人教B版选择性必修第三册第六章《导数及其应用》章末重点题型复习 分层练习

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第六章：导数章末重点题型复习 题型一 极限相关问题【例1】（2024高二下·全国·专题练习）已知f'(x0)=a，则limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0−3Δx)2Δx的值为（    ）A．－2a B．2aC．a D．a2【变式1-1】（23-24高二上·云南昭通·期末）设函数fx在x=x0处存在导数为2，则limΔx→0fx0+Δx−fx02Δx=（    ）A．2 B．1 C．23 D．6【变式1-2】（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数fx在x=x0处的导数为6，则limΔx→0fx0−Δx−fx02Δx=（    ）A．−3 B．3 C．−6 D．6【变式1-3】（22-23高二下·河北廊坊·开学考试）函数fx在R上可导，若f'2=3，则limΔx→0f2+3Δx−f2−ΔxΔx=（    ）A．12 B．9 C．6 D．3【变式1-4】（23-24高二上·湖北武汉·期末）若R上的可导函数y=fx在x=x0处满足limΔx→0fx0−Δx−fx02Δx=−3，则f'x0= ．题型二 切线问题【例2】（2022高三上·河南·专题练习）函数f(x)=−x3+3sinx的图象在点A(0,f(0))处的切线方程是（    ）A．x−3y=0 B．3x−y=0 C．x+3y=0 D．3x+y=0【变式2-1】（2024高三上·全国·竞赛）如果可导曲线y=fx在点x0,fx0的切线方程为x+eay−3=0，其中a∈R，则（    ）A．f'x0>0 B．f'x0=0C．f'x0<0 D．无法确定【变式2-2】（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数fx=alnxa≠0，过原点作曲线y=fx的切线l，则切线l的斜率为 ．【变式2-3】（2024·广东·一模）设点P在曲线y=ex上，点Q在直线y=1ex上，则PQ的最小值为（    ）A．1e2+1 B．2e2+1C．ee2+1 D．3e2+1【变式2-4】（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知直线l与曲线y=ex相切，切点为M(x1,y1)，与曲线y=x+32也相切，切点是N(x2,y2)，则x2−2x1的值为 ．题型三 基本初等函数的导数【例3】(多选)（2024高二下·全国·专题练习）下列求导错误的是（    ）A．fx=log23，f'x=13ln2 B．fx=log2x，f'x=12lnxC．fx=2x，f'x=2lnx D．fx=x2，f'x=2x【变式3-1】（23-24高二上·河南许昌·期末）已知函数fx=a⋅ex2+bx2+x−2，若f'1=1，则f'−1=（    ）A．−1 B．0 C．1 D．2【变式3-2】（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知函数fx=3f'1x−x2+lnx+12，则f'1=（    ）A．1 B．2 C．12 D．−12【变式3-3】（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数fx的导函数为f'x，且fx=2xf'π3+sinx，则f'π3=（    ）A．32 B．12 C．−12 D．−32【变式3-4】（23-24高二上·江苏南通·期末）函数fx=sin23πx−π2在x=3处的导数f'3= ．题型四 函数的单调性与单调区间【例4】（2024·浙江·模拟预测）函数fx=ln2x−1−x2+x的单调递增区间是（    ）A．0,1 B．12,1C．1−22,1+22 D．12,1+22【变式4-1】（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数f(x)=x22+ax−(ax+1)lnx在x=1处的切线方程为y=bx+52(a,b∈R).(1)求a，b的值；(2)证明：fx在1,+∞上单调递增.【变式4-2】（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数fx=exx2−2a+1x+1.(1)若a=12，求曲线y=fx在点0,f0处的切线；(2)讨论fx的单调性；【变式4-3】（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数fx=exlnx+e.(1)求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；(2)设gx=f'x，讨论函数gx在0,+∞上的单调性.