第四章 数列（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）

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班级 姓名 学号 分数
第四章 数列（A卷·知识通关练）
核心知识1 等差数列及其前n项和
1．（2022·江苏·常州市北郊高级中学高二期中）已知数列为等差数列，，则（    ）
A．8 B．12 C．15 D．24
【答案】B
【解析】，故，.
故选：B
2．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二期中）在等差数列中，若，则等于（    ）
A．30 B．40 C．60 D．80
【答案】C
【解析】因为为等差数列，又，且，
所以，所以；
故选：C
3．（2022·江苏扬州·高二期中）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（    ）
A．30 B．36 C．42 D．48
【答案】C
【解析】设{an}首项为，公差为d.因S3＝6，S4＝12，
则.则.
故选：C
4．（2022·江苏扬州·高二期中）在数列中，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【解析】由题设可得，故为等差数列，
故，
故，
故答案为：
5．（2022·上海中学高二期中）已知等差数列满足，，记表示数列的前n项和，则当时，n的取值为______.
【答案】
【解析】，故，，故，故，
，.
，故.
故答案为：
6．（2022·吉林·辽源市第五中学校高二期中）已知数列的前n项和为,且
(1)求的通项公式
(2)求证数列是等差数列
【解析】（1）解:由题知,

当时,

,
将代入上式可得,
故时满足上式,
;
（2）证明:由题知,
,
,
且,
是以3为首项,1为公差的等差数列.
7．（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高二期中）等差数列{an}中，
(1)求前n项和Sn；
(2)求前n项和Sn的最大值．
【解析】（1）∵{an}为等差数列，则，即，
∴，
故数列{an}的前n项和.
（2）∵的开口向下，对称轴，且，
当或时，取到最大值.
8．（2022·江苏连云港·高二期末）在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn．
【解析】（1）设公差为d，
∵a1＝8，a4＝2，
∴d＝＝－2，
∴an＝a1＋（n－1）d＝10－2n，n∈N*.
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，
则由（1）可得，Sn＝8n＋×（－2）＝9n－n2，n∈N*.
由（1）知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，
∴当n>5时，an<0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－（a6＋a7＋…＋an），
＝S5－（Sn－S5）＝2S5－Sn
＝2×（9×5－25）－（9n－n2）＝n2－9n＋40；
当n≤5时，an≥0，
则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，
∴Tn＝
9．（2022·江苏·扬州大学附属中学东部分校高二阶段练习）已知数列满足，且.
(1)求；
(2)证明：数列是等差数列.
【解析】（1）因为，
所以.
（2）因为，
所以，
则，
故，
又，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列.
核心知识2 等比数列及其前n项和
10．（2022·福建莆田·高二期中）在等比数列中，，则（    ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，
由，可得q＝2，所以.
故选：A.
11．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知数列满足：对于任意的m，，都有恒成立，且，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，即，
则，为首项为2，公比为2的等比数列，
故，
故选：A
12．（2022·江苏·马坝高中高二期中）设等比数列的前项和为，若，则公比（    ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】等比数列的前项和为，由得：，
而，则有，解得，
所以.
故选：C
13．（2022·甘肃·兰州一中高二期中）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）
A． B．8 C．7 D．
【答案】A
【解析】∵为等比数列的前n项和，
∴，，，成等比数列
∴，
∴，.
∴，.
故选：A
14．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）设等比数列的前项和为，公比，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，不成立；
当时，，即，解得，
.
故选：A
15．（多选题）（2022·江苏·苏州中学高二期中）已知公比不为1的等比数列的项和为，则下列一定成立的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【解析】设等比数列的公比为，
当时，，A不正确；
当时，，B正确；
当时，即，则，
所以，由与同号，所以，C正确；
当时，取数列为，， ，，，则，D不正确.
故选：BC.
16．（2022·江苏南通·高二期中）已知数列的前项之和为，满足，且，则时，__________．
【答案】
【解析】∵，，
∴是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴，
∴时，．
故答案为：.
17．（2022·上海师大附中高二期中）《九章算术》叙述了一个老鼠打洞的趣事：今有垣厚十尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问：何日相逢？各穿几何？意思就是说，有一堵十尺厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞.大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺.大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半.第3天结束后，两只老鼠相距______尺.
【答案】
【解析】设大老鼠第n天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为；小老鼠第n天打洞的距离为，则数列是首项为1，公比为的等比数列，其前n项和为.则，则，从而相距尺.
故答案为：
18．（2022·上海师大附中高二期中）若数列和满足，，，，则______.
【答案】
【解析】因为，，
所以，
即，
又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
又，即，所以

