高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时练习

4.2.2　等差数列的前n项和公式

第1课时　等差数列的前n项和

必备知识基础练

1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

2.(2021江西景德镇一中高二期中)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=2,a4-a2=2,则S5=(　　)

A.21 B.15 C.10 D.6

3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则an等于 (　　)

A.n B.n2 C.2n+1 D.2n-1

4.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,令bn=(a1+a2+…+an),则数列{bn}的前10项和T10=(　　)

A.70 B.75 C.80 D.85

5.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马,发长安至齐,齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马.问:相逢时良马走了(　　)

A.17天 B.18天 C.15天 D.16天

6.(多选题)在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1等于(　　)

A.-1 B.3 C.5 D.7

7.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则=　　　　　. 

8.为了参加5 000 m长跑比赛,李强给自己制订了10天的训练计划,第1天跑5 000 m,以后每天比前一天多跑400 m,李强10天一共跑了　　　　　m. 

9.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=a5+a6=25.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求等差数列{an}的前n项和Sn.

关键能力提升练

10.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为(　　)

A.765 B.665 C.763 D.663

11.若公差不为0的等差数列{an}的前21项的和等于前8项的和,且a8+ak=0,则正整数k的值为(　　)

A.20 B.21 C.22 D.23

12.已知等差数列{an},a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和等于(　　)

A.30 B.45 C.90 D.186

13.(2020山东,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　　. 

14.已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=.

(1)求证:是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

学科素养创新练

15.若数列{an}是正项数列,且+…+=n2+3n(n∈N*),则an=　　　　　,+…+=　　　　　. 

16.把形如M=mn(m,n∈N*)的正整数M表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和,称作“对M的m项划分”.例如:9=32=1+3+5,称作“对9的3项划分”;把64表示成64=43=13+15+17+19,称作“对64的4项划分”.据此,对324的18项划分中最大的数是　　　　　. 

参考答案

4.2.2　等差数列的前n项和公式

第1课时　等差数列的前n项和

1.D　设{an}的公差为d,则解得所以a7=a1+6d=-3+6×2=9,故选D.

2.C　设等差数列{an}的公差为d,

∵a1+a3=2,a4-a2=2,

∴2a1+2d=2,2d=2,解得a1=0,d=1,则S5=0+×1=10.

3.D　当n=1时,a1=S1=1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,且a1=1适合上式,故an=2n-1(n∈N*).

4.B　∵an=2n+1,

∴数列{an}是等差数列,首项a1=3,其前n项和Sn==n2+2n,∴bn=Sn=n+2,

∴数列{bn}也是等差数列,首项b1=3,公差为1.

∴其前10项和T10=10×3+×1=75,故选B.

5.D　由题意知,良马每天所行路程成等差数列,记为{an},则{an}是以193为首项,以13为公差的等差数列,其前n项和为An,驽马每天所行路程成等差数列,记为{bn},则{bn}是以97为首项,以-为公差的等差数列,其前n项和为Bn,设共用n天二马相逢,则An+Bn≥2×3 000,所以193n+×13+97n+≥6 000,

化简得5n2+227n-4 800≥0,解得n≥16(n∈N*).

6.AB　由题意知a1+(n-1)×2=11,①

Sn=na1+×2=35,②

由①②解得a1=3或a1=-1.

7.4　设等差数列{an}的公差为d.

∵a1≠0,a2=3a1,∴a1+d=3a1,即d=2a1.

∴=4.

8.68 000　将李强每一天跑的路程记为数列{an},由题意知,{an}是等差数列,则a1=5 000,公差d=400.

所以S10=10a1+d=10×5 000+45×400=68 000,故李强10天一共跑了68 000 m.

9.解(1)设公差为d,由S5=a5+a6=25,

得5a1+d=a1+4d+a1+5d=25,

∴a1=-1,d=3.

∴{an}的通项公式为an=3n-4.

(2)由(1)知an=3n-4,得{an}的前n项和为Sn=,则Sn=n2-n.

10.B　这些数构成了一个以2为首项,以7为公差的等差数列{an},则a1=2,d=7,又2+(n-1)×7<100,

∴n<15,

∴当n=14时,S14=14×2+×14×13×7=665.

11.C　设等差数列{an}的前n项和为Sn,由题意,得S21=S8,即a9+a10+…+a21=0.根据等差数列的性质,得13a15=0,即a15=0.故a8+a22=2a15=0,即k=22.故选C.

12.C　由等差数列{an}易得公差d1=3.

又bn=a2n,所以{bn}也是等差数列,公差d2=6.

故S5=b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=5×6+×6=90.

13.3n2-2n　数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列式的新数列{an}为以1为首项,以6为公差的等差数列.

所以{an}的前n项和为Sn=n×1+×6=3n2-2n.

14.(1)证明∵-an=2SnSn-1(n≥2),

∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2).

又Sn≠0(n=1,2,3,…),∴=2.

又=2,

∴是以2为首项,2为公差的等差数列.

(2)解由(1)可知=2+(n-1)·2=2n,∴Sn=.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1==-或当n≥2时,an=-2SnSn-1=-;

当n=1时,S1=a1=.

故an=

15.4(n+1)2　2n2+6n　令n=1,得=4,

∴a1=16.

当n≥2时,+…+=(n-1)2+3(n-1),这个等式与等式+…+=n2+3n左、右两边分别相减,得=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2.

∴an=4(n+1)2.

又n=1时,a1=4(1+1)2=16,满足此式,

∴an=4(n+1)2(n∈N*).

∴=4n+4,∴数列是首项为8,公差为4的等差数列,

∴+…+=2n2+6n.

16.35　设对324的18项划分中最小数为a1,最大数为a18,则由解得

即对324的18项划分中最大的数是35.