高中数学湘教版（2019）必修 第二册5.2 概率及运算课堂检测

绝密★启用前

5.2.1古典概型同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）

1. 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷次，那么第次出现正面向上的概率是

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法不正确的是   

A. 不可能事件的概率是，必然事件的概率是
B. 某人射击次，击中靶心次，则他击中靶心的频率是
C. “直线过点”是必然事件
D. 先后抛掷两枚均匀的硬币，两枚都出现反面的概率是

3. 一个盒子里装有相同大小的黑球个，红球个，白球个，从中任取个，其中白球为，则下列算式中等于的是

A.  B.  C.  D.

4. 据孙子算经中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个为正整数，若按这种方法分橘子，“公”恰好分得个橘子的概率是

A.  B.  C.  D.

5. 甲、乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是   

A.  B.  C.  D. 无法确定

6. 甲，乙两人随意入住两间空房，则甲乙两人各住一间房的概率是

A.  B.  C.  D. 无法确定

7. 假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先用计算器产生到之间的取整数值的随机数，指定，，，表示命中靶心，，，，，，表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了组随机数：

据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为   

A.  B.  C.  D.

8. 已知，，则函数在区间上为增函数的概率是 

A.  B.  C.  D.

9. 袋中有形状、大小都相同且编号分别为，，，，的个球，其中个白球，个红球，个黄球．从中一次随机取出个球，则这个球颜色不同的概率为   

A.  B.  C.  D.

10. 甲、乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组两人参加各小组的可能性相同，则两人参加同一个学习小组的概率为

A.  B.  C.  D.

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

11. 田忌赛马的故事出自司马迁的史记话说齐王，田忌分别有上、中、下等马各一匹赛马规则是：一场比赛需要比赛三局，每匹马都要参赛，且只能参赛一局最后以获胜局数多者为胜记齐王、田忌的马匹分别为，，和，，每局比赛之间都是相互独立的，而且不会出现平局用表示马匹与比赛时齐王获胜的概率，若，，，，，，则一场比赛共有              种不同的比赛方案在上述所有的方案中，有一种方案田忌获胜的概率最大，此概率的值为             ．
12. 天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数．依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现点或点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组．得到的组随机数如下：，，，，，，，，，则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率的近似值是          ；三天中有两天下雨的概率的近似值为          ．
13. 二进制是广泛采用的一种数制，我国古老的易经中就有二进制的思想．二进制数据是用和两个数码来表示的数．它的基数为，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”例如二进制数表示十进制数，现有五个二进制数，其中十进制为偶数的是          ；从中随机选取两个数，它们的和不大于十进制的概率为          ．
14. 盒中有个小球，其中个白球，个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后再放回，此时盒中黑球的个数为，则          ，          ．
15. 一个盒子里有个黑球和个白球，现从盒子里随机每次取出个球，每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数为，则          ，          ．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

16. 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准，日均值在微克立方米以下空气质量为一级；在微克立方米微克立方米之间空气质量为二级；在微克立方米以上空气质量为超标．
    从某自然保护区年全年每天的监测数据中随机地抽取天的数据作为样本，监测值频数如表所示：

从这天的日均值监测数据中，随机抽出天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；

从这天的数据中任取天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列．






 

17. 甲、乙两名运动员互不影响地进行四次射击训练，根据以往的数据统计，他们射击成绩均不低于环成绩环数以整数计，且甲、乙射击成绩环数的分布列如下：

求，的值；

若甲、乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中环的概率；

若两个射手各射击次，记两人所得环数的差的绝对值为，求的分布列和数学期望．






 

18. 世界各国越来越关注环境保护问题，某检测点连续天监视空气质量指数，将这天的数据分为五组，各组对应的区间为并绘制出如图所示的不完整的频率分布直方图．
     

请将频率分布直方图补充完整；

已知空气质量指数在内的空气质量等级为优，在内的空气质量等级为良，分别求这天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数；

在的条件下，在空气质量等级为优和良的天数中，先按分层抽样的方法已经选定了天，然后再从这天中任取两天，求这两天的空气质量等级相同的概率．






 

19. 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得分，出现两次音乐获得分，出现三次音乐获得分，没有出现音乐则扣除分即获得分设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
    设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；
    玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
    玩过这款游戏的许多人都发现若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
    
    
    
    
    
    
     
