第五章 数列（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教B版2019）

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班级 姓名 学号 分数
第五章 数列（A卷·知识通关练）
核心知识1 等差数列及其前n项和
1．（2023·江苏·常州市北郊高级中学高二期中）已知数列为等差数列，，则（    ）
A．8 B．12 C．15 D．24
【答案】B
【解析】，故，.
故选：B
2．（2023·吉林·辽源市第五中学校高二期中）在等差数列中，若，则等于（    ）
A．30 B．40 C．60 D．80
【答案】C
【解析】因为为等差数列，又，且，
所以，所以；
故选：C
3．（2023·江苏扬州·高二期中）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（    ）
A．30 B．36 C．42 D．48
【答案】C
【解析】设{an}首项为，公差为d.因S3＝6，S4＝12，
则.则.
故选：C
4．（2023·江苏扬州·高二期中）在数列中，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【解析】由题设可得，故为等差数列，
故，
故，
故答案为：
5．（2023·上海中学高二期中）已知等差数列满足，，记表示数列的前n项和，则当时，n的取值为______.
【答案】
【解析】，故，，故，故，
，.
，故.
故答案为：
6．（2023·吉林·辽源市第五中学校高二期中）已知数列的前n项和为,且
(1)求的通项公式
(2)求证数列是等差数列
【解析】（1）解:由题知,

