高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.1 等比数列当堂检测题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.1 等比数列当堂检测题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在数列{an}中，对任意的n∈N＋，都有an＋1＋2an＝0(an≠0)，则eq \f(a3－2a4,a1－2a2)等于( )
A．－2B．2
C．4D．－4
2．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )
A．16B．27
C．36D．81
3．已知等比数列{an}的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．(多选)已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比为q，则( )
A．q＝2B．an＝2n
C．18是数列中的项D．an＋an＋1二、填空题
5．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________．
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an，则an＝________．
7．设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________．
三、解答题
8．在等比数列{an}中．
(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
(2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
9．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝eq \f(an,n).
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[尖子生题库]
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
课时作业(七) 等比数列的定义
1．解析：由an＋1＋2an＝0知an＋1＝－2an，故{an}是以－2为公比的等比数列，
所以eq \f(a3－2a4,a1－2a2)＝eq \f(a1q2－2a1q3,a1－2a1q)＝eq \f(a1q2（1－2q）,a1（1－2q）)＝q2＝4.
答案：C
2．解析：已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，
∴q2＝9，∴q＝3或－3(舍去)，
∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
答案：B
3．解析：若q<0，则等比数列{an}为摆动数列，由于等比数列{an}为递减数列，则q>0.
若a1>0，则an＝a1qn－1>0，由an＋1所以q<1；
所以a1>0，等比数列{an}为递减数列⇔0所以若a1>0，“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的必要不充分条件．
答案：B
4．解析：由题意2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(负值舍去)，选项A正确；
an＝2×2n－1＝2n，选项B正确，C错误；
an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an>3an，选项D正确．
答案：ABD
5．解析：由已知得eq \f(a10,a3)＝eq \f(a1q9,a1q2)＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.
答案：3×2n－3
6．解析：因为an＋1＝3an且a1＝2，所以eq \f(an＋1,an)＝3，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以an＝2×3n－1.
答案：2×3n－1
7．解析：由{an}为等比数列，设公比为q.
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a2＝－1，,a1－a3＝－3，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋a1q＝－1， ①,a1－a1q2＝－3， ②))
显然q≠1，a1≠0，
eq \f(②,①)得，1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，
所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.
答案：－8
8．解析：(1)∵eq \f(a7,a3)＝eq \f(a1q6,a1q2)＝q4＝4，
∴q2＝2，又∵q>0，∴q＝eq \r(2)，
∴an＝a3·qn－3＝4·(eq \r(2))n－3＝2eq \s\up6(\f(n＋1,2))(n∈N＋).
(2)∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n，
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，
∴数列{an}的公比为2或－2，
对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n.
9．解析：(1)由条件可得an＋1＝eq \f(2（n＋1）,n)an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得eq \f(an＋1,n＋1)＝eq \f(2an,n)，(构造法 )即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得eq \f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
10．解析：证明：(1)方法一 因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1).
由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
所以eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝2(n∈N＋).
所以数列{an＋1}是等比数列．
方法二 由a1＝1，
知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
因为eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝eq \f(2an＋1＋1,an＋1)＝eq \f(2（an＋1）,an＋1)＝2(n∈N＋)，
所以数列{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.