所以；
故答案为：.
19．（2022·江苏扬州·高二期中）在数列中，，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）由已知得，，
即，
又数列是公比为4的等比数列；
（2）由（1）知，


      
    .
20．（2022·黑龙江·哈尔滨市阿城区第一中学校高二阶段练习）求解下列问题：
(1)已知等差数列中，，，，求及；
(2)已知数列的前项和为，且，求证：为等比数列．
【解析】（1），
，解得，负根舍去.
所以.
（2），
当时，，
当时，，，
两式相减得，
所以数列是首项，公比为的等比数列.
核心知识3 数列的通项公式
21．（2022·江苏南通·高二期中）等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意得，，解得，故，
时，，
故
．
故选：A
22．（2022·陕西·长安一中高二期中（理））在数列中，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，
则，
而，得，
故选：C
23．（2022·陕西·乾县第一中学高二阶段练习（理））已知 ， 则 （    ）
A．506 B．1011 C．2022 D．4044
【答案】D
【解析】，
，
，，
，，
显然，当时，满足，
∴，
.
故选：D.
24．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，，，，，，
所以，
即，又，所以；
故选：A
25．（2022·浙江·杭州市富阳区实验中学高二阶段练习）已知，则（    ）
A．504 B．1008 C．2016 D．4032
【答案】D
【解析】由可得：，
故 ，
故选：D.
26．（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高二期中）若数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，
当时，，
经检验，可得.
故选：D.
27．（2022·江苏南通·高二期中）已知数列的前项之和为，满足，且，则时，__________．
【答案】
【解析】∵，，
∴是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴，
∴时，．
故答案为：.
28．（2022·上海·高二期中）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则an＝_____．
【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n+2﹣3n﹣1﹣2＝2×3n﹣1，
由于a1＝2≠5，
∴an＝．
故答案为：．
29．（2022·福建·莆田一中高二期中）已知数列满足，则___________．
【答案】
【解析】将代入可得，解得，
由可得，
两式相减得即，
所以，
也满足，故对任意的，，
故答案为：
30．（2022·全国·高二课时练习）已知在数列中，，，则__________．
【答案】
【解析】因为，当时，，
则，即有，当时，，得，满足上式，
，，因此数列是常数列，即，所以.
故答案为：
31．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前n项和为，且，，则__________．
【答案】
【解析】由题意得，所以，解得，
又因为，于是，
因此数列是以为首项、2为公比的等比数列，
故，于是，
因此数列是以1为首项、1为公差的等差数列，
故，故,
故答案为：
32．（2022·全国·高二课时练习）已知在数列中，，，则______．
【答案】
【解析】因为，，所以，
整理得，所以数列是以为首项，
为公比的等比数列，所以，解得．
故答案为：.
33．（2022·陕西·西安中学高二期中）设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为________.
【答案】
【解析】由题意得，而，
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
，，当时，，也满足此式，
综上，
故答案为：
34．（2022·湖南省隆回县第二中学高二期中）已知数列的前n项和，求数列的通项公式．
【解析】由，
当时，，
当时，
，
当时，上式也成立，
所以.
35．（2022·江苏·常州市北郊高级中学高二期中）记为数列的前n项和，已知，．
(1)求，；
(2)求数列的通项公式．
【解析】（1）当时，，解得或(舍)
当时，，解得或(舍)
所以，.
（2）当时，①，②，
由①-②得，，因为，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，
当时，由(1)可知，满足，故数列的通项公式为
36．（2022·山东省青岛第十七中学高二期中）已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求证：数列是等差数列.
(2)求.
【解析】（1）∵时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴数列是以2为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）知，
∴；
∵时，，
∴，
∴.