当时,

,
将代入上式可得,
故时满足上式,
;
（2）证明:由题知,
,
,
且,
是以3为首项,1为公差的等差数列.
7．（2023·湖南·株洲市渌口区第三中学高二期中）等差数列{an}中，
(1)求前n项和Sn；
(2)求前n项和Sn的最大值．
【解析】（1）∵{an}为等差数列，则，即，
∴，
故数列{an}的前n项和.
（2）∵的开口向下，对称轴，且，
当或时，取到最大值.
8．（2023·江苏连云港·高二期末）在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn．
【解析】（1）设公差为d，
∵a1＝8，a4＝2，
∴d＝＝－2，
∴an＝a1＋（n－1）d＝10－2n，n∈N*.
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，
则由（1）可得，Sn＝8n＋×（－2）＝9n－n2，n∈N*.
由（1）知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，
∴当n>5时，an<0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－（a6＋a7＋…＋an），
＝S5－（Sn－S5）＝2S5－Sn
＝2×（9×5－25）－（9n－n2）＝n2－9n＋40；
当n≤5时，an≥0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，
∴Tn＝
9．（2023·江苏·扬州大学附属中学东部分校高二阶段练习）已知数列满足，且.
(1)求；
(2)证明：数列是等差数列.
【解析】（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以，
则，
故，
又，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
核心知识2 等比数列及其前n项和
10．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（    ）
A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米
【答案】C
【解析】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列，，公比，，
所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离.
故选：C
11．（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，，则（    ）
A． B． C．48 D．96
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
因为成等差数列，
所以，即，
又，
所以，解得
所以
故选:C
12．（2023春·四川达州·高二四川省万源中学校考开学考试）在等比数列 中，和是方程的两根，则（    ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
因为和是方程的两根，
所以，
所以，
由等比数列的性质得，，
所以，则.
故选：C.
13．（2023秋·湖南益阳·高二统考期末）已知等比数列中，，则（    ）
A．8 B．14 C．128 D．256
【答案】C
【解析】由等比数列的性质可知：，
故,
故选：C
14．（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）数列的首项，且（为正整数），令，则______.
【答案】
【解析】因为数列的首项，且（为正整数），则，
且，所以数列是首项为，公比也为的等比数列，故，
所以，，则，
所以，数列为等差数列，故.
故答案为：.
15．（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知数列为等差数列，，，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和.
(1)求数列、的通项公式；
(2)若，求数列的最大项.
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得，
所以，，
由题意可得，当时，则有，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，故.
（2），则.
当时，，即；
当时，；
当时，，即.
所以，数列中的最大项为.
16．（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量.
(1)求的表达式；
(2)如果，为保护生态环境，经过多少年后，木材存储量能翻一番？
参考数据：，.
【解析】（1）由题意可知，，第年后，，
所以，，
若，则，即，
若，则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，则，
当时，也满足.
故对任意的，.
（2）当可得，则，
由可得，
所以，，
因此，经过年后，木材储量翻一番.
17．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知数列的前n项之积为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设公差不为0的等差数列中，， ，求数列的前n项和．请从①；②这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分．
【解析】（1）因为数列的前n项之积为，则当时，，
而当时，满足上式，
所以数列的通项公式是．
（2）选①，，设等差数列的公差为d，而，则，又，解得，
因此，，
则
于是得
两式相减得，
所以．
选②，，而数列是等差数列，则，即，又，则公差，
因此，，
则
于是得
两式相减得，
所以．
18．（2023秋·湖南益阳·高二统考期末）已知数列满足，且．
(1)求证：数列等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）证明：，所以，，
即，又，则数列是等差数列，且该数列首项为，公差为，
所以，，解得．
（2），①
∴，②
①②，得
，所以，．
19．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）已知数列的前n项和为，且满足，是3与的等差中项．
(1)设，证明数列是等比数列；
(2)是否存在实数，使得不等式，对任意正整数n都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题设得①，有②，
在①中令得，
，
由②-①，得
，
又，所以，
数列是首项为4，公比为2的等比数列．
（2）由（1）得，即
变形得到，数列是等差数列，由此得
，
，
由恒成立，
令，则．
，
当时，；当时，，
的最大值为，，
即的最小值为．
核心知识3 数列的通项公式
20．（2023·广东·高二校联考期末）已知数列满足，则的最小值为（    ）
A．2 B． C．6 D．8
【答案】C
【解析】由数列满足，可得
，则，
因为函数，当且仅当时等号成立，
当时，所以取最小值为6.
故选:C.
21．（2023·河北邢台·高二邢台一中校考期末）数列满足，对任意的都有，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
当时，
，显然也适合，
所以，于是有
因此，
故选：C
22．（2023·高二课时练习）数列中，，（为正整数），则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
故选：A
23．（2023·全国·高二专题练习）已知数列中，且，则为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得：，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，，
，.
故选：A.
24．（2023·广东清远·高二统考期末）已知数列，…，则该数列的第200项为（    ）
A．10 B．10 C．10 D．10
【答案】B
【解析】由题可得该数列的通项公式为，
所以.
故选：B.
25．（多选题）（2023·河北唐山·高二唐山一中校考期末）设首项为的数列的前项和为，若（），则下列结论正确的是（    ）
A．数列的通项公式为 B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列 D．数列的前项和为
【答案】BD
【解析】因为，，则，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，故A错误；
当时，所以，即，
当时不成立，所以，故B正确；
所以，显然，故不是等比数列，即C错误；
因为，所以数列的前项和为，故D正确；
故选：BD
26．（多选题）（2023·江苏淮安·高二统考期末）已知数列和满足，，，．则下列结论不正确的是 （    ）
A．数列为等比数列
B．数列为等差数列
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对A，，
即，，
故数列为首项为1，公比为3的等比数列，A对；
对BC，，
即，即，
故数列为首项为，公比为2的等比数列，
故，故，
故数列不为等差数列，，BC错；
对D，由A得，又，两式相加得，
即，D错.
故选：BCD
27．（2023·高二课时练习）已知满足，（是正整数），则______.
【答案】
【解析】对任意的，，
当且，.
也满足，
故对任意的，.
故答案为：.
28．（2023·河北保定·高二统考期末）数列中，若，，则___________．
【答案】
【解析】由可得，
所以,
所以，
因为，所以，所以，
故答案为:.
29．（2023·高二课时练习）数列的前项和，则数列的通项公式为______.
【答案】
【解析】由①可知，，
即②，
①②得，
∵当时，，∴不满足，
∴数列的通项公式为，
故答案为：.
30．（2023·广东广州·高二广东实验中学校考期末）已知首项为2的数列对满足，则数列的通项公式______.
【答案】
【解析】设，即，故，解得：，
故变形为，，
故是首项为4的等比数列，公比为3，
则，
所以，
故答案为：
31．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为______．
【答案】
【解析】由两边取倒数可得，即．
所以数列是首项为2，公差为3等差数列.
所以，所以．
故答案为：.
32．（2023·高二课时练习）若，，，写出前几项，猜测数列的通项公式为______．
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
当时，，
猜测：.
故答案为：
33．（2023·高二课时练习）已知满足，（是正整数），求．
【解析】因为，所以，则，
所以当时，则，，，
，，，，
将上述式子相加可得：
，
因为，所以，
又符合上式，
故数列的通项公式.
34．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知数列为等差数列，，，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和.
(1)求数列、的通项公式；
(2)若，求数列的最大项.
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得，
所以，，
由题意可得，当时，则有，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，故.
（2），则.
当时，，即；
当时，；
当时，，即.
所以，数列中的最大项为.
35．（2023·山西临汾·高二统考期末）数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）因为，所以，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
又因为当时，，
所以
（2）因为，所以，
所以，
，
两式相减得

