数学10.1 随机事件与概率课后作业题

第十章概率

10.1　随机事件与概率

10.1.4　概率的基本性质

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件次品”,则下列结论正确的是(　　)

A.F与G互斥

B.E与G互斥但不对立

C.E,F,G任意两个事件均互斥

D.E与G对立

答案D

解析由题意得,事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件,故A,C错误;事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G对立,所以B错误,D正确.

2.许洋说:“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A,则A的对立事件为(　　)

A.至多做完三套练习题

B.至多做完两套练习题

C.至多做完四套练习题

D.至少做完两套练习题

答案B

解析至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6,…套练习题,故它的对立事件为做完0,1,2套练习题,即至多做完两套练习题.

3.某产品共有三个等级,分别为一等品、二等品和不合格品.从一箱产品中随机抽取1件进行检测,若“抽到一等品”的概率为0.65,“抽到二等品”的概率为0.3,则“抽到不合格品”的概率为(　　)

A.0.95 B.0.7 

C.0.35 D.0.05

答案D

解析设事件A为“抽到一等品”,事件B为“抽到二等品”,事件C为“抽到不合格品”,因为事件A与B是互斥事件,所以P(A∪B)=0.65+0.3=0.95,P(C)=1-P(A∪B)=0.05.

4.某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛,甲、乙两个班取得冠军的概率分别为,则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案A

解析“甲班取得冠军”和“乙班取得冠军”是两个互斥事件,该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件,其概率为两个互斥事件的概率之和,即为.

5.从一批羽毛球产品中任取一个,质量小于4.8 g的概率为0.3,质量小于4.85 g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率是　　　　. 

答案0.02

解析从羽毛球产品中任取一个,A=“质量小于4.8 g”,B=“质量在[4.8,4.85)(g)范围内”,C=“质量小于4.85 g”,P(A)=0.3,P(C)=0.32,由P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B),得P(B)=P(C)-P(A)=0.32-0.3=0.02.

6.已知射手甲射击一次,命中9环以上(含9环)的概率为0.5,命中8环的概率为0.2,命中7环的概率为0.1,则甲射击一次,命中6环以下(含6环)的概率为　　　　. 

答案0.2

解析设“命中9环以上(含9环)”为事件A,“命中8环”为事件B,“命中7环”为事件C,“命中6环以下(含6环)”为事件D,则D与A∪B∪C对立,已知P(A)=0.5,P(B)=0.2,P(C)=0.1,又A,B,C三个事件两两互斥,∴P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.8,∴P(D)=1-0.8=0.2.

7.如果事件A与B是互斥事件,且事件A∪B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为　　　　. 

答案0.6

解析依题意得∴P(A)=0.6.

8.国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7~10环的概率如下表所示:

求该射击队员在一次射击中:

(1)命中9环或10环的概率;

(2)至少命中8环的概率;

(3)命中不足8环的概率.

解记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak之间彼此互斥.

(1)设“射击一次,命中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件概率的加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.6.

(2)设“射击一次,至少命中8环”为事件B,那么当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生,由互斥事件概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.

(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C,由于事件C与事件B互为对立事件,故P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.

关键能力提升练

9.已知事件A,B,则(A∪B)∩()表示(　　)

A.必然事件 B.不可能事件

C.A与B恰有一个发生 D.A与B不同时发生

答案C

解析A∪B表示事件A,B至少有1个发生,表示事件A,B至少有一个不发生,∴(A∪B)∩()表示A与B恰有一个发生.

10.若A,B为互斥事件,则(　　)

A.P(A)+P(B)<1 B.P(A)+P(B)>1

C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1

答案D

解析由已知中A,B为互斥事件,由互斥事件概率加法公式可得P(A)+P(B)≤1,当A,B为对立事件时,P(A)+P(B)=1,故选D.

11.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是(　　)

A.A∪B与C是互斥事件,也是对立事件

B.B∪C与D是互斥事件,也是对立事件

C.A∪C与B∪D是互斥事件,但不是对立事件

D.A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件

答案D

解析由于A,B,C,D彼此互斥,且由P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,知A∪B∪C∪D是一个必然事件,故其事件的关系如图所示.

由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件,故只有D中的说法正确.