核心知识4 数列求和
37．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）已知数列满足，则数列的前项和为______．
【答案】
【解析】因为，
所以，即，即，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，则，
令数列的前项和为，
则
故答案为：
38．（2022·广东·顺德市李兆基中学高二阶段练习）设函数，，．则数列的前n项和______．
【答案】
【解析】由题设，，
所以，
即且n ≥ 2，
当时，，
当时，，
所以，
故答案为：.
39．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）已知定义在R上的函数，则___________.
【答案】
【解析】由，得，
所以，
设,
,
由，得

即，于是有，解得，
所以.
故答案为：.
40．（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高二期中）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【解析】（1）因为，
所以当时，，
当时，，
故，
经检验，满足，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
则，
两式相减，得，
所以.
41．（2022·湖南·邵阳市第二中学高二期中）已知数列的前项和为
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)当时，求的前项和．
【解析】（1）当时，，
当时，，
当，也满足上式，
所以 .
（2）由（1）知
所以 =
（3）
①
②
由②-①得  =
=
42．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中）已知等差数列的前项和为，
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）因为，
当时，
当时，
又也适合上式
所以
（2）由（1）知
所以，，
所以，
43．（2022·陕西·府谷县府谷中学高二期中（理））在数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和．
【解析】（1）因为，则
当时，，
当时，，
与相减，得，
所以，又，所以，
所以当时，，
当时，满足上式，当时，上式不成立，
所以
（2）知，
因为，
所以当时，，
当时，

．
显然当时，上式成立，所以．
44．（2022·福建·莆田八中高二期中）已知等差数列的前n项和为，其中r为常数．
(1)求r的值；
(2)设，求数列 的前n 项和．
【解析】（1）先求前三项，，，，
由为等差数列，所以，
所以，即；
（2）由（1）知，，
也满足，所以，
所以，故
所以
故
45．（2022·陕西·府谷县府谷中学高二阶段练习（文））已知数列是公差不为零的等差数列，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
因为成等比数列，所以，
解得或（舍去）.
故.
（2）由（1）可得，
故
46．（2022·福建莆田·高二期中）已知数列的前n项和公式为．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)令，求数列的前n项和；
【解析】（1）数列的前n项和，，
则当时，，即，
当时，，解得，
所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，，，，
当n为偶数时，，
于是得，
当n为奇数时，，
所以.
47．（2022·江苏·苏州中学高二期中）已知等差数列满足，，数列是单调递增的等比数列且满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求数列的前项的和.
【解析】（1）由已知，
设数列首项为，公差为
，
解得：，
所以
因为，，
数列是单调递增的等比数列，
设数列首项为，公比为，所以
解得：， ，所以
所以
（2）由已知
所以



48．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的首项为,公差为，
则，所以
当时，
又也符合上式，
故数列的通项公式为.
（2）当时，，数列的前n项和；
当时，，
数列的前n项和

，
.
综上所述：
49．（2022·上海市实验学校高二开学考试）为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如.
(1)求；
(2)求数列的前2022项和.
【解析】（1）因为为公差为的等差数列的前项和，
且
所以，解得，则公差，
所以，
由于，所以，

（2）由于，
，

，
所以数列的前2022项和，


50．（2022·山东临沂·高二期末）在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________
(1)求数列的通项公式；
(2)令，其中表示不超过的最大整数，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】(1)选①
设等差数列中，公差为，因为，，
所以，解得，
所以，
选②
因为等差数列中，公差为1，且成等比数列，
所以，即，解得
所以.
选③
因为等差数列中，，，
所以，即，解得
所以
(2)由（1）知，
因为，，，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以

核心知识5 数列与函数、不等式的综合问题
51．（2022·上海·曹杨二中高二期中）若不等式对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是______
【答案】
【解析】当为奇数时， ，所以 ，对任意正整数n恒成立
显然数列单调递增，令，故 ，得
当为偶数时，，所以，对任意正整数n恒成立
显然数列单调递增，令，故 ，得
综上所述：
故答案为：
52．（2022·山东淄博·高二期末）已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：为等比数列，并写出它的通项公式：
(2)若正整数m满足不等式，求m的最大值．
【解析】(1)因为①，
当时，解得，
当时②，
①②得，即，即，
所以，，所以是以为首项、为公比的等比数列，
所以.
(2) 由（1）可知，
因为，所以，即，解得，所以，
因为，所以的最大值为.
53．（2022·全国·高二期末）已知数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【解析】(1)（1）当时，
当时①
②
①减②得，则
因为当时，符合上式，所以
(2)
③
④
③－④得

