高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体一课一练

第九章统计

9.2　用样本估计总体

9.2.1　总体取值规律的估计　9.2.2　总体百分位数的估计

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.某班学生在一次数学考试中各分数段以及人数的成绩分布为:[0,80),2人;[80,90),6人;[90,100),4人;[100,110),8人;[110,120),12人;[120,130),5人;[130,140),6人;[140,150),2人.则分数在[100,130)中的频数以及频率分别为(　　)

A.25,0.56 B.20,0.56

C.25,0.50 D.13,0.29

答案A

解析由题意知该班总人数为2+6+4+8+12+5+6+2=45,其中成绩在[100,130)的人数为8+12+5=25,故分数在[100,130)中的频数为25,频率为≈0.56.

2.为了了解某学校学生的身体发育情况,抽查了该校100名高中男生的体重情况,根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.根据此图,估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的人数为(　　)

A.300 B.360 C.420 D.450

答案B

解析由题中频率分布直方图,得这100名高中男生体重不小于70.5 kg的频率是(0.04+0.035+0.015)×2=0.18,所以估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的频率是0.18,则估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的人数为2 000×0.18=360.

3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.

根据该折线图,下列结论不正确的是(　　)

A.年接待游客量逐年增加

B.月接待游客量逐月增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳

答案B

解析在A中,年接待游客量逐年增加,故A正确;

在B中,月接待游客量8月份后开始减少,并不是逐月增加,故B错误;

在C中,各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故C正确;

在D中,各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳,故D正确.

4.已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列):

甲组:27,28,39,40,m,50;

乙组:24,n,34,43,48,52.

若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等,则等于(　　)

A. B. 

C. D.

答案A

解析因为×6=1.8,×6=4.8,所以第30百分位数为n=28,第80百分位数为m=48,所以.

5.为了帮助班上的两名贫困生解决经济困难,班上的20名同学捐出了自己的零花钱.他们捐款数(单位:元)如下:19,20,25,30,24,23,25,29,27,27,28,28,26,27,21,30,20,19,22,20.班主任老师准备将这组数据制成频率分布直方图,以表彰他们的爱心.制图时先计算最大值与最小值的差是　　　　　.若取组距为2,则应分成　　　　　组;若第一组的起点定为18.5,则在[26.5,28.5)内的频数为　　　　　. 

答案11　6　5

解析由题意知,极差为30-19=11;因为组距为2,=5.5不是整数,所以取6组;捐款数落在[26.5,28.5)内的有27,27,28,28,27共5个,因此频数为5.

6.统计某校1 000名学生的数学测试成绩,得到样本的频率分布直方图如图所示,规定不低于60分为及格,不低于80分为优秀,则估计及格人数是　　　　　;优秀率是　　　　　. 

答案800　20%

解析及格率是1-(0.005+0.015)×10=0.8,

所以估计及格人数是1 000×0.8=800,优秀率是(0.01+0.01)×10=0.2=20%.

关键能力提升练

7.港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55千米,桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100 km/h.现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查,画出频率分布直方图(如图).根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的频率分别为(　　)

A.85,0.25 B.90,0.35

C.87.5,0.25 D.87.5,0.35

答案D

解析由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数为=87.5,由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90 km/h的频率为(0.05+0.02)×5=0.35,∴由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90 km/h的频率为0.35.

8.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示,估计棉花纤维的长度的样本数据的第80百分位数是(　　)

A.29 mm B.29.5 mm

C.30 mm D.30.5 mm

答案A

解析棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为(0.01+0.01+0.04+0.06+0.05)×5=0.85=85%,在25 mm以下的比例为85%-25%=60%,因此,第80百分位数一定位于[25,30)内,由25+5×=29,可以估计棉花纤维的长度的样本数据的第80百分位数是29 mm.

9.(多选题)已知100个数据的第75百分位数是9.3,则下列说法不正确的是(　　)

A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据

C.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76个数据的平均数

D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第74个数据的平均数

答案ABD

解析因为75×=75为整数,所以第75个数据和76个数据的平均数为第75百分位数,是9.3,则C正确,其他选项均不对,故选ABD.

10.(多选题)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形图如图所示,则(　　)

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数

C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数

D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差

答案BCD

解析由图可得,=6,=6,A项错误,B项正确;甲的成绩的第80百分位数为=7.5,乙的成绩的第80百分位数为=7.5,所以二者相等,所以C项正确;甲的成绩的极差为4,乙的成绩的极差也为4,D项正确.

11.已知30个数据的第60百分位数是8.2,这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8,则第19个数据是　　　　. 

答案8.6

解析由60×=18,设第19个数据为x,则=8.2,解得x=8.6,即第19个数据是8.6.

12.如图是某市2020年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线图,这7天的日最高气温的第10百分位数为　　　　,日最低气温的第80百分位数为　　　　. 

答案24 ℃　16 ℃

解析由折线图可知,把日最高气温按照从小到大排序,得24,24.5,24.5,25,26,26,27,因为共有7个数据,所以7×=0.7,不是整数,所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据,为24 ℃.把日最低气温按照从小到大排序,得12,12,13,14,15,16,17.因为共有7个数据,所以7×=5.6,不是整数,所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据,为16 ℃.

13.某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图,如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩的第70百分位数约为　　　　秒. 

答案16.5

解析设成绩的第70百分位数为x,因为=0.55,=0.85,所以x∈[16,17),所以0.55+(x-16)×=0.70,解得x=16.5.

14.对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图可得:

(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为　　　　; 

(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的85%分位数约为　　　　岁. 

答案(1)0.04　(2)39

解析(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1,解得h=0.04.

(2)由图可知,年龄小于35岁的频率为(0.01+0.04+0.07)×5=0.6,年龄小于40岁的频率为(0.01+0.04+0.07+0.06)×5=0.9,

所以志愿者年龄的85%分位数在[35,40)内,

因此志愿者年龄的85%分位数为35+×5≈39(岁).

学科素养创新练

15.(2021浙江宁波期末)首次实施新高考的八省(市)于2021年1月23日统一举行了新高考适应性考试,在联考结束后,根据联考成绩,考生可了解自己的学习情况,作出升学规划,决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中,某学校为了解高三学生的联考情况,随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本,并按照分数段[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分组,绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)求出图中a的值并估计本次考试及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占比例);

(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数;

(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.

解(1)由(0.004+a+0.013+0.014+0.016)×20=1,得a=0.003,

则及格率为(0.016+0.014+0.003)×20=0.66=66%.

(2)得分在110分以下的学生所占比例为(0.004+0.013+0.016)×20=0.66,

得分在130分以下的学生所占比例为0.66+0.014×20=0.94,

所以第80百分位数位于[110,130)内,

由110+20×=120,

估计第80百分位数为120.

(3)由图可得,众数估计值为100.

平均数估计值为0.08×60+0.26×80+0.32×100+0.28×120+0.06×140=99.6.