所以.
36．（2023·陕西渭南·高二统考期末）设等差数列的前n项和为，若，；设数列的前n项和为，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）设数列的首项为，公差为d，
因为，，
则可得，则，
所以数列的通项公式为．
因为，所以当时，，则．
当时，，则，
所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以．
（2）因为，
所以数列的前n项和①，
②，
①②得
∴ ，
则．
37．（2023·高二课时练习）数列中前项的和，求数列的通项公式．
【解析】当时，，可得，
当且时，由可得，
上述两个等式作差可得，整理可得，
所以，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，因此，..
38．（2023·广东·高二校联考期末）数列的前项和满足，且，且成等差数列.
(1)求；
(2)记，求数列的前项和为.
【解析】（1），当时，，
两式相减得：，即，
又因为，
所以数列是公比为3的等比数列.
又因为，
得，
故有.
（2）由（1）知：，
，
所以，
令①
则，
因为②
①-②得：
，
所以，
所以.
39．（2023·全国·高二专题练习）已知为正项数列的前n项的乘积，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：．
【解析】（1），
所以，所以，
所以，即，
所以，
当时，，解得，
所以，所以数列是常数列，
所以，所以，
所以．
（2）证明：因为，
所以

40．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，，当时，.
(1)求；
(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）当时，由，得.
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
所以，即.
（2）由（1）知，，所以，①
所以，②
①-②得，，
所以，，
所以，，所以，即，
即，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以的取值范围是
41．（2023·广东广州·高二统考期末）已知，且在直线上，其中是数列中的第项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）因为，则直线的斜率为，直线的方程为：，即，
又因为在直线上，则有，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
则，
于是得，
两式相减得：，
所以数列的前项和.
42．（2023·高二课时练习）已知数列的通项公式，求：
(1)等于多少；
(2)81是否为数列中的项，若是，是第几项；若不是，说明理由．
【解析】（1）因为数列的通项公式，
所以.
（2）令，解得，
因为，
所以不是数列中的项.
43．（2023·山东济宁·高二统考期末）已知数列满足：，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）由,
得，
作差得，，
即，
又且，，
数列为等差数列，
又，所以数列的公差为 ，
故数列的通项公式为.
（2），
，
，
作差得，，
，
所以，.
核心知识4 数列求和
44．（2023·全国·高二专题练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项的和为（    ）
A．230 B．115 C．110 D．100
【答案】B
【解析】，①
，②
两式相加，又因为
故，所以
所以的前20项的和为

故选：B
45．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考期末）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
且，
令,
又
，
两式相加得：，
解得，
故选：B
46．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）数列满足，对任意的都有，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
当时，
，显然也适合，
所以，于是有
因此，
故选：C
47．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二中学校考期末），利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ______．
【答案】2020
【解析】由题意可知，
令S=
则S=
两式相加得，
．
故填：
48．（2023秋·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考期末）数列的前项和是，且，则__________.
【答案】
【解析】因为，
故，，，，
所以，
故答案为：.
49．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）已知数列满足则数列的前项和__________.
【答案】
【解析】由题可知，当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以，
即隔项成等差数列，其中奇数项以为首项，以3为公差；偶数项以为首项，以3为公差，
所以奇偶
.
故答案为：.
50．（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）已知数列为等差数列，，数列的前项和为，且满足.
(1)求和的通项公式：
(2)若，求数列的前项和为.
【解析】（1）设的公差为d，由题意可得，解得，所以.
，时，，
时，，，
是以1为首项，3为公比的等比数列，.
（2）