则
因为，所以数列为递增数列
则当时，取最小值
所以
54．（2022·山东·德州市教育科学研究院高二期中）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)因为数列是等比数列，则可得，解得
所以．
因为数列是等差数列，且，，则公差，
所以．
故，
(2)由（1）得：，
数列的前n项和为①
所以②
由①-②得：，
所以．
不等式恒成立，化为成立，
令且为递增数列，即转化为
当时，恒成立，取，所以．
当时，恒成立，取，，所以．
综上可得：实数的取值范围是．
55．（2022·广东·普宁市华美实验学校高二阶段练习）已知数列的前n项和为Sn，满足．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若不等式2对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．
【解析】（1）①
②
①-②得，即，
变形可得，
又，得
故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式可得，
.
（2）令，则

当或时，，
当时，
又，，
因为不等式对任意的正整数恒成立，
，解得.
56．（2022·河南信阳·高二期中（理））在等差数列中，已知前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)令，求的前项和，并解不等式：.
【解析】(1)设公差为，由已知得，，解得，
所以，
即通项公式为
(2)由（1）可得，所以
因为，所以，所以，
所以，
57．（2022·广东韶关实验中学高二阶段练习）设数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求不等式的解集.
【解析】(1)令，则，
当时，，
当时，也符合上式，
即数列的通项公式为.
(2)由（1）得，
则，
所以
故可化为：，故，
故不等式的解集为.

核心知识6 数列在实际问题中的应用
58．（2022·全国·高二课时练习）小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.
【答案】6250
【解析】设每年还款的金额为，由题意可知：，所以
故答案为：6250
59．（2022·全国·高二课时练习）某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10，11，12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是______．
【答案】
【解析】设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，
则，
∴，．
故答案为：
60．（2022·全国·高二课时练习）某百货公司采用分期付款的方式销售家用空调机，售价为15000元，分6个月付清，每月付一次，月利率以6%单利计算，则购买者每月应付______元．（不满1元的舍去）
【答案】2826
【解析】设每月应付款为x元，则自第一月至付清本利合计为


另一方面，15000元在5个月的本利合计为，
，即（元）．
故答案为：2826
61．（2022·全国·高二单元测试）“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是以一根确定长度的琴弦为基准，取此琴弦长度的得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的为第三根琴弦，第三根琴弦长度的为第四根琴弦，第四根琴弦长度的为第五根琴弦.琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫､商､角（jué）､徵（zhǐ）､羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度的比值为___________.
【答案】
【解析】设基准琴弦的长度为1，则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为，，，，
五根琴弦的长度从大到小依次为1，，，，，
所以“角”和“徵”对应的琴弦长度分别为和，其长度的比值为.
故答案为：
62．（2022·浙江丽水·高二期末）在第七十五届联合国大会一般性辩论上，习近平主席表示，中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．某地2020年共发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，从2021年起，每年发放的电动型汽车牌照按前一年的50%增长，燃油型汽车牌照比前一年减少0.5万张，同时规定，若某年发放的汽车牌照超过15万张，以后每年发放的电动车牌照的数量维持在这一年的水平不变.那么从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为___________万张．
【答案】
【解析】设每年发放燃油型车牌照数为，发放电动型车牌照数，发放牌照数为，则
成等差数列，前四项成等比数列，第五项起为常数列，，
，，
前10项的和为，
，，，
因为，
所以，
前10项的和为：.
所以从2021年至2030年这十年累计发放的汽车牌照数为.
故答案为：134.
63．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二期中）若某政府增加环境治理费用a亿元，每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则______ （最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1，）．
【答案】200
【解析】由题意可知，
，
解得．
故答案为：200.
64．（2022·全国·高二课时练习）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为8，如果该塔形几何体的最上层正方体的棱长等于1，那么该塔形几何体中正方体的个数是______．

【答案】7
【解析】设从最底层开始的第n层的正方体棱长为，
则由题意得为以8为首项，为公比的等比数列，
其通项公式为．
令，得，故该塔形几何体中正方体的个数为7．
故答案为：7.

