1）由题意，，又，解得
（2）由（1），且为增函数.
令可得，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故在处有极小值，无极大值.
综上单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.
67．（2023·全国·高二课时练习）求下列函数的极值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)极小值为；极大值为
(2)极大值为，没有极小值
【分析】
求出导数，根据导数的正负确定函数的单调区间，从而求出函数的极值即可.
（1）因为．
令，解得，．
当x变化时，，的变化情况如下表：
x

－1

1


－
0
＋
0
－

单调递减
－3
单调递增
－1
单调递减
由上表看出，当时，取得极小值，为；
当时，取得极大值，为．
（2）函数的定义域为，且．
令，解得．
当x变化时，与的变化情况如下表：
x




＋
0
－

单调递增

单调递减
因此，是函数的极大值点，极大值为，没有极小值．
68．（2023·全国·高二课时练习）设函数，若为奇函数，求：
(1)曲线在点处的切线方程；
(2)函数的极大值点．
【解析】（1）因为函数为奇函数，所以，
从而得到，即，所以．
因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
由，得，由，得或，
所以函数在上是严格减函数，在上是严格增函数，
所以函数的极大值点是．
69．（2023·陕西咸阳·高二期末（理））已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数的极值点个数，并说明理由．
【解析】（1）当时，，，，，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）易得函数定义域为R，，
当时，令，解得或，显然，则当或时，，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；
当时，，所以在R上单调递增，故此时无极值点；
当时，令，解得或，显然，则当或时，，
当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故有2个极值点；
综上可得，当时，无极值点；当且时，有2个极值点.
70．（2023·广东·佛山一中高二期中）已知函数在处的切线方程为．
(1)求、的值；
(2)求的极值点，并计算两个极值之和．
【解析】(1)因为的定义域为，，
因为，曲线在处的切线方程为，
，可得，，可得.
(2)由，得，
列表如下：













增
极大值
减
极小值
增
所以，函数的极大值点为，极大值为，
极小值点为，极小值为，
所以，函数的极大值和极小值为.
71．（2023·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（理））已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)求函数的极值点．
【解析】（1）由可得：，即，
令，则问题转化为，
因为，
所以当时， ，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，所以，
故的范围为：.
（2）因为，
所以，
当时，，
当，，单调递减；
当时，，单调递增，此时的极值点为；
当时，令，得，，
当时，，
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以此时的极值点为和；
当时，，此时，单调递增，无极值点；
当时，，
当和时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以此时的极值点为和；
综上所述：当时，极值点为；当时，无极值点；当或时，极值点为和.

核心知识10 求函数的最值
72．（2023·全国·高二专题练习）函数在区间上的最大值与最小值之和为______．
【答案】
【解析】由已知得，
当时，，
当时，，
所以函数在区上单调递增，在上单调递减，
又当时，，当时，
当时，，
所以，所以，
所以函数在区间上的最大值与最小值之和为.
故答案为：.
73．（2023·高二课时练习）函数在区间上的最大值是___________.
【答案】8
【解析】f ′(x)=6x2-4x= 2x(3x-2），
已知x∈[-1，2]，当2 ≥ x >或-1 ≤ x <0时， f ′(x)>0，
f（x）单调递增区间是，
当0 故函数在处取极大值，f（0）=0，又f (2)=8，故 f（x）的最大值是8.
故答案为：8
74．（2023·高二课时练习）已知函数，则在上的值域为_____
【答案】
【解析】由题意得f′（x）＝−cosx，令f′（x）=0得x=，
易知当x∈[0，）时，f′（x）＜0，此时f（x）递减；
当x∈（，π]时，f′（x）＞0，此时f（x）递增．
故f（x）min=f（）=；因为f（0）=0，f（π）=．
故函数f（x）的值域为
故答案为：
75．（2023·山西临汾·高二统考期末）已知函数在处取得极小值1.
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的值域.
【解析】（1）因为，所以，
根据题意，即
解得a＝3，b＝－9.
（2）由（1）知，，
令，解得或，
当时，及的变化情况如下表：



1

2



0



28
单调递减
1
单调递增
8
因此当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
故的值域为.
76．（2023·浙江舟山·高二统考期末）已知函数.
(1)求在点处的切线方程；
(2)求在上的最值.
【解析】（1），.
，所以切线方程为，即.
（2）
在单调递增；
在单调递减，
时，取极大值也是最大值，
，

