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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率课后测评
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率课后测评，共11页。试卷主要包含了1 随机事件与概率，下列试验是古典概型的是等内容，欢迎下载使用。
第十章概率
10.1 随机事件与概率
10.1.3 古典概型
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.下列试验是古典概型的是( )
A.种下一粒大豆观察它是否发芽
B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径
C.抛一枚硬币,观察其正面或反面出现的情况
D.某人射击中靶或不中靶
答案C
解析只有C具有古典概型两个特征.
2.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A.310 B.15 C.110 D.112
答案A
解析从这5个小球中任取两个,设x1,x2分别表示先、后取得的小球的标号,则(x1,x2)表示一个样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10个样本点.设A=“取出的小球标注数字之和为3或6”,则A={(1,2),(1,5),(2,4)},共3种,所以所求概率P(A)=n(A)n(Ω)=310.故选A.
3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.12 B.13 C.14 D.16
答案B
解析从1,2,3,4中任取2个不同的数,设x1,x2分别表示先后取出的2个数,则可用(x1,x2)表示样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设A=“满足取出的2个数之差的绝对值为2”,则A={(1,3),(2,4)},故所求概率是26=13.
4.在2,4,6,8四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,则“ab是整数”的概率为( )
A.13 B.14 C.23 D.34
答案A
解析在2,4,6,8四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,基本事件总数n=12,ab是整数包含的样本点(a,b)有:(4,2),(6,2),(8,2),(8,4),共4个,则“ab是整数”的概率P=412=13.故选A.
5.假设有2名志愿者医生来自甲医院,有2名志愿者医生来自乙医院,从这4人中任取2人分配新的任务,则两所医院各取一人的概率为( )
A.13 B.23 C.12 D.14
答案B
解析记2名来自甲医院的医生分别为a,b,记2名来自乙医院的医生分别为A,B,设x1,x2分别表示从4人中取的第1个人,第2个人,则可用(x1,x2)表示样本点.从这4人中任取2人,则该试验的样本空间Ω={(a,b),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(A,B)},共6种,设A=“两所医院各取一人”,则A={(a,A),(a,B),(b,A),(b,B)},共4种.因此,两所医院各取一人的概率为P(A)=46=23.
6.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”“手背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出;其他情况,不分胜负.则一次游戏中甲胜出的概率是 .
答案14
解析一次游戏中,甲、乙、丙出的方法种数都有2种,所以总共有8种方案,而甲胜出的样本空间Ω={甲黑乙白丙白,甲白乙黑丙黑},共2种,所以甲胜出的概率为28=14.
7.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率.
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
解(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.设从甲校选出的教师为x1,从乙校选出的教师为x2,则(x1,x2)可表示样本点.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,试验的样本空间Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共9种结果.
设M=“从中选出2名教师性别相同”,则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共4种结果,
所以选出的2名教师性别相同的概率为P=49.
(2)设N=“从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名”,则N={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共15种结果.
设O=“从中选出2名教师来自同一所学校”,则O={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共6种结果,
所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P=615=25.
关键能力提升练
8.投掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次向上的点数小于第二次向上的点数,则我们称其为正试验;若第二次向上的点数小于第一次向上的点数,则我们称其为负试验;若两次向上的点数相等,则我们称其为无效试验.则一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是( )
A.136 B.112 C.16 D.12
答案C
解析连续抛一枚骰子两次向上的点数记为(x,y),则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},
共有36个样本点,设“出现无效试验”为事件A,则A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共6个样本点,则P(A)=636=16.
9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个质数(质数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和,例如:8=3+5,在不超过14的质数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为( )
A.16 B.112 C.114 D.115
答案D
解析不超过14的质数有2,3,5,7,11,13,共6个数,在这6个数中随机选取两个不同的数,可用列举法得出共15种选法,两个数的和等于14的共有(3,11),共有1种选法,所以其和等于14的概率为115.
10.新高考综合改革实施方案将采用“3+1+2”模式,“3”为语文、数学、英语所有学生必考;“1”为必须在物理、历史中选一科;“2”为再选科目,考生须在化学、生物、政治、地理4个科目中任选两科.若不考虑主观因素的影响,选择各科是等可能的,则某同学选择含有地理学科组合的概率为( )
A.14 B.12 C.715 D.815
答案B
解析按照“3+1+2”模式选科具体组合如下:(物理,化学,生物),(物理,化学,地理),(物理,化学,政治),(物理,生物,政治),(物理,生物,地理),(物理,政治,地理),(历史,化学,生物),(历史,化学,地理),(历史,化学,政治),(历史,生物,政治),(历史,生物,地理),(历史,政治,地理),共12种组合,其中含地理学科的组合有6种,所以某同学选择含地理学科组合的概率P=612=12.故选B.