20. 设关于的一元二次方程．
    若是从，，，四个数中任取的一个数，是从，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
    若是从区间上任取的一个数，是从区间上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
简化模型，只考虑第次出现的结果，有两种结果，第次出现正面朝上只有一种结果，即可求出．
【解答】
解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第次，
有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，
故所求概率为，
故选D．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查概率、随机事件的概率等知识，属基本概念的考查，属于基础题．
根据不可能事件及必然事件的概率可判断，根据频率的概念可判断，根据必然事件的定义可判断，根据古典概型概率求解公式可判断．
【解答】
解：根据不可能事件及必然事件的概率可知显然正确；
根据频率的概念可得：某人射击次，击中靶心次，则他击中靶心的频率是，故B正确；
直线恒过点，所以“直线过点”是必然事件，故C正确；
中先后抛掷两枚均匀的硬币，结果有正、正、正、反、反、正、反、反四种，且每种情况出现的概率相等，根据古典概型概率求解公式可得：先后抛掷两枚均匀的硬币，两枚都出现反面的概率是，故D错误．
故选D．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得和，即可判断式子表示的意义．
本题是一个古典概型问题，可以用组合数表示出所有事件数．
【解答】
解：由题意可知：，
，
表示选个白球或者一个白球都没有取得即，
故答案选：．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】 本题考查等差数列的求和公式，古典概型求概率，属中档题．
根据等差数列前项和公式得出首项与公差的关系，列举得出所有的分配方案，根据分析求概率．
【解答】解：由题意可知等级从低到高的个诸侯所分的橘子个数组成公差为的等差数列，
设“男”分得的橘子个数为，其前项和为，
则，即，且，均为正整数，
若，则，此时，
若，，此时，
若，，此时，
若，，此时，
若，，此时，
若，，此时，
若，，此时，
所以“公”恰好分得个橘子的概率为．
故选B．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了古典概型，属于基础题．
甲乙两人安排入住两间空房，共有种安排方法，其中甲乙各住一间有种安排方法，根据古典概型即可求其概率．
【解答】
解：甲乙两人安排入住两间空房，共有种安排方法，其中甲乙各住一间有种安排方法，
所以甲乙两人各住一间房的概率．
故选A．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
甲，乙两人随意入住两间空房，每人有两种住法，故两人有种住法，且每种住法出现的可能性相等，故为古典概型．只要再计算出甲乙两人各住一间房的住法种数，求比值即可．
本题考查古典概型，属于基础题．
【解答】
解：甲，乙两人随意入住两间空房，每人有两种住法，故两人有种住法，且每种住法出现的可能性相等，
甲乙两人各住一间房的住法有种住法，
由题意其概率为，
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查随机模拟与古典概型的计算问题．属于基础题．
由题意在组随机数中选出表示该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的数，再利用概率公式求解即可．
【解答】
解：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为，，，中的之一，
它们分别是，，，，，，，，，，共个，
因此所求的概率为．
故选A．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查古典概型的计算与应用，属于中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
先求出基本事件总数，再求出函数在区间上为增函数满足条件的基本事件个数，由此能求出函数在区间上为增函数的概率．
【解答】

解：，，
基本事件总数．
函数在区间上为增函数，由条件可知，
当时，，符合条件的只有：，即，；
当时，需要满足，符合条件的有：，，，，共种．
函数在区间上为增函数的概率是．
故选A．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查古典概型的计算与应用，熟练掌握古典概型的计算与应用是解题的关键，是基础题．
由题意，从只球中一次随机摸出只球共有种不同的方法，摸出的只球的颜色不同有种不同的方法，由此根据古典概型公式计算即可．
【解答】
解：总的方法数为，
两球颜色不同的取法数为，
则这个球颜色不同的概率为．
故选D．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．
由题意可得总的可能性为种，符合题意的有种，由概率公式可得．

【解答】

解：甲、乙两人参加学习小组，若以表示甲参加学习小组，乙参加学习小组，
则一共有，，，，，，，，，共种情形，
其中两人参加同一个学习小组的情形共有种，
根据古典概型的概率公式得两人参加同一个学习小组的概率为 ．
故选：．

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考了古典概率模型与数学文化的结合，属于中档题．
列举比赛方案，分别求出田忌三局全胜和恰胜两局的概率，，再求和即可．
【解答】
解：所有的比赛方案有种，即
，，
，，
，
其中采用方案，田忌获胜的概率最大记田忌三局全胜和恰胜两局的概率分别为，，
，
．
所以概率值为．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

