高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行一课一练

第八章立体几何初步

8.5　空间直线、平面的平行

8.5.2　直线与平面平行

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.有以下四个说法,其中正确的说法是(　　)

①若直线与平面没有公共点,则直线与平面平行;

②若直线与平面内的任意一条直线不相交,则直线与平面平行;

③若直线与平面内的无数条直线不相交,则直线与平面平行;

④若平面外的直线与平面内的一条直线平行,则直线与平面不相交.

A.①② B.①②③

C.①③④ D.①②④

答案D

解析③中若直线在平面内,虽与平面内的无数条直线不相交,但直线与平面不平行,故③不正确,①②④正确.

2.如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则(　　)

A.MN∥PD B.MN∥PA

C.MN∥AD D.以上均有可能

答案B

解析∵MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,

平面PAD∩平面PAC=PA,∴MN∥PA.

3.如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是(　　)

A.相交 B.b∥α

C.b⊂α D.b∥α或b⊂α

答案D

解析由a∥b,且a∥α,知b与α平行或b⊂α.

4.(多选题)在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的是(　　)

A.E,F,G,H一定是各边的中点

B.G,H一定是CD,DA的中点

C.AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC

D.四边形EFGH是平行四边形或梯形

答案CD

解析因为BD ∥平面EFGH,所以由线面平行的性质定理,得BD∥EH,BD∥FG,则AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC,且EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.

5.如图,E,F,G分别是四面体ABCD的棱BC,CD,DA的中点,则此四面体中与过点E,F,G的截面平行的棱是　　　　　. 

答案BD,AC

解析∵E,F分别是BC,CD的中点,∴EF∥BD,

又BD⊄平面EFG,EF⊂平面EFG,

∴BD∥平面EFG.

同理可得AC∥平面EFG.

很明显,CB,CD,AD,AB均与平面EFG相交.

6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点,则EF与平面BDD1B1的位置关系是　　　　　. 

答案平行

解析取

D1B1的中点M,连接FM,MB,则FM?B1C1.

又BE?B1C1,∴FM?BE.

∴四边形FMBE是平行四边形.

∴EF∥BM.

∵BM⊂平面BDD1B1,EF⊄平面BDD1B1,

∴EF∥平面BDD1B1.

7.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点,求证:BC1∥平面CA1D.

证明如图所示,连接AC1交A1C于点O,连接OD,则O是AC1的中点.

∵点D是AB的中点,∴OD∥BC1.

又∵OD⊂平面CA1D,BC1⊄平面CA1D,∴BC1∥平面CA1D.

8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AB=4,CD=2,点M在棱PD上.

(1)求证:CD∥平面PAB;

(2)若PB∥平面MAC,求的值.

(1)证明因为CD∥AB,CD⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以CD∥平面PAB.

(2)解连接BD交AC于点O,连接OM,因为PB∥平面MAC,且PB⊂平面PBD,平面PBD∩平面MAC=MO,

所以PB∥MO.

所以△DOM∽△DBP,

所以.

因为CD∥AB,易得△COD∽△AOB,则=2.

故=2.

关键能力提升练

9.(多选题)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ平行的是(　　)

答案BCD

解析对

于A,如图,O为底面对角线的交点,可得AB∥OQ,又OQ∩平面MNQ=Q,所以直线AB与平面MNQ不平行;对于B,由于AB∥MQ,结合线面平行的判定定理可知AB与平面MNQ平行;对于C,由于AB∥MQ,结合线面平行的判定定理可知AB与平面MNQ平行;对于D,由于AB∥NQ,结合线面平行的判定定理可知AB与平面MNQ平行.故选BCD.

10.如图,四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为              (　　)

A.2+ B.3+

C.3+2 D.2+2

答案C

解析由AB=BC=CD=DA=2,得四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,

即AB∥平面DCFE,

∵平面SAB∩平面DCFE=EF,∴AB∥EF.

∵E是SA的中点,∴EF=1,DE=CF=.

∴四边形DEFC的周长为3+2.

11.

(2021上海高二期末)如图,在底面边长为8 cm,高为6 cm的正三棱柱ABC-A1B1C1中,若D为棱A1B1的中点,则过BC和D的截面面积等于　　　　 cm2. 

答案24

解析过

点D作DE∥B1C1,交A1C1于点E,连接CE,则四边形BCED即为过BC和点D的截面,

因为D为棱A1B1的中点,DE∥B1C1,所以E为A1C1中点,

所以DE是△A1B1C1的中位线,

所以DE=B1C1=4 cm,

又因为B1C1∥BC,所以DE∥BC,

所以四边形BCED是梯形;

过点D作DF⊥BC于点F,

则DF==4(cm),

所以截面BCED的面积为S=×(4+8)×4=24(cm2).

12.

如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体,截面为△ABC.已知AA1=4,BB1=2,CC1=3.在边AB上是否存在一点O,使得OC∥平面A1B1C1?请说明理由.

解存

在.理由如下,取AB的中点O,连接OC.作OD∥AA1交A1B1于点D,连接C1D,则OD∥BB1∥CC1.

因为O是AB的中点,

所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1,则四边形ODC1C是平行四边形,所以OC∥C1D.

又C1D⊂平面C1B1A1,且OC⊄平面C1B1A1,

所以OC∥平面A1B1C1.

即在边AB上存在一点O,使得OC∥平面A1B1C1.

学科素养创新练

13.如图所示,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,CD=2AB,M为线段PC上一点.在棱PC上是否存在点M,使得PA∥平面MBD?若存在,请确定点M的位置;若不存在,请说明理由.

解假设存在点M,使得PA∥平面MBD,

连接AC交BD于点O,连接MO.

因为AB∥CD,且CD=2AB,所以.

∵PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面MBD=MO,PA∥平面MBD,

∴PA∥MO,∴,

∴在PC上存在点M,此时,使得PA∥平面MBD.