数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课后作业题

第八章立体几何初步

8.6　空间直线、平面的垂直

8.6.3　平面与平面垂直

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为(　　)

A.90° B.60° C.45° D.30°

答案A

解析∵PA⊥平面ABC,BA,CA⊂平面ABC,

∴BA⊥PA,CA⊥PA,

因此∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.

又∠BAC=90°,故选A.

2.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),图中互相垂直的平面有(　　)

A.1对 B.2对 C.3对 D.5对

答案D

解析∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,

∴DA⊥平面PAB,同样BC⊥平面PAB,

又易知AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD.

∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.

3.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是(　　)

A.若m⊥β,α⊥β,则m∥α

B.若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则n⊥α

C.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n

D.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α

答案D

解析当m⊂α时,m⊥β,α⊥β也可以成立,所以A选项错误;若α∩β=n,显然n⊂α,这时m⊂α,n⊂β,m⊥n也可以成立,所以B选项错误;当m∥n时,显然α⊥β,m⊥α,n∥β成立,所以C选项错误;因为n⊥β,m⊥β,所以m∥n.又因为n⊥α,所以m⊥α,所以D选项正确.故选D.

4.如图所示,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=　　　　. 

答案2

解析取

AB的中点E,连接DE,CE.因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,且DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故DE⊥CE.

由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,

CD==2.

5.如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是　　　　　. 

答案45°

解析过

A作AO⊥BD于点O,

∵平面ABD⊥平面BCD,

∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.

∵∠BAD=90°,AB=AD,

∴∠ADO=45°.

6.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED的大小为　　　　　. 

答案90°

解析取

BD中点O,连接AO,CO,由AB=BC=CD=AD,

∴AO⊥BD,CO⊥BD,

∴∠AOC为二面角A-BD-C的平面角.

∴∠AOC=90°.

又∠BAD=∠BCD=90°,

∴△BAD与△BCD均为直角三角形.

∴OC=OD,∴△AOD≌△AOC,∴AD=AC,

∴△ACD为等边三角形.

∵E为CD中点,∴AE⊥CD,∴∠AED=90°.

7.三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.

(1)求证:VB∥平面MOC;

(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;

(3)求点B到平面MOC的距离.

(1)证明∵O,M分别为AB,VA的中点,∴OM∥VB.

又VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,

∴VB∥平面MOC.

(2)证明∵AC=BC,O为AB的中点,

∴OC⊥AB.

又平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,且OC⊂平面ABC,

∴OC⊥平面VAB,又OC⊂平面MOC,

∴平面MOC⊥平面VAB.

(3)解连接MB,VO,过M作MD⊥AB,垂足为D,图略,设h'为点B到平面MOC的距离,h为点M到平面BOC的距离.

∵VM-BOC=VB-MOC,∴S△BOC×h=S△MOC×h'.

∵平面VAB⊥平面ABC,VO⊥AB,∴VO⊥平面ABC.

又△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O为AB中点,∴VO=.

又MD⊥AB,M为VA中点,

∴MD=VO=h=.

∵S△BOC=×1×1=,S△MOC=×1×1=,

∴h'=,即点B到平面MOC的距离为.

8.

如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.

(1)求证:平面PBE⊥平面PAB;

(2)求二面角A-BE-P的大小.

(1)证明如

图所示,连接BD,由底面ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.

因为E是CD的中点,

所以BE⊥CD.

又因为AB∥CD,所以BE⊥AB.

又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,

所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,

因此BE⊥平面PAB.

又因为BE⊂平面PBE,

所以平面PBE⊥平面PAB.

(2)解由(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,

所以PB⊥BE.又因为AB⊥BE,

所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.

在Rt△PAB中,tan∠PBA=,∠PBA=60°,故二面角A-BE-P的大小是60°.

关键能力提升练

9.

如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是(　　)

A.一条线段

B.一条直线

C.一个圆

D.一个圆,但要去掉两个点

答案D

解析∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,∴AC⊥平面PBC.

又BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°.

∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.

10.

如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则过点C1作C1H⊥平面ABC,垂足为H,则H必在(　　)

A.直线AB上

B.直线BC上

C.直线AC上

D.△ABC的内部

答案A

解析因为BC1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B,

所以AC⊥平面ABC1.

因为AC⊂平面ABC,

所以平面ABC⊥平面ABC1.

又因为平面ABC∩平面ABC1=AB,

所以过点C1再作C1H⊥平面ABC,则H∈AB,

即H在直线AB上.

