高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用本章综合与测试课后测评

专题强化练4　利用导数的运算法则求解切线的有关问题

一、选择题

1.(2020江西南昌第十中学高二月考,)已知曲线y=f(x)在点(6, f(6))处的切线方程为y=-2x+3,则f(6)+f'(6)=(　　)

A.-11 B.-18 C.17 D.30

2.(2020山西临汾高二期末,)函数f(x)=exln x的图像在x=1处的切线方程是(　　)

A.y=e(x-1) B.y=ex-1

C.y=2e(x-1) D.y=x-e

3.(2020黑龙江牡丹江第一高级中学高二期末,)函数f(x)=x3+4x+5的图像在x=1处的切线在x轴上的截距为(　　)

A.10 B.5 C.-1 D.-

4.(2020河南信阳高二期末,)设曲线y=ax-ex在点(0,-1)处的切线方程为x-y-1=0,则实数a=(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

5.(2020陕西榆林高二期末,)已知曲线y=x3+x2上点P处的切线的斜率为3,则点P的坐标为(　　)

A.或(-3,0) B.或(3,18)

C.或(3,18) D.或(-3,0)

6.(2020吉林长春东北师范大学附属中学高二期中,)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-e),且与曲线y=f(x)相切,则直线l的斜率为(　　)

A.-2 B.2 

C.-e D.e

7.(2020河南三门峡高二期末,)设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x为奇函数,曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线方程为(　　)

A.2x-y=0 B.2x+y=0

C.4x-y=0 D.4x+y=0

二、填空题

8.(2020重庆育才中学高二月考,)曲线y=在点(π,0)处的切线的斜率为　　　　. 

9.(2020福建漳州高二期末,)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=2x3-3x2+a,则f(-2)=　　　　,曲线y=f(x)在点(-2, f(-2))处的切线方程为　　　　　　　. 

10.(2020湖南衡阳八中高二期中,)若函数f(x)=ax3+x+1的图像在x=1处的切线与直线4x-y+2=0平行,则a=　　　　. 

11.(2020天津静海大邱庄中学高二期中,)已知曲线y=x3-x在点(x0,y0)处的切线平行于直线l:2x-y-2=0,则x0=　　　　. 

三、解答题

12.(2020重庆大学城第一中学高二期中,)已知f(x)=x3-2x2+x.

(1)求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程;

(2)求曲线y=f(x)过原点O的切线方程.

13.(2020江西南昌莲塘第一中学高二期末,)设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=3.求:

(1)f(x)的解析式;

(2)曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=1,直线y=x所围成的三角形的面积.

答案全解全析

专题强化练4　利用导数的运算

法则求解切线的有关问题

一、选择题

1.A　∵曲线y=f(x)在点(6, f(6))处的切线方程为y=-2x+3,∴f(6)=-2×6+3=-9,切线的斜率k=-2,即f'(6)=-2,则f(6)+f'(6)=-11.

2.A　∵f(x)=exln x,∴f'(x)=exln x+,

∴f'(1)=e.∵f(1)=e1×ln 1=0,∴切点坐标为(1,0),∴函数f(x)=exln x的图像在点(1, 0)处的切线方程是y-0=e(x-1),即y=e(x-1).

3.D　因为f(x)=x3+4x+5,所以f'(x)=3x2+4,所以函数f(x)的图像在x=1处的切线的斜率k=f'(1)=7,所以函数f(x)的图像在x=1处的切线方程为y-f(1)=7(x-1),即y-10=7(x-1).令y=0,得x=-.

4.C　易得y'=a-ex,则曲线y=ax-ex在点(0,-1)处的切线的斜率k=a-1.又切线方程为x-y-1=0,此切线的斜率为1,所以a-1=1,解得a=2.

5.A　∵y=x3+x2,∴y'=x2+2x.∵曲线在点P处的切线的斜率为3,∴令x2+2x=3,解得x1=1,x2=-3,则点P的坐标为或(-3,0).

6.B　函数f(x)=xln x的导数为f'(x)=1+ln x(x>0),

设切点坐标为(m,n)(m>0),则n=mln m,直线l的斜率k=1+ln m,

所以1+ln m=,

解得m=e,则k=1+ln e=2,故选B.

7.A　因为函数f(x)=ex+a·e-x是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对x∈R恒成立,

所以e-x+a·ex=-ex-a·e-x对x∈R恒成立,

所以(a+1)(ex+e-x)=0对x∈R恒成立,

所以a+1=0,解得a=-1,所以f(x)=ex-e-x,所以f'(x)=ex+e-x.

因为曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,

所以令f(x)=ex-e-x=0,解得x=0.

所以这条切线的切点的坐标为(0,0),斜率为f'(0)=e0+e-0=2.

故该切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.

二、填空题

8.答案　-

解析　因为y=,所以y'=,将x=π代入,得曲线在点(π,0)处的切线的斜率k=.

9.答案　-4;12x-y+20=0

解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=a=0,

f(-2)=-f(2)=-(16-12)=-4.

当x<0时,-x>0,故f(-x)=-2x3-3x2,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=2x3+3x2(x<0),

所以f'(x)=6x2+6x(x<0),所以f'(-2)=12,故所求切线方程为y+4=12(x+2),即12x-y+20=0.

10.答案　1

解析　因为f(x)的图像在x=1处的切线与直线4x-y+2=0平行,

所以f(x)的图像在x=1处的切线的斜率为4,易得f'(x)=3ax2+1,

所以f'(1)=3a+1=4,解得a=1.

11.答案　-1

解析　y=x3-x的导数为y'=3x2-1,所以曲线y=x3-x在点(x0,y0)处的切线的斜率k=3-1,

由切线平行于直线2x-y-2=0,得k=2,即3-1=2,解得x0=1或x0=-1.

若x0=1,则切点为(1,0),此时切线方程为2x-y-2=0,与直线l重合,不符合题意.

若x0=-1,则切点为(-1,0),此时切线方程为2x-y+2=0,与直线l平行,符合题意.

三、解答题

12.解析　由题意得f'(x)=3x2-4x+1.

(1)易得f'(2)=5, f(2)=2,则曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y-2=5(x-2),即5x-y-8=0.

(2)设切点坐标为(x0,y0),因为切点在曲线上,所以y0=+x0, f'(x0)=3-4x0+1,所以曲线y=f(x)在该点处的切线方程为y-(-4x0+1)(x-x0),

因为该切线过原点,所以0-(-4x0+1)(0-x0),解得x0=0或x0=1,所以切点坐标为(0,0)或(1,0),易得f'(0)=1, f'(1)=0,所以所求切线方程为y=x或y=0.

13.解析　(1)由题意得f'(x)=a-,

于是

解得或因为a,b∈Z,所以a=1,b=-1,所以f(x)=x+.

(2)由(1)知f(x)=x+,则f'(x)=1-.在曲线y=f(x)上任取一点(x0≠1),

则f'(x0)=1-,故过此点的切线方程为y-x0-(x-x0).

令x=1,得y=,则切线与直线x=1的交点坐标为.

令y=x,得x=2x0-1,则切线与直线y=x的交点坐标为(2x0-1,2x0-1).

易得直线x=1与直线y=x的交点的坐标为(1,1).

故所围成的三角形的面积为··|2x0-1-1|=··|2x0-2|=2.