高中人教B版 (2019)第六章 导数及其应用本章综合与测试课时作业

专题强化练9　利用导数解决生活中的

最优化问题

一、填空题

1.(2020福建师大附中高二期末,)如图,有一块半径为20米,圆心角∠AOB=的扇形展示台,展示台分成了四个区域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC和扇形BOD(其中∠AOC=∠BOD).某次菊花展在这四个区域依次摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是泥金香50元/米2,紫龙卧雪30元/米2,朱砂红霜40元/米2.为使日总效益最大,∠COD应等于　　　　. 

二、解答题

2.(2020江苏徐州一中高二月考,)为了缓解城市交通压力,某市政府在市区一主要交通干道修建高架桥,两端的桥墩现已建好,已知这两桥墩相距m米,余下的工程是修建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,相邻两桥墩之间距离为x米,且相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.将所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.

(1)试写出余下工程的费用y关于x的函数解析式;

(2)当m=640时,需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小?并求出其最小值.

3.(2020江苏淮阴中学高二期中,)某款药品为胶囊,从外观上看是两个半球和一个圆柱组成,其中上半球是胶囊的盖子,粉状药物储存在圆柱及下半球中.胶囊轴截面如图所示,两头是半圆形,中间区域是矩形ABCD,且胶囊轴截面的周长为50毫米,药物所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设AD的长为2x毫米.

(1)求胶囊中药物的体积y关于x的函数解析式;

(2)如何设计AD与AB的长度才能使得y最大?

4.(2020江苏南通中学高三月考,)中国高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤25,t∈N+,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t相关:当20≤t≤25时,高铁为满载状态,载客量为1 000人;当5≤t<20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与(20-t)2成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车时间间隔为t分钟时,高铁载客量为P(t)(单位:人).

(1)求P(t)的表达式;

(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=P(t)-40t2+650t-2 000(单位:元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益最大?

答案全解全析

专题强化练9　利用导数解决

生活中的最优化问题

一、填空题

1.答案　

解析　设∠COD=θ,日总效益为y元,则∠AOC=,

y=×202×sin θ×50+×202×sin θ×30

=16 000×+10 000sin θ+6 000θ-6 000sin θ

=+4 000sin θ-2 000θ,0<θ<,

所以y'=4 000cos θ-2 000,

令y'=0,得θ=,

当0<θ<时,y'>0,当时,y'<0,

所以θ=是函数的极大值点,且唯一,

因此当θ=时,日总效益可取得最大值.

二、解答题

2.解析　(1)∵相邻两桥墩间距x米,∴需建桥墩个,

则y=256)x·+2m-256(0<x<m).

(2)当m=640时,y=256×+1 024,

令y=f(x)=640×+1 024,

则f'(x)=640×.

∵f'(26)=0且x>26时, f'(x)>0, f(x)单调递增,0<x<26时, f'(x)<0, f(x)单调递减,

∴f(x)最小值=f(x)极小值=f(26)=8 704,

∴需新建桥墩-1=9个才能使余下工程的费用y最小,最小值为8 704.

3.解析　(1)由题意得2AB+2πx=50,所以AB=25-πx,因为AB>0,所以x∈,

所以药物的体积y=x3+25πx2,x∈.

(2)由(1)得y'=2πx2-3π2x2+50πx,

令y'=0,得x=或x=0(舍去),

当x∈时,y'>0,y在区间上单调递增,

当x∈时,y'<0,y在区间上单调递减,

所以当x=时,y有最大值,此时AD=2x=.

所以当AD为 毫米,AB为 毫米时,药物的体积最大.

4.解析　(1)当5≤t<20时,不妨设P(t)=1 000-k(20-t)2,因为P(5)=100,所以解得k=4.

因此P(t)

=

(2)设y(t)=.

①当5≤t<20,t∈N+时,Q(t)=P(t)-40t2+650t-2 000=-t3+500t-2 000,

因此y(t)=+500,5≤t<20,t∈N+.

y'(t)=-2t+,当5≤t<10,t∈N+时,y'(t)>0,y(t)单调递增;

当10<t<20,t∈N+时,y'(t)<0,y(t)单调递减.

所以y(t)max=y(10)=200.

②当20≤t≤25,t∈N+时,Q(t)=-40t2+900t-2 000,

因此y(t)=,20≤t≤25,t∈N+.

易得y'(t)=<0,所以y(t)单调递减,所以y(t)max=y(20)=0.

综上,发车时间间隔为10分钟时,最大.