【变式4-4】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数f(x)=ex+cosx,x≥0．(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)求证：f(x)在[0,+∞)上单调递增．题型五 已知单调性求参问题【例5】（22-23高二下·陕西西安·期末）已知函数fx=x−1ex−mx在区间2,4上存在单调减区间，则实数m的取值范围为（    ）A．4e4,+∞ B．2e2,4e4C．2e2,+∞ D．2e2,+∞【变式5-1】（2022·江西宜春·模拟预测）已知函数fx=x−1ex−mx在区间2,4上存在单调减区间，则实数m的取值范围为（    ）A．2e2,+∞ B．−∞,eC．0,2e2 D．0,e【变式5-2】（20-21高二下·宁夏银川·阶段练习）若函数fx=x3+bx2+cx+d的单调减区间为−1,2，则bc= ．【变式5-3】（22-23高二下·天津静海·阶段练习）已知函数fx=12x2+2alnx−2xa∈R．(1)若a=−32，求fx的单减区间.(2)若函数fx在区间1,2上单调递增，求a的取值范围；(3)若函数fx在区间1,2上存在减区间，求a的取值范围(4)若函数fx在区间1,2上不单调，求a的取值范围；【变式5-4】（23-24高二上·安徽·期末）已知函数fx=x2−2x+2aex．(1)若fx在2,7上单调递增，求a的取值范围；(2)试讨论函数fx的单调性．题型六 函数单调性与图像的关系【例6】（16-17高二下·山东枣庄·期末）已知定义在R上的函数fx及其导函数f'x的图象如图所示，则函数y=e−xfx的减区间为（    ）A．0,1，4,+∞ B．−∞,1 C．1,+∞ D．−∞,0，1,4【变式6-1】（2024高二下·全国·专题练习）函数y=fx的导函数f'x的图象如图所示，则下列判断中正确的 （　　）  A．fx在−3,1上单调递增B．fx在1,3上单调递减C．fx在2,4上单调递减D．fx在3,+∞上单调递增【变式6-2】（23-24高二下·湖南株洲·开学考试）设f'x是函数fx的导函数，y=f'x的图象如图所示，则y=fx的图象最有可能的是（    ）A． B．C． D．【变式6-3】（23-24高二下·河南·开学考试）设f'x=x2−2x是函数fx的导函数，则y=fx的图象可能是（    ）A．   B．  C．   D．  【变式6-4】（22-23高二下·广东韶关·阶段练习）已知定义域为0,e上的函数y=fx，它的导函数y=f'x的图象如图所示，则函数y=fx的单调减区间是 ．题型七 函数的极值点与极值【例7】（23-24高三上·四川·期末）函数fx=x−6ex的极大值为 ．【变式7-1】（多选）（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知函数f(x)=xx,x∈(0,+∞)，则（    ）A．f(x)有且只有一个极值点B．f(x)在12,+∞上单调递增C．不存在实数a∈(0,+∞)，使得f(a)=64D．f(x)有最小值e−1e【变式7-2】（2024·辽宁·一模）已知函数f(x)=2lnx−2(a−1)x−ax2(a>0).(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(x))处的切线l的方程；(2)讨论f(x)的极值.【变式7-3】（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设f(x)=aln  x+12x−32x+1，函数y=f(x)的单调增区间是(13,1)．(1)求实数a；(2)求函数f(x)的极值．【变式7-4】（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）已知直线y=kx与函数f(x)=xlnx−x2+x的图象相切.(1)求k的值；(2)求函数fx的极大值.题型八 导数的极值与参数【例8】（2024高二下·全国·专题练习）若函数fx=x3−12x+a的极大值为11，则fx的极小值为 ．【变式8-1】（2024高二下·全国·专题练习）若函数fx=12x2−ax+lnx在0,2上有极值，则实数a的取值范围是 .【变式8-2】（2024高二下·全国·专题练习）已知函数fx=lnx−aex（其中a∈R,e为自然对数的底数）存在极大值，且极大值不小于1，则a的取值范围为 ．【变式8-3】（23-24高三下·山西晋城·开学考试）若fx=alnx+x2在x=1处有极值，则函数fx的单调递增区间是（   ）A．1,+∞ B．0,1 C．1,3 D．12,1【变式8-4】（23-24高三下·山东·开学考试）已知函数f(x)=mx2−xlnx存在极小值点x0，且f(x0)<−e3，则实数m的取值范围为（    ）A．(0,1e2) B．(0,2e2) C．(0,1e3) D．