.
51．（2023秋·江苏连云港·高二统考期末）已知等差数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求和：.
【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得，
解得，所以.
（2）设，由（1）可知
则
两式相减，得
所以
52．（2023秋·浙江舟山·高二统考期末）已知正项数列满足，，且.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由可得，，
因式分解，因为为正项数列，
所以，，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，即.
（2）因为，
，，
两式相减得
，
所以，
代入，对任意恒成立.
为奇数时，，得，
为偶数时，，得，
所以.
53．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）已知为正项数列的前项的乘积，且
(1)求数列的通项公式
(2)令，求数列的前项和.
【解析】（1）由得：当时，，
两式相除得：，即，
两边取对数得：，亦即，故数列是常数列，
，，；
（2），，
，
，
两式相减得，
．
54．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）已知各项均为正数的数列，若该数列对于任意，都有.
(1)证明数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）证明：数列的各项都为正数，且，
两边取倒数得，即
故数列是公差为1的等差数列.
（2）当时，，
因为数列是公差为1的等差数列，所以，所以，
所以，
所以

.
55．（2023秋·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期末）已知数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）依题意：，
所以，
故数列是以首项，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可知，，，
故，
故.
56．（2023秋·江苏徐州·高二统考期末）在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.
【解析】（1）由于是等差数列,设公差为,
当选①②时:,解得,
所以的通项公式.
选①③时:,解得,
所以的通项公式.
选②③时:,解得,
所以的通项公式.
（2）由(1)知,,
所以,
所以
.
57．（2023春·广东深圳·高二深圳市高级中学校考开学考试）等比数列中，，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列前项的和.
【解析】（1）设等比数列的公比为.
因为，且已成等差数列，
所以，
因为，所以，即，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得数列的通项公式为，
所以数列
所以数列前项的和.
58．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【解析】（1）由，则数列是以为公差的等差数列，
所以，数列的通项公式.
（2），
故.
59．（2023秋·广东广州·高二统考期末）已知数列{}为等差数列，是其前n项和，且，．数列{}中，，．
(1)分别求数列{}，{}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，，
则，解得：，所以.
又因为，，所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列，则，
故数列{}，{}的通项公式分别为：，.
（2）由（1）可知：，
所以



60．（2023春·山东济南·高二统考期末）已知数列的前n项和，且，数列满足，其中．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和．
【解析】（1）对于，当时，，
当时，由得，
两式相减得，由于，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以.
对于，，
所以，
也符合上式，所以.
（2）当为奇数时，；，
所以.
当为偶数时，；
所以

.
所以.
61．（2023·高二课时练习）已知数列中，且点在函数的图像上．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【解析】（1）由已知得：，即，
根据等差数列的定义知数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以.
（2）由已知得：，
①为偶数时，
；
②为奇数时，
，
所以.
62．（2023·高二单元测试）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．
(1)求，的通项公式；
(2)若数列，求前项和．
【解析】（1）设的公差为，的公比为，由题意知
，解得，
所以，.
（2）所有奇数项构成首项为1，公差为4项数为的等差数列；
所有偶数项构成首项为2，公比为4项数为的等比数列；


.
综上，
63．（2023秋·湖北·高二校联考期末）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项的和．
【解析】（1）因为数列的前项和为，
所以当时，，
当时，，
显然，当时，满足，
所以.
（2）由（1）知，
因为时，，当时，，
所以当时，，
当时，①，②，
所以①②得，因为，
所以，
所以
核心知识5 数列与函数、不等式的综合问题
64．（2023·上海·曹杨二中高二期中）若不等式对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是______
【答案】
【解析】当为奇数时， ，所以 ，对任意正整数n恒成立
显然数列单调递增，令，故 ，得
当为偶数时，，所以，对任意正整数n恒成立
显然数列单调递增，令，故 ，得
综上所述：
故答案为：
65．（2023·山东淄博·高二期末）已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：为等比数列，并写出它的通项公式：
(2)若正整数m满足不等式，求m的最大值．
【解析】(1)因为①，
当时，解得，
当时②，
①②得，即，即，
所以，，所以是以为首项、为公比的等比数列，
所以.
(2) 由（1）可知，
因为，所以，即，解得，所以，
因为，所以的最大值为.
66．（2023·全国·高二期末）已知数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【解析】(1)（1）当时，
当时①
②
①减②得，则
因为当时，符合上式，所以
(2)
③
④
③－④得

则
因为，所以数列为递增数列
则当时，取最小值
所以
67．（2023·山东·德州市教育科学研究院高二期中）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)因为数列是等比数列，则可得，解得
所以．
因为数列是等差数列，且，，则公差，
所以．
故，
(2)由（1）得：，
数列的前n项和为①
所以②
由①-②得：，
所以．
不等式恒成立，化为成立，
令且为递增数列，即转化为
当时，恒成立，取，所以．
当时，恒成立，取，，所以．
综上可得：实数的取值范围是．
68．（2023·广东·普宁市华美实验学校高二阶段练习）已知数列的前n项和为Sn，满足．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若不等式2对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．
【解析】（1）①
②
①-②得，即，
变形可得，
又，得
故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式可得，
.
（2）令，则