核心知识7 数列不等式的证明与放缩
65．（2022·江西·丰城九中高二阶段练习）等差数列中，前三项分别为，前项和为，且.
(1)求和的值；
(2)求=
(3)证明:
【解析】(1)∵等差数列中，前三项分别为，，，
∴，解得，
∴首项，公差．
∵，
化为：．
解得．
(2)由（1）可得：，
∴，
∴．
∴
(3)因为，而，所以.
66．（2022·广东·佛山市南海区南海执信中学高二阶段练习）设数列的前n项和为，且，数列．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
【解析】(1)∵，∴当时，，
当时，，∴，
经检验，也符合，
∴，；
(2)证明：因为，
∴，
∴
∴，
又∵，∴，
所以．
67．（2022·山东淄博·高二期中）已知数列的前项和为.
从下面①②③中选择其中一个作为条件解答试题，若选择不同条件分别解答，则按第一个解答计分.
①数列是等比数列，，且，，成等差数列；
②数列是递增的等比数列，，；
③.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列的前项的和为，且.证明：.
【解析】(1)若选①：因为数列是等比数列，设公比为，，且，，成等差数列，
所以，解得，所以；
若选②：因为数列是递增的等比数列，，，
所以，所以，，
所以；
若选③：因为，所以，
两式相减可得，即，又时，，
所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以；
(2)证明：由（1）知，
所以，
因为，所以，即.
68．（2022·全国·高二专题练习）已知数列中，，（，）．设．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，记数列的前项和为．证明，．
【解析】(1)当时，，
所以是等差数列，且首项，公差为1.
(2)由（1）可知，，，
所以.
，得证.
69．（2022·全国·高二课时练习）已知为等差数列的前项和，，．
（1）求；
（2）记数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，
∴由题意，有，得，．
∴．
（2），
∴，．
70．（2022·福建泉州·高二期末）已知数列满足：为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：.
【解析】(1)由，故的公差为，
，

，
当时，满足，
故对；
(2)证明：，
故，
故
.
71．（2022·辽宁·高二阶段练习）设各项均不等于零的数列的前项和为，已知.
(1)求的值，并求数列的通项公式；
(2)证明：.
【解析】(1)因为，
当时，，所以，
当时，，所以，
又因为，当时，，
两式相减得：，又因为，
所以，
当为偶数时，的奇数项是以为首项，公差为4的等差数列，所以，
当为奇数时，的偶数项是以为首项，公差为4的等差数列，所以，
所以，.
(2)因为为等差数列，所以，
所以，所以令


，要证明，即证明，则，所以，
即证，即证，
即证，
因为在上单调递减，所以.
所以.

核心知识8 数列中的新定义问题
72．（2022·陕西·长安一中高二阶段练习（文））定义：（）为个正数，，…，的“均倒数”.若数列的前项的“均倒数”为，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以，
即，
当时
，
又因为，满足上式，
所以.
故选：C.
73．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二期中（文））若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以．
故选：D．
74．（2022·北京市第三中学高二期中）如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．给出下列四个结论：
①若数列满足，则该数列是等比差数列；
②数列是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．其中所有正确结论的个数是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①数列满足，则，满足等比差数列的定义，故①正确；
②数列，
，不满足等比差数列的定义，故②错误；
③设等比数列，则，满足等比差数列，故③正确；
④设等差数列的公差为，则，
故当时（首项不为0），满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；
故选：C
75．（2022·广东·佛山市南海区第一中学高二阶段练习）定义：在数列中，若满足为常数），称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：，，，
根据“等差比数列”的定义可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，
则，
所以，，
所以．
故选：A.
76．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出，接着复制该项后，再添加该项的后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加3的后继数4，…，如此继续，则（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题意知，1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，这次复制后数列已经有15项，
下次复制会先复制这15项，再添加数5，故.
故选：A.
77．（2022·江苏南通·高二期末）在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（    ）
A．30 B．91 C．273 D．820
【答案】C
【解析】因为是以1为首项、3为公比的等比数列，
所以，则由，得，
即数列中前6项分别为：1、3、9、27、81、243，
其中1、9、81是数列的项，3、27、243不是数列的项，
且，
所以数列中第7项前（不含）插入的项的和最小为.
故选：C.
78．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二期中（理））对任意正整数定义运算*，其运算规则如下：①；②.则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意．
故选：D．
79．（2022·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（理））意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列四个结论：
①；
②；
③；
④.
其中正确结论的序号是（    ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【解析】因为，，，，，，，，…，
所以是以6为周期的周期数列，所以，所以①正确；
因为，所以③错误；
因为