.
77．（2023·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知在时有极值0.
(1)求常数的值；
(2)求函数在区间上的值域.
【解析】（1），可得，
由题时有极值0.可得：即
解得：或，
当时，单调，不会有极值，故舍去.
经验证成立；
（2）由（1）可知，
，，


















增

减

增

所以函数在和递增，递减.
且，，，，
可得值域为.
78．（2023·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）已知函数，，且．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值．
【解析】（1）由得，
，解得
，

曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）由（1），令得或，令得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
函数在区间上的最大值为
核心知识11 由极值求参数的值或取值范围
79．（2023·全国·高二课时练习）已知函数在处取得极值，且极值为0，则______．
【答案】
【解析】由题意，函数，可得，
函数在处取得极值，且极值为0，
可得，解得或，
当时，，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故在处取得极值，符合题意．
综上所述，，所以．
故答案为：.
80．（2023·河南开封·高二期末（理））已知函数的极大值是4，则___________.
【答案】
【解析】，
令得：
又，则只能为极大值点，

故答案为：
81．（2023·黑龙江·建三江分局第一中学高二期末）已知函数在时有极值0，则= ______ .
【答案】
【解析】∵，，函数在时有极值0，
可得即 ，解得或，
若时，函数，
所以函数在上单调递增，函数无极值，故舍，
所以，所以
故答案为：．
82．（2023·新疆·乌苏市第一中学高二期中（文））己知有极大值和极小值，则a的取值范围为________
【答案】
【解析】∵，
∴，
因为函数既有极大值，又有极小值，
所以，
解得或，
故的取值范围为.
故答案为：.
83．（2023·河南·南阳中学高二阶段练习（理））若函数在区间上有两个极值点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意，函数，可得，
因为函数在区间上有两个极值点，
即在上有两个不等的实数根，
即在上有两个不等的实数根，
即函数和的图象有两个交点，
又由，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，且当时，，当时，，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
84．（2023·黑龙江·建三江分局第一中学高二期中）若函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】由，得
，
因为函数在区间上存在极值，
所以在上有变号零点，
因为，所以，即在上有解，
转化为在上有解.
因为，所以，即，
于是，得.由此可得.
实数a的取值范围是.
故答案为：.
85．（2023·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校高二阶段练习）函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】，，
因为函数既有极大值，又有极小值，
所以，
即，，解得或，
故的取值范围为，
故答案为：.
86．（2023·全国·高二课时练习）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为函数有两个不同的极值点，所以有2个变号零点，即有两个不等的实根．
因为时显然不成立，所以，可得，令，则与图像有两个不同的交点即可，
则，当且时，，当时，，所以在和上单调递减，
在上单调递增，当时，，当时，，故的图象如图所示．
当时，，由图知当时两个函数的图像有2个不同的交点，可得原函数有2个极值点．
所以实数a的取值范围是．
故答案为：.

87．（2023·新疆·柯坪湖州国庆中学高二期末（理））若函数有两个极值点，则实数取值范围是______
【答案】
【解析】由题意可知，，
∵有两个极值点，
∴有两个不同的实数根，
故，即或.
从而实数取值范围是.
故答案为：.
核心知识12 由函数的最值求参数问题
88．（2023·全国·高二专题练习）已知函数在上的最小值为，则实数a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，在单调递减，
且最小值为，满足条件，故可排除A，B；
当时，，，
时，，在单调递减，
所以最小值为，满足条件，故可排除C；
故选：D
89．（2023·全国·高二专题练习）已知函数无最大值，则实数a的取值范围是(    )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
令，解得或；令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
g(－1)＝2，g(1)＝－2，
据此，作出和y＝－2x的图像，

由图可知，当x＝a＜－1时，函数f(x)无最大值.
故选：D.
90．（2023·全国·高二专题练习）函数在上的最大值为2，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解:由函数的解析式可得:，
当≤0时,即时，在内恒成立，函数在区间上单调递增,而,不合题意;
当≥2，即时,在内恒成立，函数导函数在区间[0, 2]上单调递减,而f(0)=2 ,满足题意;
当，即时，在区间上, 函数单调递减,在区间 上, 函数单调递增，满足题意时有 ,即: , 解得 ,此时 ,
综上可得,实数的取值范围是[4 , +∞) .
故选: D.
91．（2023·全国·高二专题练习）若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，得，，
令，解得；令，解得或.
所以，函数的增区间为和，减区间为.
函数在开区间内的最小值一定是，
可求得，如下图所示：