12.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A∪表示事件B的对立事件)发生的概率为(　　)

A. B. C. D.

答案C

解析由题意知,表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件互斥,由概率的加法计算公式可得P(A∪)=P(A)+P()=.

13.(多选题)下列命题中为真命题的是(　　)

A.若事件A与事件B互为对立事件,则事件A与事件B为互斥事件

B.若事件A与事件B为互斥事件,则事件A与事件B互为对立事件

C.若事件A与事件B互为对立事件,则事件A∪B为必然事件

D.若事件A∪B为必然事件,则事件A与事件B为互斥事件

答案AC

解析对于A,对立事件首先是互斥事件,故A为真命题.对于B,互斥事件不一定是对立事件,故B为假命题.对于C,事件A,B为对立事件,则在一次试验中A,B一定有一个发生,故C为真命题.对于D,事件A∪B表示事件A,B至少有一个要发生,A,B不一定互斥,故D为假命题.

14.现有8名翻译人员,其中A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语、韩语的翻译人员各一人组成一个翻译小组,则B1和C1不全被选中的概率为　　　　. 

答案

解析用列举法可求出样本点总数共18个,若N表示“B1,C1不全被选中”这一事件,则表示“B1,C1全被选中”这一事件,由于由(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)3个样本点组成,∴P()=,∴P(N)=1-P()=.

15.抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,则P(A∪B)=　　　　. 

答案

解析将事件A∪B分成“出现1,2,3”和“出现5”这两个事件,记“出现1,2,3”为事件C,“出现5”为事件D,则C与D两个事件互斥,所以P(A∪B)=P(C∪D)=P(C)+P(D)=.

16.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是　　　　,任取出2粒恰好不同色的概率是　　　　. 

答案

解析易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件,故所求的概率为.不同色的概率为1-.

17.在一个袋子中放入大小相同的3个白球,1个红球,摇匀后随机摸球.

(1)摸出的球不放回袋中,求第1次或第2次摸出红球的概率;

(2)摸出的球放回袋中,连续摸2次,求第1次或第2次摸出红球的概率.

解(1)记“第1次摸到红球”为事件A,“第2次摸到红球”为事件B.显然A,B为互斥事件,易知P(A)=.

下面计算P(B).记3个白球分别为白1,白2,白3,则不放回地摸两次球的样本点为(白1,白2),(白1,白3),(白1,红),(白2,白1),(白2,白3),(白2,红),(白3,白1),(白3,白2),(白3,红),(红,白1),(红,白2),(红,白3),共12个,第二次摸到红球有3个样本点,所以P(B)=,故第1次或第2次摸到红球的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=.

(2)把第1次,第2次摸球的样本点列举出来,除了上题中列举的12个以外,由于放回,又会增加4个,即(白1,白1),(白2,白2),(白3,白3),(红,红),这样共有16个.

其中第1次摸出红球,第2次摸出不是红球的概率为P1=.

第1次摸出不是红球,第2次摸出是红球的概率为P2=.

两次都是红球的概率为P3=.

所以第1次或第2次摸出红球的概率为P=P1+P2+P3=.

18.(2021青海西宁期末)在某次数学考试中,小江的成绩在90分以上的概率是x,在[80,90]的概率是0.48,在[70,80)的概率是0.11,在[60,70)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.计算:

(1)x的值;

(2)小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率;

(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率.

解(1)分别记小江的成绩在90分以上,[80,90),[70,80),[60,70),60分以下为事件A,B,C,D,E,它们是互斥事件,

由条件得P(A)=x,P(B)=0.48,P(C)=0.11,P(D)=0.09,P(E)=0.07,

由题意得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=1,

∴x=1-0.48-0.11-0.09-0.07=0.25.

(2)小江的成绩在80分及以上的概率为P(A∪B),

P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.25+0.48=0.73.

(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率为

P()=1-P(E)=1-0.07=0.93.

学科素养创新练

19.(2021四川广安期末)口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.65,摸出黄球或白球的概率是0.6,那么摸出白球的概率是　　　　. 

答案0.25

解析口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球,

设红、黄、白球各有a,b,c个,

∵从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.65,

摸出黄球或白球的概率是0.6,

∴

∴=1-0.6=0.4,=1-0.65=0.35,

∴摸出白球的概率是P=1-0.4-0.35=0.25.