当或时，，
当时，
又，，
因为不等式对任意的正整数恒成立，
，解得.
69．（2023·河南信阳·高二期中（理））在等差数列中，已知前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)令，求的前项和，并解不等式：.
【解析】(1)设公差为，由已知得，，解得，
所以，
即通项公式为
(2)由（1）可得，所以
因为，所以，所以，
所以，
70．（2023·广东韶关实验中学高二阶段练习）设数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求不等式的解集.
【解析】(1)令，则，
当时，，
当时，也符合上式，
即数列的通项公式为.
(2)由（1）得，
则，
所以
故可化为：，故，
故不等式的解集为.

核心知识6 数列在实际问题中的应用
71．（2023·全国·高二课时练习）小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.
【答案】6250
【解析】设每年还款的金额为，由题意可知：，所以
故答案为：6250
72．（2023·全国·高二课时练习）某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10，11，12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是______．
【答案】
【解析】设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，
则，
∴，．
故答案为：
73．（2023·全国·高二课时练习）某百货公司采用分期付款的方式销售家用空调机，售价为15000元，分6个月付清，每月付一次，月利率以6%单利计算，则购买者每月应付______元．（不满1元的舍去）
【答案】2826
【解析】设每月应付款为x元，则自第一月至付清本利合计为


另一方面，15000元在5个月的本利合计为，
，即（元）．
故答案为：2826
74．（2023·全国·高二单元测试）“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴弦长度的得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的为第三根琴弦，第三根琴弦长度的为第四根琴弦，第四根琴弦长度的为第五根琴弦.琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫､商､角（jué）､徵（zhǐ）､羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度的比值为___________.
【答案】
【解析】设基准琴弦的长度为1，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为，，，，
五根琴弦的长度从大到小依次为1，，，，，
所以“角”和“徵”对应的琴弦长度分别为和，其长度的比值为.
故答案为：
75．（2023·浙江丽水·高二期末）在第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平主席表示，中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．某地2020年共发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，从2021年起，每年发放的电动型汽车牌照按前一年的50%增长，燃油型汽车牌照比前一年减少0.5万张，同时规定，若某年发放的汽车牌照超过15万张，以后每年发放的电动车牌照的数量维持在这一年的水平不变.那么从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为___________万张．
【答案】
【解析】设每年发放燃油型车牌照数为，发放电动型车牌照数，发放牌照数为，则
成等差数列，前四项成等比数列，第五项起为常数列，，
，，
前10项的和为，
，，，
因为，
所以，
前10项的和为：.
所以从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为.
故答案为：134.
76．（2023·吉林·梅河口市第五中学高二期中）若某政府增加环境治理费用a亿元，每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则______ （最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1，）．
【答案】200
【解析】由题意可知，
，
解得．
故答案为：200.
77．（2023·全国·高二课时练习）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果该塔形几何体的最上层正方体的棱长等于1，那么该塔形几何体中正方体的个数是______．

【答案】7
【解析】设从最底层开始的第n层的正方体棱长为，
则由题意得为以8为首项，为公比的等比数列，
其通项公式为．
令，得，故该塔形几何体中正方体的个数为7．
故答案为：7.

核心知识7 数列不等式的证明与放缩
78．（2023·湖南长沙·高二雅礼中学统考期末）记为数列的前n项和，已知的公差为的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【解析】（1）因为，所以，
又因为是公差为的等差数列，所以，
所以.
当时，时，也满足上式.
所以的通项公式是；
（2）当时，，不等式成立；
当时，
.
79．（2023·广东清远·高二统考期末）设等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式．
(2)令，数列的前n项和为．证明：．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
则，
解得，因此；
（2）证明：因为，
所以，
所以.
80．（2023·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考期末）已知数列和数列，满足，且，．
(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1），
，
故数列为等差数列，公差为1，首项为，
所以，.
（2）,,
要证 ,
即证 ，
，
，
即 .
81．（2023·河北保定·高二统考期末）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式和前项和；
(2)设,数列的前项和记为，证明：
【解析】（1）由 ，得,
两式相减可得，即 ，
因为，则，
数列为，
即 ，；
当n为偶数时，,
当n为奇数时， ,
故 .
（2）由 ,
得 ，
所以 .
82．（2023·天津河北·高二天津外国语大学附属外国语学校校考期末）已知是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，，证明：.
【解析】（1）设正项等比数列的公比为，因为，，成等差数列，
则，即有，
即，因此，，而，解得，又，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，当时，，
当时，
，