所以，解得，因此，实数的取值范围是.
故选：C.
92．（2023·吉林松原·高二校考期末）函数在区间上的最大值是，则的值为(　　)
A．3 B．1
C．2 D．－1
【答案】B
【解析】由题意可知，，
令，解得或（舍）.
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以,,，则最大，
所以当时，函数取得最大值为.
由题意可知，，解得,
所以的值为.
故选：B.
93．（2023·全国·高二专题练习）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当x＜0时，，
当且仅当x＝−1时，f（x）取得最大值f（−1）＝a−2，
由题意可得x＞0时，的值域包含于（−∞，a−2]，
即在x＞0时恒成立
即在x＞0时恒成立
即
设

当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，


故选：C．
核心知识13 导数在解决实际问题中的应用
94．（2023·河南南阳·高二期中（理））在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（    ）
A．3万元 B．4万元 C．5万元 D．6万元
【答案】B
【解析】依题意，且，
，
所以函数在，函数递增；在，函数递减.
所以当万元时，函数取得最大值.
故选：B
95．（2023·四川省泸县第四中学高二期中（理））某厂生产x万件某产品的总成本为C(x)万元，且．已知产品单价（单位：元）的平方与x成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y（单位：万元）最大，产量应定为（    ）
A．23万件 B．25万件 C．50万件 D．75万件
【答案】B
【解析】设产品单价为，因为产品单价的平方与产品件数成反比，所以,（其中为非零常数），又生产件这样的产品单价为元，所以，
故，所以，
记生产件产品时，总利润为,
所以,
则，令有，且在上单调递减，故由，得；由，得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
因此当时，取最大值，即产量定为万件时，总利润最大．
故选：B
96．（2023·江苏江苏·高二阶段练习）某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“知名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该系列的调研得知，系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格百元/千克近似满足关系式，其中，为常数．已知销售价格为6百元/千克时，每日可售出系列3千克．若系列的成本为4百元/千克，则该商场每日销售系列所获最大利润为（    ）百元．
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【解析】由题意，即，故，
利润，
，
则在上单调递增，在上单调递减，
故（百元）
故选：A
97．（2023·江西抚州·高二期中（理））已知A，B两地相距，某船从A地逆水到B地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当，每小时的燃料费为720元．
(1)求比例系数；
(2)当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？
(3)设，当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？
【解析】(1)设每小时的燃料费为，则，
当，每小时的燃料费为720元，
代入得．
(2)由（1）得．
设全程燃料费为y，则，
所以，
令，解得（舍去）或，
所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．
所以当时，y取得最小值，
故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为．
(3)由（2）得当时，则y在区间上单调递减，
所以当时，y取得最小值；
若时，则y在区间内单调递减，在区间上单调递增，
则当时，y取得最小值．
综上，当时，船的实际前进速度为，全程燃料费最省；
当时，船的实际前进速度应为，全程燃料费最省．
98．（2023·湖北·高二阶段练习）如图所示，两村庄和相距，现计划在两村庄外以为直径的半圆弧上选择一点建造自来水厂，并沿线段和铺设引水管道.根据调研分析，段的引水管道造价为2万元/，段的引水管道造价为万元/，设，铺设引水管道的总造价为万元，且已知当自来水厂建在半圆弧的中点时，万元.

(1)求的值，并将表示为的函数；
(2)分析是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为为半圆弧的直径，则，则，
由题意得，可得，
当点在的中点时，，此时，
解得，因此（）.
（2）因为，则
因为函数在上为减函数，
令，即，可得，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减，
故当时，取最大值，即.
99．（2023·江苏南通·高二期末）已知A，B两地相距200km，某船从A地逆水到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h（v＞8）．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元．
(1)求比例系数k
(2)当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？
(3)当（x为大于8的常数）时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？
【解析】(1)设每小时的燃料费为， 则
当v＝12km/h，每小时的燃料费为720元，
代入得.
(2)由（1）得．  设全程燃料费为y，
则（），
所以,
令， 解得v＝0（舍去） 或 v＝16，
所以当时，；当时，，
所以当v＝16时，y取得最小值，
故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为8km/h．
(3)由（2）得，
若时，则y在区间上单调递减，
当v＝x时，y取得最小值；                             
若时，则y区间（8，16）上单调递减，在区间上单调递增，
当v＝16时，y取得最小值；
综上，当时，船的实际前进速度为8km/h，全程燃料费最省；
当时，船的实际前进速度应为（x－8）km/h，全程燃料费最省
核心知识14 利用导数研究恒成立问题
100．（2023·陕西汉中·高二统考期末）已知函数（为常数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）定义域为，，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增.
（2）由题意知：在上恒成立，即：在上恒成立，
令，则，由，得，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，
只需，所以实数的取值范围是.
101．（2023·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）函数，.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
故当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是，
故在处取得极大值，无极小值；
（2）因为时，，即，
故，
令，
故时，恒成立，故，即（必要性），
当时，因为，，
因为，又由，由（1）知，，
故，故时，恒成立（充分性），
即时，恒成立，
综上所述：实数的取值范围是.
102．（2023·湖南郴州·高二校考期末）已知函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，恒成立，求a的取值范围.
【解析】（1）时，，，
在定义域上单调递增，且，
则当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，恒成立，即恒成立，
∴恒成立，令， 则；
又在上单调递减，所以，
所以.
103．（2023·浙江温州·高二统考期末）已知函数，，其中．
(1)当时，证明：；
(2)若对任意的恒成立，求k的取值范围.
【解析】（1）当时, ,设，
等价于证明：；
因为，当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，即，则．
（2）对任意的恒成立，
等价于：对任意的，恒成立，
令，，
，记，
①当时，
，
则，所以在单调递减，，
即恒成立．
②当时，，记，
因为在上单调递减，且时，，，