(0,2e3)题型九 函数极值与图像的关系【例9】（23-24高二上·安徽·期末）已知函数y=fx为连续可导函数，y=x2+4x+3f'x的图像如图所示，以下命题正确的是（    ）  A．f−3是函数的极大值 B．f−1是函数的极小值C．fx在区间−3,1上单调递增 D．fx的零点是−3和−1【变式9-1】（多选）（2023高三·全国·专题练习）（多选）设函数fx在R上可导，其导函数为f'x，且函数gx=xf'x的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）A．fx有两个极值点 B．f0为函数的极大值C．fx有两个极小值 D．f−1为fx的极小值【变式9-2】（多选）（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知函数fx的定义域为R，函数fx的导函数f'x的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）A．函数fx的单调递减区间是−∞,−2B．函数fx的单调递增区间是−∞,−2，0,+∞C．x=2处是函数fx的极值点D．x=−1时，函数的导函数小于0【变式9-3】（多选）（23-24高三上·云南楚雄·阶段练习）已知定义域为[−3,5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则（    ）  A．f(x)在(−2,2)上单调递减 B．f(x)有极小值f(2)C．f(x)有2个极值点 D．f(x)在x=−3处取得最大值【变式9-4】（2024高二·江苏·专题练习）已知函数f(x)=ax3+bx2+cx，其导函数y=f'(x)的图象经过点(1,0)，(2,0).如图，则下列说法中不正确的是 .(填序号)①当x=32时，函数f(x)取得最小值；②f(x)有两个极值点；③当x=2时函数取得极小值；④当x=1时函数取得极大值．题型十 函数最值问题【例10】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）设00时，若函数f(x)有最小值2，求a的值.题型十二 恒成立与有解问题【例12】（22-23高二下·新疆喀什·期末）已知函数f(x)=ax−lnx，若f(x)>0在定义域上恒成立，则a的取值范围是（    ）A．(1e,+∞) B．(1,+∞)C．(e,+∞) D．(12,+∞)【变式12-1】（23-24高二上·江苏盐城·期末）设函数f(x)=12x2−4x+alnx，若函数y=f(x)存在两个极值点x1,x2，且不等式fx1+fx2x1+x2≥t恒成立，则t的取值范围为（    ）．A．(−∞,−1] B．−∞,−94C．−∞,e22−4e D．(−∞,−13]【变式12-2】（2024·四川成都·模拟预测）当01x2−(a+3)x+a+2,x≤1，若关于x的不等式f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为（    ）A．(−∞,e] B．−∞,e2 C．−1,e2 D．(−∞,2]【变式12-4】（22-23高三下·全国·阶段练习）已知不等式ax≤2x+1ex对任意x∈1,+∞恒成立，则正实数a的取值范围是 ．题型十三 导数构造问题【例13】（23-24高二下·陕西·开学考试）已知函数fx的导函数为f'x，且fx>13f'x，则必有（    ）A．函数y=fxe13x为增函数 B．函数y=fxe3x为增函数C．函数y=fxe13x为减函数 D．函数y=fxe3x为减函数【变式13-1】（2024·四川成都·模拟预测）若函数f(x)对任意的x∈R都有f'(x) e2f(ln2) B．2f(2) = e2f(ln2)C．2f(2) < e2f(ln2) D．无法比较大【变式13-2】（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知定义在R上的函数fx满足sinxfx+cosxf'x>0，则（    ）A．fπ3<3fπ6 B．fπ6<3fπ3C．fπ3>3fπ6 D．fπ6>3fπ3【变式13-3】（多选）（23-24高二下·福建莆田·开学考试）已知f'x为函数fx的导函数，当x>0时，有fx−xf'x>0恒成立，则下列不等式一定成立的是（    ）A．f12>2f14 B．f12<2f14C．f12>2f1 D．2f12>f1【变式13-4】（23-24高二上·重庆·期末）已知定义在(0,+∞)上的函数fx的导数为f'x，若f(1)=1，且x2f'(x)+1>0，则下列式子中一定成立的是（    ）A．f13>3 B．f(1π)>πC．flog2e>ln2 D．f(ln3)b>c B．c>b>a C．b>a>c D．a>c>b 【变式15-2】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数f(x)=2x+2−x+cosx+x2，若a=f2，b=f(−e1e)，c=f(π1π)，则（    ） A．c1，证明：fx−516．