11.(2021江西南昌期末)2021年3月28日,云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》,命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”,其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇.某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选三个去旅游,则其中一个是安宁温泉小镇的概率为( )
A.12 B.23 C.13 D.16
答案A
解析6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇.某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选三个去旅游,样本点共有20个,分别是:(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇),(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,剑川沙溪古镇),(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,瑞丽畹町小镇),(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,德钦梅里雪山小镇),(安宁温泉小镇,禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇),(安宁温泉小镇,禄丰黑井古镇,瑞丽畹町小镇),(安宁温泉小镇,禄丰黑井古镇,德钦梅里雪山小镇),(安宁温泉小镇,剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇),(安宁温泉小镇,剑川沙溪古镇,德钦梅里雪山小镇),(安宁温泉小镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇),(腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇),(腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇,瑞丽畹町小镇),(腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇,德钦梅里雪山小镇),(腾冲银杏小镇,剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇),(腾冲银杏小镇,剑川沙溪古镇,德钦梅里雪山小镇),(腾冲银杏小镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇),(禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇),(禄丰黑井古镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇),(禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇,德钦梅里雪山小镇),(剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇).其中一个是安宁温泉小镇的有10个,则其中一个是安宁温泉小镇的概率为P=1020=12.故选A.
12.(多选题)下列试验是古典概型的是( )
A.在适宜的条件下种一粒种子,种子发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球为白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率
D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言,甲被选中的概率
答案BD
13.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是( )
A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为23
B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14
C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为13
D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为35
答案ABC
解析对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人,则该试验的样本空间Ω={(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙)},共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=23,故A正确;对于B,样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共四种情况,而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种情况,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=14,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为26=13,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是37,故D错误.
14.(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是( )
A.任取2件,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是12
B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16
C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是12
D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16
答案ACD
解析记4件产品分别为1,2,3,a,其中1,2,3表示正品,a表示次品.在A中,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=36=12,A正确;在B中,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,B错误;在C中,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为12,C正确;在D中,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确.
15.从甲、乙、丙、丁四名同学中选两人当班长和副班长,其中甲、乙是男生,丙、丁是女生,则选举结果中至少有一名女生当选的概率是 .
答案56
解析该试验的样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},设A=“没有女生当选”,则A中只包含(甲,乙)1个样本点,故至少一名女生当选的概率为P(A)=1-P(A)=1-16=56.
16.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 .
答案16
解析从2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有3×4=12(个)样本点,其中为整数的只有log28,log39两个,所以其概率P=212=16.
17.(2021安徽六安期末)一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b
解析a,b,c∈{1,2,3},且a,b,c互不相同所组成的三位数的所有可能情况为123,132,213,231,312,321,共6个数,其中是“凹数”的有213,312,共2个数,故所求概率为P=26=13.
18.现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为 .
答案56
解析从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所以该随机试验的样本空间中有12个样本点,样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)}.“A1和B1全被选中”有2个样本点(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),所以“A1和B1不全被选中”共有10个样本点,则A1和A2不全被选中的概率为1012=56.
19.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了 3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
温差
x/℃
10
11
13
12
8
发芽数
y/颗
23
25
30
26
16
(1)求这5天发芽数的中位数;
(2)求这5天的平均发芽率;
(3)从3月1日至3月5日中任选2天,记前面一天发芽的种子数为m,后面一天发芽的种子数为n,用(m,n)的形式列出所有样本点,并求满足“25≤m≤30,25≤n≤30”的概率.
解(1)因为16<23<25<26<30,所以这5天发芽数的中位数是25.
(2)这5天的平均发芽率为
23+25+30+26+16100+100+100+100+100×100%=24%.
(3)用(x,y)表示所求试验的样本点,则有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个样本点.
记“25≤m≤30,25≤n≤30”为事件A,则A={(25,30),(25,26),(30,26)},共有3个样本点.所以P(A)=310,即事件“25≤m≤30,25≤n≤30”的概率为310.