所以存在，使得，
且时，，时，，
则在单调递增，在单调递减．
又因为，，必存在，
使得在单调递减，在单调递增，且，
所以在时恒小于零，不符合题意，
综和①②可得：.
104．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)若，试讨论的单调性；
(2)若恒成立，求实数的值．
【解析】（1）由题意，函数的定义域为，
则，
当时，由可得，由可得.
所以，函数的单调递增区间为，递减区间为.
（2）当时，则对任意的，，
此时函数在上为增函数，
所以当时，，不合题意；
当时，由（1）可知，
因为对成立，所以，即，
令，则，
由可得，由可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以，所以不等式的解为，
综上可得，.
105．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，当时，函数有极小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0，
因此，解得，此时，
当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0，
所以函数的解析式为.
（2），不等式，
令，，求导得，
因此函数在上单调递减，则当时，，
因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有，
所以实数的取值范围是.
106．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在区间上有解，求实数的取值范围．
【解析】（1）
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增.
当时，时，；时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，时，；时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
综上：时在上单调递增.
时在上单调递增，在上单调递减
时在上单调递增，在上单调递减.
（2）若在区间上有解，即求
当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意.
当时在上单调递增，在上单调递减
当时，所以函数在单调递减，
所以成立，满足题意.
时，函数在单调递减，在上单调递增.
所以不成立，舍去
时在上单调递增，在上单调递减.
所以函数在单调递增，，所以
综上的取值范围为：
107．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，使得，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意知：的定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令有，故当，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，；，；
恒成立，不合题意；
当时，取，，
则，符合题意；
当时，若，，使得，则；
由（1）知：；
，，在上单调递增，
，
，即，，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
核心知识15 利用导数研究不等式问题
108．（2023·江西·景德镇一中高二期中）已知是函数的导函数，且对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ①,则 ，
∵，
∴ ，
即 ，
∴（c为常数）②，
由①②知， ，
∴ ，又，
∴ ，即 ，
，
不等式 即，
∴ 或，
即不等式的解集为 ，
故选：A.
109．（2023·四川·南部县第二中学高二阶段练习（理））已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，令，则，即函数在R上单调递增，
由知，，当时，不等式为成立，则，
当时，，即，
于是得，因此有，解得，即得，
当时，，同理有，即有，
解得或，因此得，
综上得，所以不等式的解集为.
故选：A
110．（2023·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知是定义域为的函数的导函数.若对任意实数都有，且，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】不等式，等价于不等式，
构造函数，则，
若对任意实数都有，
则，在上单调递增，
又，
故即，
故不等式的解集是，
故选：B．
111．（2023·黑龙江·高二期中）已知是函数的导函数，，若对任意，，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
，
，
，即在上单调递减，
又，，
当时，即，即，
的解集为．
故选：A．
112．（2023·江苏·海门中学高二阶段练习）已知上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，
则，
又的导数在上恒有，
恒成立，
是上的减函数，
又，
当时，，即，
即不等式的解集为；
故选：C．
113．（2023·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则.
因为定义在上的函数满足，所以，
所以函数在上单调递增.
又不等式可化为，
即，所以，解得.
所以不等式的解集为.
故选：D.
114．（2023·福建泉州·高二期中）已知函数在上可导，其导函数为，若满足，关于直线对称，则不等式的解集是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，
，
，
当时，，则，
在上单增；
当时，，则，
在上单减；
，
不等式即为不等式，
关于直线对称，
，
解得或，
故选：．
115．（2023·全国·高二期末）已知定义在R上的函数为其导函数，满足①，②当时，，若不等式有实数解，则其解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，
则，
所以在上递增，
因为，
所以，即，
所以是偶函数，
不等式等价于：
，
即，即，
所以，
解得或，
故选：D
116．（2023·福建·厦门一中高二期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列不等式正确的是（       ）
①  ②  ③  ④
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【解析】令，，
∵，
∴，
∴在，上单调递减，
又∵，∴，
结合选项可知，，从而有，即，
故①错误；
∵，∴，从而有，
由可得，故②正确；
∵，∴，∴,
又∵，∴，
即．故③正确；
∵，∴，即，故④正确；
故选：．
117．（2023·全国·高二课时练习）已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的x的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】构造函数，其中，则，
所以，函数为上的奇函数，
当时，，所以，函数在上为增函数，
因为，则，
由得，可得，解得.
故选：C
118．（2023·河南·荥阳市教育体育局教学研究室高二阶段练习）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足且为偶函数，为奇函数，若，则不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为偶函数，为奇函数，
所以，.
所以，，所以.
令，则.
令上式中t取t-4，则，所以.
令t取t+4，则，所以.
所以为周期为8的周期函数.
因为为奇函数，所以，
令，得：，所以，所以，即为，所以.
记，所以.
因为，所以，所以在R上单调递减.
不等式可化为，即为.
所以.
故选：C
核心知识16 利用导数证明不等式
119．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)已知点在函数的图象上，求函数在点P处的切线方程．
(2)当时，求证．
【解析】（1）由解得，
所以，，
所以，，切线方程为，
即所求切线方程为；
（2）证明得定义域为，，
设，则，故是增函数，
当时，，时，，
所以存在，使得①，且时，，单调递减，时，，单调递增，
故②，由①式得③，
将①③两式代入②式，结合
得：，
当且仅当时取等号，结合②式可知，此时，
故恒成立．
120．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：．
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，又，
则当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）因为，则不等式，
当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，则，
令，则，当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，，
于是得，即，
所以.
121．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：.
【解析】（1），
该方程有两个不等实根，由，
所以直线与函数的图象有两个不同交点，
由，
当时，单调递减，
当时，单调递增，因此，
当时，，当，，
如下图所示：