11.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是              (　　)

A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMB

B.异面直线AD与PB所成的角为90°

C.二面角P-BC-A的大小为45°

D.BD⊥平面PAC

答案ABC

解析如

图,对于A,取AD的中点M,连接PM,BM,∵侧面PAD为正三角形,

∴PM⊥AD,又底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,

∴△ABD是等边三角形,

 ∴AD⊥BM,又PM∩BM=M,PM,BM⊂平面PMB,

∴AD⊥平面PMB,故A正确;

对于B,∵AD⊥平面PBM,∴AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故B正确;

对于C,∵平面PBC∩平面ABCD=BC,BC∥AD,∴BC⊥平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM,

∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角,设AB=1,则BM=,PM=,

在Rt△PBM中,tan∠PBM==1,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C正确;

对于D,因为BD与PA不垂直,所以BD与平面PAC不垂直,故D错误.

12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 

答案DM⊥PC(或:BM⊥PC,答案不唯一)

解析连

接AC,则AC⊥BD.

∵PA⊥底面ABCD,

BD⊂平面ABCD,

∴PA⊥BD.

∵PA∩AC=A,

∴BD⊥平面PAC,

∴BD⊥PC.

∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,

∴平面MBD⊥平面PCD.

13.

如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=　　　　　. 

答案2

解析取AB的中点E,连接DE,CE,

因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.

当平面ADB⊥平面ABC时,

因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.

可知DE⊥CE.

由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2.

14.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.

(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;

(2)求图2中的四边形ACGD的面积.

(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.

由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,

故AB⊥平面BCGE.

又因为AB⊂平面ABC,

所以平面ABC⊥平面BCGE.

(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,

故DE⊥CG.

由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.

因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.

15.

如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,D,E,F分别为AC,AB,BC的中点.

(1)求证:EF⊥PD;

(2)求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值;

(3)求二面角E-PF-B的平面角的正切值.

(1)证明连接BD,在△ABC中,∠B=90°.

∵AB=BC,点D为AC的中点,∴BD⊥AC.

又∵PB⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,

∴AC⊥PB.

∵BD∩PB=B,∴AC⊥平面PBD.

∵E,F分别为AB,BC的中点,

∴EF∥AC,∴EF⊥平面PBD,

∵PD⊂平面PBD,∴EF⊥PD.

(2)解连接BD交EF于点O,由(1)知EF⊥平面PBD,

 ∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角,且PO⊂平面PBD,∴EF⊥PO.

∵PB⊥平面ABC,BC,AB⊂平面ABC,

∴PB⊥AB,PB⊥BC.

∵∠PAB=45°,∴PB=AB=2.

∵OF=AC=,∴PF=.

在Rt△FPO中,sin∠FPO=,

∴直线PF与平面PBD所成的角的正弦值为.

(3)解过点B作BM⊥PF于点M,连接EM.

∵AB⊥PB,AB⊥BC,PB∩BC=B,

∴AB⊥平面PBC,

∴BE⊥BM,BE⊥平面PBC.

∵PF⊂平面PBC,∴PF⊥BE.

又PF⊥BM,BE∩BM=B,∴PF⊥平面BME,

∵EM⊂平面BME,∴PF⊥EM,

∴∠BME为二面角E-PF-B的平面角.

在Rt△PBF中,BM=,

∴tan∠BME=.

∴二面角E-PF-B的平面角的正切值为.

学科素养创新练

16.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2,四边形ABCD满足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,F为侧棱PC上的任意一点.

(1)求证:平面AFD⊥平面PAB;

(2)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直?若存在,写出证明过程并求出线段PF的长;若不存在,请说明理由.

(1)证明∵平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,且PA⊥AC,PA⊂平面PAC,

∴PA⊥平面ABCD.

又AD⊂平面ABCD,∴PA⊥AD.

又AB⊥AD,PA∩AB=A,

∴AD⊥平面PAB,又AD⊂平面AFD,

∴平面AFD⊥平面PAB.

(2)解存在点F,当AF⊥PC时,直线AF与平面PCD垂直.

证明如下,

由AB⊥AD,BC∥AD,AB=BC=1,AD=2,

得AC=CD=,

∴CD⊥AC.

又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,

∵PA∩AC=A,

∴CD⊥平面PAC.又AF⊂平面PAC,

∴CD⊥AF.

又AF⊥PC,CD∩PC=C,∴AF⊥平面PCD.

在△PAC中,PA=2,AC=, ∠PAC=90°,

∴PC=,AF=,PF=.

∴存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直.此时线段PF的长为.