，
所以数列的前项和.
（3）由（1）知，，则，有，，，
当时，，当时，，当时，，
即当时，不等式成立，
当时，
，
则，

，
综上得：，.
83．（2023·全国·高二专题练习）等比数列中，，且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，试求数列前项的和，并证明．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
因为，且，，成等差数列，
所以，
因为，
所以，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得数列的通项公式为
所以数列，
所以数列前项的和

因为是递增数列，
所以，
所以.
84．（2023·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且，a1＝1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明．
【解析】（1）因为，所以.
两式相减，得，
即
所以当时，，
在中，令，得，
所以，
又满足，所以
所以，
故数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，且.
（2），
所以，
当时，，
当时，，
所以.
核心知识8 数列中的新定义问题
85．（2023·陕西·长安一中高二阶段练习（文））定义：（）为个正数，，…，的“均倒数”.若数列的前项的“均倒数”为，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以，
即，
当时
，
又因为，满足上式，
所以.
故选：C.
86．（2023·陕西·武功县普集高级中学高二期中（文））若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以．
故选：D．
87．（2023·北京市第三中学高二期中）如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．给出下列四个结论：
①若数列满足，则该数列是等比差数列；
②数列是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．其中所有正确结论的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①数列满足，则，满足等比差数列的定义，故①正确；
②数列，
，不满足等比差数列的定义，故②错误；
③设等比数列，则，满足等比差数列，故③正确；
④设等差数列的公差为，则，
故当时（首项不为0），满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；
故选：C
88．（2023·广东·佛山市南海区第一中学高二阶段练习）定义：在数列中，若满足为常数），称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，，，
根据“等差比数列”的定义可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，
则，
所以，，
所以．
故选：A.
89．（2023·江苏南通·高二期末）在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（    ）
A．30 B．91 C．273 D．820
【答案】C
【解析】因为是以1为首项、3为公比的等比数列，
所以，则由，得，
即数列中前6项分别为：1、3、9、27、81、243，
其中1、9、81是数列的项，3、27、243不是数列的项，
且，
所以数列中第7项前（不含）插入的项的和最小为.
故选：C.
90．（2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二期中（理））对任意正整数定义运算*，其运算规则如下：①；②.则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意．
故选：D．
91．（2023·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（理））意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列四个结论：
①；
②；
③；
④.
其中正确结论的序号是（    ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【解析】因为，，，，，，，，…，
所以是以6为周期的周期数列，所以，所以①正确；
因为，所以③错误；
因为