学科素养创新练
20.(多选题)设集合M={2,3,4},N={1,2,3,4},分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件Ak(3≤k≤8,k∈N*),若事件Ak的概率最大,则k的取值可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案BC
解析由题意,该试验的样本空间Ω={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共12个样本点,则事件A3:点P(m,n)落在直线x+y=3上,包含其中(2,1),共1个样本点,所以P(A3)=112;事件A4:点P(m,n)落在直线x+y=4上,包含其中(2,2),(3,1),共2个样本点,所以P(A4)=16;事件A5:点P(m,n)落在直线x+y=5上,包含其中(2,3),(3,2),(4,1),共3个样本点,所以P(A5)=14;事件A6:点P(m,n)落在直线x+y=6上,包含其中(2,4),(3,3),(4,2),共3个样本点,所以P(A6)=14;事件A7:点P(m,n)落在直线x+y=7上,包含其中(3,4),(4,3),共2个样本点,所以P(A7)=16;事件A8:点P(m,n)落在直线x+y=8上,包含其中(4,4),共1个样本点,所以P(A8)=112.综上可得,当k=5或6时,P(Ak)max=P(A5)=P(A6)=14.
21.(2021山西大同期末)某药厂测试一种新药的疗效,随机选择1 200名志愿者服用此药,结果如下:
治疗效果
病情好转
疗效不时显
病情恶化
人数
800
200
200
现拟采用分层随机抽样的方法从服用此药的1 200名志愿者中抽取6人组成样本,并从这抽出的6人中任意选取3人参加药品发布会,求抽取的3人病情都未恶化的概率.
解采用分层随机抽样的方法,从病情好转的志愿者中抽4人,
从疗效不明显及病情恶化的志愿者中各取1人组成6个人的样本.
将6人中病情恶化的1人用符号A代替,其余5人分别用1,2,3,4,5代替,
则从6人中任意抽取3人的样本点表示如下:(A,1,2),(A,1,3),(A,1,4),(A,1,5),(A,2,3),(A,2,4),(A,2,5),(A,3,4),(A,3,5),(A,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),共20个样本点.
其中没有抽到病情恶化的志愿者的样本点为(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),共10个样本点,
因此抽取的3人中没有病情恶化的志愿者的概率为1020=12.
第十章概率
10.1 随机事件与概率
10.1.3 古典概型
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.下列试验是古典概型的是( )
A.种下一粒大豆观察它是否发芽
B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径
C.抛一枚硬币,观察其正面或反面出现的情况
D.某人射击中靶或不中靶
答案C
解析只有C具有古典概型两个特征.
2.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A.310 B.15 C.110 D.112
答案A
解析从这5个小球中任取两个,设x1,x2分别表示先、后取得的小球的标号,则(x1,x2)表示一个样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10个样本点.设A=“取出的小球标注数字之和为3或6”,则A={(1,2),(1,5),(2,4)},共3种,所以所求概率P(A)=n(A)n(Ω)=310.故选A.
3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A.12 B.13 C.14 D.16
答案B
解析从1,2,3,4中任取2个不同的数,设x1,x2分别表示先后取出的2个数,则可用(x1,x2)表示样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设A=“满足取出的2个数之差的绝对值为2”,则A={(1,3),(2,4)},故所求概率是26=13.
4.在2,4,6,8四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,则“ab是整数”的概率为( )
A.13 B.14 C.23 D.34
答案A
解析在2,4,6,8四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,基本事件总数n=12,ab是整数包含的样本点(a,b)有:(4,2),(6,2),(8,2),(8,4),共4个,则“ab是整数”的概率P=412=13.故选A.
5.假设有2名志愿者医生来自甲医院,有2名志愿者医生来自乙医院,从这4人中任取2人分配新的任务,则两所医院各取一人的概率为( )
A.13 B.23 C.12 D.14
答案B
解析记2名来自甲医院的医生分别为a,b,记2名来自乙医院的医生分别为A,B,设x1,x2分别表示从4人中取的第1个人,第2个人,则可用(x1,x2)表示样本点.从这4人中任取2人,则该试验的样本空间Ω={(a,b),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(A,B)},共6种,设A=“两所医院各取一人”,则A={(a,A),(a,B),(b,A),(b,B)},共4种.因此,两所医院各取一人的概率为P(A)=46=23.
6.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”“手背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出;其他情况,不分胜负.则一次游戏中甲胜出的概率是 .