先找出组数据中有几组表示天中有天下雨，再利用古典概型的概率公式即可求出结果．
本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题．

【解答】

解：每个骰子有个点数，出现或为下雨天，则每天下雨的概率为，
组数据中，，，表示天中有天下雨，
从得到的组随机数来看，天中有天下雨的有组，则天中有天下雨的概率近似值为：，
故答案为：．

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了进位制的传化方法及古典概率的求法，属基础题．
先把五个二进制数转化为十进制数，再进行判断和利用古典概率公式求概率．
【解答】
解：二进制数表示的十进制数为，
二进制数表示的十进制数为，
二进制数表示的十进制数为，
二进制数表示的十进制数为，
二进制数表示的十进制数为，
所以十进制为偶数的是，
所以从中随机选取两个数有种，它们的和不大于十进制的有种，故概率为．
故答案为；．  

14.【答案】

【解析】解：表示取出的为一个白球，，
表示取出两个黑球，，
表示取出的为一个白球，，
表示取出个球为白球，，
，
故答案为：；．
根据古典概型概率公式求得概率，期望即可．
本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是离散型随机变量的期望与方差，是基础题．
表示取球次，次取白球，前次中有一次取黑球，利用排列组合的方法可求总的基本事件及随机事件中含有的基本事件的个数，从而可求概率，求出要的分布列后求其数学期望．
【解答】
解：的所有可能取值为，，，
表示取球次，次取白球，则，
表示取球次，次取白球，前次中有一次取黑球，则，
，
故E．
故答案是，．  

16.【答案】记“从天的日均值监测数据中，随机抽出天，恰有一天空气质量达到一级”为事件，则．

依据条件，且随机变量的可能取值为，，，．

．

，，

，．

因此的分布列如表所示

【解析】超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：

考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体数的概率分布．

超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．

17.【答案】解：由题意易得，．
记事件：甲命中次环，乙命中次环，
事件：甲命中次环，乙命中次环，
则四次射击中恰有三次命中环为事件，

．
的取值分别为，，，
则，
，
，
的分布列是：

．
 

【解析】本题考查了概率的性质，离散型随机变量的分布列，属于中档题．
根据概率之和等于，求出，的值；
根据相互独立事件的概率公式计算；
求出的各种情况对应的概率，得出分布列和数学期望．
 

18.【答案】解：因为在内的频率为，

所以在内的，

故频率分布直方图补充完整如图所示．

这天中空气质量等级为优的天数为，

空气质量等级为良的天数为；

由可知，选定的天中有天空气质量等级为优，有天为良

分别记为和，

记事件“从这天中任取两天，这两天的空气质量等级相同”为，

则事件包含的基本事件有
 

共有个基本事件，

而从天中任取两天包含的基本事件有
 

共有个基本事件，

从这天中任取两天，这两天的空气质量等级相同的概率．

【解析】 本题考查频率分布直方图，分层随机抽样，古典概型的计算与应用，属于中档题．
根据所给频率分布直方图计算出的频率，从而算出在内的，即可将频率分布直方图补充完整；
根据频率分布直方图可得计算出这天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数；
先利用分层抽样可得选定的天中有天空气质量等级为优，有天为良分别记为和，根据古典概型的概率计算公式可得．
 

19.【答案】解：可能取值有，，，．
则，
，，
故分布列为： 

由知，每盘游戏出现音乐的概率是，
则至少有一盘出现音乐的概率．
由知，每盘游戏获得的分数为的数学期望是．
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．
 

【解析】本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．
设每盘游戏获得的分数为，求出对应的概率，即可求的分布列；
先求每盘游戏出现音乐的概率，然后利用独立重复试验的概率公式即可得到结论．
计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．
 

20.【答案】解：设事件为“方程有实根”，
当，时，方程有实根的充要条件为．
基本事件共有个：，，，，，，，，，，，，
其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值，事件中包含个基本事件，
事件发生的概率为
实验的全部结果所构成的区域为，
构成事件的区域为，
即如图的阴影区域所示，

所以所求的概率为．
 

【解析】本题主要考查古典概型和几何概型相关知识，属于中档题．
列举出所有基本事件，利用古典概型，可求出概率；
画出区域及事件的区域，通过几何概型，可求出概率．