，所以②错误；
因为
，
所以，所以④正确.
故选：B

核心知识9 数列中的范围与最值问题
80．（2022·湖南师大附中高二期中）数列的通项若是递增数列，则实数t的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得解得．
故选:A．
81．（2022·四川师范大学附属中学高二期中（理））已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排成一个数列，记该数列为.数列的前项和为，若对任意，且恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，令，则，即，
由题意可得：，
则，
∴，即，
故数列是以首项为0，公差为1的等差数列，则，
当时，则，
∴，
实数的取值范围是.
故选：C.
82．（2022·上海·高二期中）数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
∵不等式恒成立，
∴，
解得，
故选：B．
83．（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）首项为的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，令该等差数列为，则有，
因数列从第10项开始为正数，因此，即，解得：，
所以公差d的取值范围是.
故选：D
84．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时取得最大值，若，则公差d的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得，即，解得，
故选：A．
85．（2022·北京西城·高二期末）数列{}的通项公式为．若{}为递增数列，则的取值范围是（    ）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．
【答案】D
【解析】因为数列{}的通项公式为，且{}为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
即，
所以对于都成立，
所以对于都成立，
所以，
即的取值范围是，
故选：D
86．（2022·河南·高二期中（文））设为等差数列的前项和，且，，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以公差，
所以．
故选：A
87．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二期中）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（    ）
A． B． C． D．与均为的最大值
【答案】C
【解析】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故B正确；
又由得，则有，故A正确；
而C选项，，即，可得，
又由且，则，必有，显然C选项是错误的.
∵，，∴与均为的最大值，故D正确；
故选：C
88．（2022·安徽·六安一中高三阶段练习）已知为等差数列，为的前项和.若，，则当取最大值时，的值为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】在等差数列中，因为，
所以，又，所以，所以，
所以有该等差数列首项，公差，所以.
故选: D.
89．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）记为等差数列的前项和，且，，则取最大值时的值为（    ）
A．12 B．12或11 C．11或10 D．10
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，由，得，即，
又，所以，所以，令，可得，
所以数列满足：当时，；当时，；当时，，
所以取得最大值时，的取值为11或12.
90．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差数列的公差，知，，所以，故，则数列的前项和取得最大值时的值为.
故选：B
91．（2022·河北张家口·高二期末）已知数列的前n项和为，当时，，且，，则满足的n的最大值为（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为，且，所以各项均不为0，
所以数列为等比数列，设公比为，
则，解得，
所以，则，解得，即，
因为，所以n的最大值为7.
故选：C.
92．（2022·天津·高二期末）已知，，且，，成等差数列，则的最小值为（    ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【解析】因为，，且，，成等差数列，
所以，
所以，
当且仅当，即，时取等号；
故选：D
93．（2022·福建省诏安县桥东中学高二期中）已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（    ）
A．5 B．5或6 C．10 D．9或10
【答案】D
【解析】显然是一个等差数列，且，所以要使取得最小值，只需将的所有负数项或者等于0的项加完即可，显然，所以的前九项为负数，且，所以当9或10时取得最小值.
故选：D

核心知识10 数学归纳法
94．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，不等式左边等于，
当时，不等式左边等于
当时，不等式的左边比时增加.
故选：D
95．（2022·河南南阳·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】显然当时，，而当时，，A不是；
当时，，B不是；当时，，C不是；
当时，，符合要求，D是．
故选：D
96．（2022·上海·上外附中高二阶段练习）观察下面等式：写出由这些等式归纳的一般规律，用数学归纳法证明．
【解析】一般规律：，
证明：（1）时，左=右，等式成立；
（2）假设时，等式成立，即，
则当时，，
等式也成立，
由（1）（2）得当时等式都成立．
97．（2022·全国·高二课时练习）已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题．
(1)求，，，并猜想的通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．
【解析】（1）选条件①，
由题意可得，同理可得，，
猜想()．
选条件②，
由题意可得，∵，，∴，，
∴，同理可得，
猜想（）．
（2）显然当时，猜想成立，
假设当时，猜想成立，即（），
当时，由，可得=
（），
即当时，猜想成立，
综上所述，（）．
98．（2022·河南·邓州市第一高级中学校高二期末（理））设，，．
(1)当时，试比较与1的大小；
(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．
【解析】(1)∵，，
∴，．
∵，，
∴，．
∵，，
∴，．
∵，，
∴，．
(2)猜想：当，时，有．
证明：①当时，猜想成立．
②假设当（，）时猜想成立，．
当，．
∵，
∴，则，
即，
∴当时，猜想成立.
由①②知，当，时，有．
99．（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中且.
(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.
【解析】(1)因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
(2)①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
100．（2022·全国·高二课时练习）观察下列等式：



……
据此规律，请你猜想出第个等式并证明你的结论．
【解析】由已知：第个等式为，
当时，显然成立；
若，成立，
那么时，，
所以都有成立.