答案14
解析一次游戏中,甲、乙、丙出的方法种数都有2种,所以总共有8种方案,而甲胜出的样本空间Ω={甲黑乙白丙白,甲白乙黑丙黑},共2种,所以甲胜出的概率为28=14.
7.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率.
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
解(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.设从甲校选出的教师为x1,从乙校选出的教师为x2,则(x1,x2)可表示样本点.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,试验的样本空间Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共9种结果.
设M=“从中选出2名教师性别相同”,则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共4种结果,
所以选出的2名教师性别相同的概率为P=49.
(2)设N=“从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名”,则N={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共15种结果.
设O=“从中选出2名教师来自同一所学校”,则O={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共6种结果,
所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P=615=25.
关键能力提升练
8.投掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次向上的点数小于第二次向上的点数,则我们称其为正试验;若第二次向上的点数小于第一次向上的点数,则我们称其为负试验;若两次向上的点数相等,则我们称其为无效试验.则一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是( )
A.136 B.112 C.16 D.12
答案C
解析连续抛一枚骰子两次向上的点数记为(x,y),则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},
共有36个样本点,设“出现无效试验”为事件A,则A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共6个样本点,则P(A)=636=16.
9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个质数(质数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和,例如:8=3+5,在不超过14的质数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为( )
A.16 B.112 C.114 D.115
答案D
解析不超过14的质数有2,3,5,7,11,13,共6个数,在这6个数中随机选取两个不同的数,可用列举法得出共15种选法,两个数的和等于14的共有(3,11),共有1种选法,所以其和等于14的概率为115.
10.新高考综合改革实施方案将采用“3+1+2”模式,“3”为语文、数学、英语所有学生必考;“1”为必须在物理、历史中选一科;“2”为再选科目,考生须在化学、生物、政治、地理4个科目中任选两科.若不考虑主观因素的影响,选择各科是等可能的,则某同学选择含有地理学科组合的概率为( )
A.14 B.12 C.715 D.815
答案B
解析按照“3+1+2”模式选科具体组合如下:(物理,化学,生物),(物理,化学,地理),(物理,化学,政治),(物理,生物,政治),(物理,生物,地理),(物理,政治,地理),(历史,化学,生物),(历史,化学,地理),(历史,化学,政治),(历史,生物,政治),(历史,生物,地理),(历史,政治,地理),共12种组合,其中含地理学科的组合有6种,所以某同学选择含地理学科组合的概率P=612=12.故选B.
11.(2021江西南昌期末)2021年3月28日,云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》,命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”,其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇.某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选三个去旅游,则其中一个是安宁温泉小镇的概率为( )
A.12 B.23 C.13 D.16
答案A
解析6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇.某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选三个去旅游,样本点共有20个,分别是:(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇),(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,剑川沙溪古镇),(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,瑞丽畹町小镇),(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,德钦梅里雪山小镇),(安宁温泉小镇,禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇),(安宁温泉小镇,禄丰黑井古镇,瑞丽畹町小镇),(安宁温泉小镇,禄丰黑井古镇,德钦梅里雪山小镇),(安宁温泉小镇,剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇),(安宁温泉小镇,剑川沙溪古镇,德钦梅里雪山小镇),(安宁温泉小镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇),(腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇),(腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇,瑞丽畹町小镇),(腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇,德钦梅里雪山小镇),(腾冲银杏小镇,剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇),(腾冲银杏小镇,剑川沙溪古镇,德钦梅里雪山小镇),(腾冲银杏小镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇),(禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇),(禄丰黑井古镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇),(禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇,德钦梅里雪山小镇),(剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇).其中一个是安宁温泉小镇的有10个,则其中一个是安宁温泉小镇的概率为P=1020=12.故选A.
12.(多选题)下列试验是古典概型的是( )
A.在适宜的条件下种一粒种子,种子发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球为白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率
D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言,甲被选中的概率
答案BD
13.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是( )
A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为23
B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14
C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为13
D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为35
答案ABC
解析对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人,则该试验的样本空间Ω={(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙)},共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=23,故A正确;对于B,样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共四种情况,而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种情况,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=14,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为26=13,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是37,故D错误.
14.(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是( )
A.任取2件,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是12
B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16
C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是12
D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16
答案ACD
解析记4件产品分别为1,2,3,a,其中1,2,3表示正品,a表示次品.在A中,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=36=12,A正确;在B中,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,B错误;在C中,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为12,C正确;在D中,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确.