所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；
（2）因为是函数的两个极值点，
所以，由（1）可知：，不妨设，
要证明，只需证明，显然，
由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，
而，所以证明即可，
即证明函数在时恒成立，
由，
显然当时，，因此函数单调递减，
所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.
122．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
(1)若在上恒成立，求实数a的值；
(2)证明：当时，．
【解析】（1）当时，，当时，，不符合题意；
当时，，又时，，不符合题意；
当时，，令，解得：，令，解得：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，令，
则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以.
（2）由(1)知：时，在上恒成立，即，
所以当时，，即，又当时，，
所以，所以要证，只需证，即证，令，则有，又，所以，所以在上恒成立，即在上单调递减，，
所以当时，.
123．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，若恒成立，
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
【解析】（1）由题设在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上递增，显然，，
故使，则上，上，
所以上，递增；上，递减；
又，即，则，
综上，.
（2）由（1）知：，
所以且，要使恒成立，
只需证恒成立，只需证恒成立，
当时，若，则，即递增，又也递增，
所以在上递增，故恒成立，
当时，令且，则，即递增，故，
所以在上恒成立，故，
令，则，
所以在上递减，故，即，
综上，在上恒成立，
所以，时得证.
124．（2023·全国·高二专题练习）证明以下不等式：
(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）令，则有.
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在单调递减，上单调递增，
所以，即.
所以.
（2）令，则.
令，即，解得；
令，即，解得，
所以在单调递增，上单调递减，
所以，即，
所以.
（3）由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①.
由（2）得，所以（当且仅当时取等号）②
因为①式与②式取等号的条件不同，所以.
125．（2023·全国·高二专题练习）已知函数．
（1）判断函数的单调性；
（2）记，试证明：当时，．
【解析】（1）由题意，得的定义域为，．
令，则．
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递减．
在处取得唯一的极小值，即为最小值．即（1），
，
∴在上单调递增．
（2）由（1）知在上单调递增，
故当时，，故．
，
∵，∴，∴，即在上单调递减，
∴当时，．
∴，即．
126．（2023春·湖南常德·高二临澧县第一中学校考开学考试）已知函数()．
（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当时，．
【解析】（1）的定义域为，，
若函数有两个极值点，则有两个变号零点，
等同于，
即水平直线与曲线有两个交点(不是的切线)，