，所以②错误；
因为
，
所以，所以④正确.
故选：B

核心知识9 数列中的范围与最值问题
92．（2023·湖南师大附中高二期中）数列的通项若是递增数列，则实数t的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得解得．
故选:A．
93．（2023·四川师范大学附属中学高二期中（理））已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排成一个数列，记该数列为.数列的前项和为，若对任意，且恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，令，则，即，
由题意可得：，
则，
∴，即，
故数列是以首项为0，公差为1的等差数列，则，
当时，则，
∴，
实数的取值范围是.
故选：C.
94．（2023·上海·高二期中）数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
∵不等式恒成立，
∴，
解得，
故选：B．
95．（2023·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（    ）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．
【答案】D
【解析】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
所以，
即的取值范围是，
故选：D
96．（2023·河南·高二期中（文））设为等差数列的前项和，且，，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以公差，
所以．
故选：A
97．（2023·陕西·礼泉县第二中学高二期中）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（    ）
A． B． C． D．与均为的最大值
【答案】C
【解析】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故B正确；
又由得，则有，故A正确；
而C选项，，即，可得，
又由且，则，必有，显然C选项是错误的.
∵，，∴与均为的最大值，故D正确；
故选：C
98．（2023·安徽·六安一中高三阶段练习）已知为等差数列，为的前项和.若，，则当取最大值时，的值为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】在等差数列中，因为，
所以，又，所以，所以，
所以有该等差数列首项，公差，所以.
故选: D.
99．（2023·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（    ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，由，得，即，
又，所以，所以，令，可得，
所以数列满足：当时，；当时，；当时，，
所以取得最大值时，的取值为11或12.
100．（2023·安徽·歙县教研室高二期末）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差数列的公差，知，，所以，故，则数列的前项和取得最大值时的值为.
故选：B
101．（2023·河北张家口·高二期末）已知数列的前n项和为，当时，，且，，则满足的n的最大值为（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为，且，所以各项均不为0，
所以数列为等比数列，设公比为，
则，解得，
所以，则，解得，即，
因为，所以n的最大值为7.
故选：C.
102．（2023·天津·高二期末）已知，，且，，成等差数列，则的最小值为（    ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【解析】因为，，且，，成等差数列，
所以，
所以，
当且仅当，即，时取等号；
故选：D
核心知识10 数学归纳法
103．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明（，，是正整数），在验证时，左边所得的项为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，
在验证时，左边所得的项为.
故选：C.
104．（2023·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：“”，设，从到时（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，
则，
即.
故选：B.
105．（2023·高二课时练习）若，，（是正整数），写出数列的前几项后猜测______．
【答案】3
【解析】，，
则，
，
，
，
，
，
即，，所以是周期为6的数列，
，
，
故答案为：3.
106．（2023·高二课时练习）存在常数a，b，c使得等式对一切正整数成立，则______．
【答案】24
【解析】令，则，
则.
故答案为：24
107．（2023·高二课时练习）已知数列满足，且，
(1)求、的值；
(2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
【解析】（1）令得：，即，
故，
令得：，即，解得：，
（2）猜想，
证明如下：显然满足要求，
假设当时，成立，
则当时，，
，即，
即，
其中，
故
，
故，
综上：.
108．（2023·高二课时练习）数列中，，前项和（为正整数）.
(1)计算，，的值，并猜测通项；
(2)用数字归纳法证明（1）中的猜测．
【解析】（1）， ，得，
，即，得，
，即，，
猜想
（2）当时 命题成立,
假设时，命题成立，即 成立,
因为，即


整理得 ，，求得
所以当时，命题成立，
故命题对任何都成立，
因此 .
109．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足．
(1)证明：对一切正整数n成立；
(2)令，判断数列单调性．
【解析】（1）当时，，
假设时，成立，
则当时有，
∴成立，
综上，由数学归纳法知对一切正整数n成立；
（2）由，
∴
∴数列单调递减．
110．（2023·高二课时练习）已知数列的前项和满足（为正整数）.
(1)计算，，，并猜测通项公式；
(2)证明（1）中的猜想.
【解析】（1）中令得：，解得：，
令得：，求出，解得：，
令得：，即，解得：，
令得：，即，解得：，
猜想：；
（2）证明：当时，，满足要求，
当时，假设成立，
则当时，，
即，由得：，
故，解得：，
综上：.
111．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象按向量平移后得到的图象，数列满足（且）．
(1)若，满足，求证：数列是等差数列；
(2)若，试判断数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，请说明理由；
(3)若，试证明：数列单调递减，且．
【解析】（1）函数的图象按向量平移后得到的函数为，
则（且），则，
由可得，故（且），
∴是以为首项，公差为1的等差数列．
（2）由（1）知，数列的通项公式为，
由可得，故，
构造函数，易知其在区间与上均为严格减函数，
则当时，，且在上为严格减函数，
故当时，取最小值，
当时，，且在上为严格减函数，
故当时，取最大值；
（3）证明：先证明（数学归纳法）：
①当时，由题意可得成立，
②假设当（且）时命题成立，即，
则当（且））时，根据（且），
可得，由可得，故，
则，故当命题也成立；
根据①②，由数学归纳法就可以断定对一切且恒成立．
由，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∵，
∴，
∴，即，
所以数列单调递减．
综上所述，．
112．（2023·高三课时练习）设函数对任意实数x、y都有．
(1)求的值；
(2)若，求、、的值；
(3)在（2）的条件下，猜想（n为正整数）的表达式，并证明．
【解析】（1）令x＝y＝0，得；
（2）由，得，，．
（3）猜想：（n为正整数）．
证明： 当n＝1时，，等式成立．
假设当n＝k时，等式成立，即，则
当n＝k＋1时，，等式也成立．
综上：对任意正整数n都有．
113．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【解析】（1）以下证明，
①当时，满足；
②假设当时，，所以
所以满足，
所以由①②可得，
故，
即
，故得证．
（2）由，得
.