15.从甲、乙、丙、丁四名同学中选两人当班长和副班长,其中甲、乙是男生,丙、丁是女生,则选举结果中至少有一名女生当选的概率是 .
答案56
解析该试验的样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},设A=“没有女生当选”,则A中只包含(甲,乙)1个样本点,故至少一名女生当选的概率为P(A)=1-P(A)=1-16=56.
16.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 .
答案16
解析从2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有3×4=12(个)样本点,其中为整数的只有log28,log39两个,所以其概率P=212=16.
17.(2021安徽六安期末)一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b
解析a,b,c∈{1,2,3},且a,b,c互不相同所组成的三位数的所有可能情况为123,132,213,231,312,321,共6个数,其中是“凹数”的有213,312,共2个数,故所求概率为P=26=13.
18.现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为 .
答案56
解析从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所以该随机试验的样本空间中有12个样本点,样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)}.“A1和B1全被选中”有2个样本点(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),所以“A1和B1不全被选中”共有10个样本点,则A1和A2不全被选中的概率为1012=56.
19.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了 3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
日期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
温差
x/℃
10
11
13
12
8
发芽数
y/颗
23
25
30
26
16
(1)求这5天发芽数的中位数;
(2)求这5天的平均发芽率;
(3)从3月1日至3月5日中任选2天,记前面一天发芽的种子数为m,后面一天发芽的种子数为n,用(m,n)的形式列出所有样本点,并求满足“25≤m≤30,25≤n≤30”的概率.
解(1)因为16<23<25<26<30,所以这5天发芽数的中位数是25.
(2)这5天的平均发芽率为
23+25+30+26+16100+100+100+100+100×100%=24%.
(3)用(x,y)表示所求试验的样本点,则有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个样本点.
记“25≤m≤30,25≤n≤30”为事件A,则A={(25,30),(25,26),(30,26)},共有3个样本点.所以P(A)=310,即事件“25≤m≤30,25≤n≤30”的概率为310.
学科素养创新练
20.(多选题)设集合M={2,3,4},N={1,2,3,4},分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件Ak(3≤k≤8,k∈N*),若事件Ak的概率最大,则k的取值可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案BC
解析由题意,该试验的样本空间Ω={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共12个样本点,则事件A3:点P(m,n)落在直线x+y=3上,包含其中(2,1),共1个样本点,所以P(A3)=112;事件A4:点P(m,n)落在直线x+y=4上,包含其中(2,2),(3,1),共2个样本点,所以P(A4)=16;事件A5:点P(m,n)落在直线x+y=5上,包含其中(2,3),(3,2),(4,1),共3个样本点,所以P(A5)=14;事件A6:点P(m,n)落在直线x+y=6上,包含其中(2,4),(3,3),(4,2),共3个样本点,所以P(A6)=14;事件A7:点P(m,n)落在直线x+y=7上,包含其中(3,4),(4,3),共2个样本点,所以P(A7)=16;事件A8:点P(m,n)落在直线x+y=8上,包含其中(4,4),共1个样本点,所以P(A8)=112.综上可得,当k=5或6时,P(Ak)max=P(A5)=P(A6)=14.
21.(2021山西大同期末)某药厂测试一种新药的疗效,随机选择1 200名志愿者服用此药,结果如下:
治疗效果
病情好转
疗效不时显
病情恶化
人数
800
200
200
现拟采用分层随机抽样的方法从服用此药的1 200名志愿者中抽取6人组成样本,并从这抽出的6人中任意选取3人参加药品发布会,求抽取的3人病情都未恶化的概率.
解采用分层随机抽样的方法,从病情好转的志愿者中抽4人,
从疗效不明显及病情恶化的志愿者中各取1人组成6个人的样本.
将6人中病情恶化的1人用符号A代替,其余5人分别用1,2,3,4,5代替,
则从6人中任意抽取3人的样本点表示如下:(A,1,2),(A,1,3),(A,1,4),(A,1,5),(A,2,3),(A,2,4),(A,2,5),(A,3,4),(A,3,5),(A,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),共20个样本点.
其中没有抽到病情恶化的志愿者的样本点为(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),共10个样本点,
因此抽取的3人中没有病情恶化的志愿者的概率为1020=12.
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