令，的定义域为，则，令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递减，
则为的极大值，也为最大值，
当时，，
当时，，
当时，且为正数，
则的图像如图所示，则此时；
（2）证明：令()，则只需证明当时恒成立即可，
则，令，
则，
当时，，，，
则，则在时单调递增，
又，
∴时，，则在时单调递增，
∴当时，即当时，．
核心知识17 利用导数研究零点问题
127．（2023·江苏徐州·高二统考期末）已知函数.
(1)当时，求函数的极小值；
(2)若有两个零点，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，
令，解得，列表如下：






0



极小值

所以的极小值为.
（2）函数有两个零点即有两个零点.
因为，
①当时，在上是增函数，最多只有一个零点，不符合题意；
②当时，由得，
当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数.
（i）若，则，最多只有一个零点；
（ii）若，因为，且，
所以在区间内有一个零点.
令，则，
当时，在上是增函数；
当时，在上是减函数.
所以，故.
所以，又，
所以在区间内有一个零点.
综上可知：当时，有两个零点，
故的取值范围为.
128．（2023·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期末）已知函数．
(1)若，求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若，试判断的零点的个数．
【解析】（1）若，，，所以，即切线的斜率为2.
又，即切点坐标为.
所以在处的切线方程为，
令，解得；令，解得.
所以在处的切线与坐标轴围成的面积.
（2）由且，整理得．
令，．   
若，则，令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以在上有且仅有两个零点，即在上有且仅有两个零点．   
若，令，又，，，所以在上有两个零点且．令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又，所以，，又，所以在区间上有唯一零点. ，所以在区间上有唯一零点，所以在上有且仅有3个零点，即在上有且仅有3个零点．  
综上，若，在上有且仅有两个零点；
若，在上有且仅有3个零点．
129．函数零点个数也就是函数图像与x轴交点的个数，所以可以借助函数图像的特征求解函数的零点个数问题.
130．对于含参函数的零点个数，可以对函数进行适当的变形，也可以进行参变分离，利用导数研究函数的单调性和极值，做出函数的大致图象，根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数，即“几个交点几个根，正负极值定乾坤”.
131．（2023·山西晋城·高二统考期末）设函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个零点，，求实数a的范围.
【解析】（1）由于，则定义域为 ，
可得：，
当时，∵，∴，故在区间上单调递减；
当时，∵，∴由可得，由得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2），，，
当时，， 为单调函数，不可能有两个零点，舍去;
当时，由得或(舍去).
当时， ，为减函数，
当时， ，为增函数，
所以当时取得最小值，
要使有两个零点，，需要，即，
解得，
又，且，所以在 上有唯一的零点，
令，，
当时， ，为减函数，
当时， ，为增函数，
所以当时取得最小值，故，即 （当且仅当时取等号），
，且，
所以在 上有唯一的零点，
综上:当时， 有两个零点.
132．（2023·全国·高二专题练习）已知，函数，.
(1)若，求函数的极小值；
(2)若函数存在唯一的零点，求的取值范围.
【解析】（1）由，
所以，，令，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以的极小值为；
（2），令（），
存在唯—的零点，，
令，，
令，
当时，；
当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
①若，即，
令，
所以，所以，所以，
即时，，所以在上递增，
注意到，所以存在唯一的零点，符合题意
②当时，，，
，
令，，
则，
因为，所以，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以
所以即在和上各有一个零点，，
在上递增，上递减，上递增，
而，所以，
，
当时，；
当时，，
而，，
所以在，和上各有一个零点，共3个零点了，舍去.
综上，的取值范围为.
133．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，在处切线的斜率为-2.
（1）求的值及的极小值；
（2）讨论方程的实数解的个数.
【解析】（1），
因为在处切线的斜率为-2，所以，则.
，令，解得或，
当x变化时，，变化情况如下：
x

-2

1



0

0


单调递增

单调递减

单调递增
故的极小值为.
（2）由（1）知，在上单调递增，上单调递减，上单调递增.当时，；当时，.
当或时，方程有1个实数解；
当或时，方程有2个实数解
当时，方程有3个实数解.