人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时当堂检测题

4.2　等差数列

4.2.1　等差数列的概念

第1课时　等差数列的概念及通项公式

必备知识基础练

1.(多选题)下列数列中,是等差数列的有(　　)

A.4,5,6,7,8,… B.3,0,-3,0,-6,…

C.0,0,0,0,… D.,…

2.(2021陕西宝鸡高二期末)在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,则a10=(　　)

A.25 B.28 C.31 D.34

3.在等差数列{an}中,已知a1=,a4+a5=,ak=33,则k=(　　)

A.50 B.49 C.48 D.47

4.在等差数列{an}中,a1=8,a5=2,若在相邻两项之间各插入一个数,使之成等差数列,则新等差数列的公差为(　　)

A. B.- C.- D.-1

5.(多选题)等差数列20,17,14,11,…中的负数项可以是(　　)

A.第7项 B.第8项

C.第9项 D.第10项

6.已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=　　　　　. 

7.已知a>0,b>0,2a=3b=m,且a,ab,b成等差数列,则m=　　　　　. 

8.已知x,y,z成等差数列,求证:x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.

9.已知数列{an},a1=1,an+1=2an+2n.

(1)设bn=,证明:数列{bn}是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

关键能力提升练

10.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是(　　)

A.a6 B.a8 C.a10 D.a12

11.首项为-24的等差数列{an},从第10项开始为正数,则公差d的取值范围是(　　)

A.,3 B.,3

C.,3 D.,3

12.(2022安徽滁州高二联考)在数列{an}中,a4=49,+2,则a7=(　　)

A.121 B.144 C.169 D.196

13.(多选题)(2021山东烟台莱州一中高二月考)数列{an}满足an+1=,a1=1,则下列说法正确的是(　　)

A.数列是等差数列 

B.数列{an}有最小项

C.数列{an}的通项公式为an=2n-1 

D.数列{an}为递减数列

14.已知数列{an}满足+4,且a1=1,an>0,则an=　　　　　. 

15.(2021江苏常州期中)一个直角三角形的三条边的长度成等差数列,则该直角三角形的内角中最小角的余弦值是　　　　　. 

16.已知等差数列{an}:3,7,11,15,….

(1)求等差数列{an}的通项公式.

(2)135,4b+19(b∈N*)是数列{an}中的项吗?若是,是第几项?

(3)若am,at(m,t∈N*)是数列{an}中的项,则2am+3at是数列{an}中的项吗?若是,是第几项?

17.(2021江苏南京第十三中学高二期末)已知数列{an}满足a1=2,(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2).

(1)求a2,a3;

(2)证明数列是等差数列,并求数列{an}的通项公式.

学科素养创新练

18.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.

(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.

(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.

参考答案

4.2　等差数列

4.2.1　等差数列的概念

第1课时　等差数列的概念及通项公式

1.ACD　选项A是以4为首项,以1为公差的等差数列;选项B后一项减前一项的差不是同一个常数,所以不是等差数列;选项C是常数列,所以是等差数列;选项D是以为首项,以为公差的等差数列.

2.B　设公差为d,因为在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,所以2a1+10d=32,a1+d=4,解得a1=1,d=3,

所以a10=a1+9d=28.

3.A　设等差数列{an}的公差为d,

∵a1=,a4+a5=,

∴2a1+7d=,解得d=,则an=+(n-1)×,则ak==33,解得k=50.

4.B　设原等差数列的公差为d,则8+4d=2,

解得d=-,因此新等差数列的公差为-.

5.BCD　易知该数列的首项a1=20,公差d=-3,

∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n,

∴a7=2>0,a8=-1<0.

故数列中的负数项是第8项及其之后的项,故选BCD.

6.-4　设等差数列{an}的公差为d,

由题意a1+d=2(a1+2d)+1,a1+3d=2(a1+2d)+7,

解得a1=-10,d=3,

∴a3=a1+2d=-10+6=-4.

7.　∵a>0,b>0,2a=3b=m≠1,

∴a=,b=.

∵a,ab,b成等差数列,∴2ab=a+b,

∴2×.

∴lg m=(lg 2+lg 3)=lg 6=lg .则m=.

8.证明因为x,y,z成等差数列,所以2y=x+z,而x2(y+z)+z2(y+x)=x2y+x2z+z2y+z2x=x2y+z2y+xz(x+z)=x2y+z2y+2xyz=y(x+z)2=2y2(x+z),故x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.

9.(1)证明因为an+1=2an+2n,

所以+1,

所以=1,n∈N*.

又因为bn=,所以bn+1-bn=1.

所以数列{bn}是等差数列,其首项b1=a1=1,公差为1.

(2)解由(1)知bn=1+(n-1)×1=n,

所以an=2n-1bn=n·2n-1.

10.A　设等差数列{an}的公差为d.

∵4a3=3a2,∴4(a1+2d)=3(a1+d),可得a1+5d=0,

∴a6=0,则{an}中一定为零的项是a6.

11.C　设an=-24+(n-1)d,n∈N*,

由解得<d≤3.

12.C　由+2得=2,因此数列{}为等差数列,所以+2(n-1),

因为a4=49,所以+6=7,解得a1=1,所以an=(2n-1)2,a7=169.

13.AD　因为an+1=,a1=1,

所以=2+,即=2,

所以是首项为1,公差为2的等差数列,故A正确;

=1+2(n-1)=2n-1,则an=,所以an+1-an==-<0,所以数列{an}为递减数列,故D正确,BC错误.故选AD.

14.(n∈N*)　由=4,知数列{}是等差数列,且=1,

∴=1+(n-1)×4=4n-3(n∈N*).

又an>0,∴an=(n∈N*).

15.　设直角三角形的三边为a,b,c,不妨设a<b<c,

根据题意可得2b=a+c,且a2+b2=c2,

∴a2+=c2,即5a2+2ac-3c2=0,则c=a,

又b=a,

∴cos A=.

16.解(1)设等差数列{an}的公差为d.

依题意,得a1=3,d=7-3=4,

故an=3+4(n-1)=4n-1.

(2)令an=4n-1=135,解得n=34,

故135是数列{an}的第34项.∵4b+19=4(b+5)-1,且b∈N*,∴4b+19是数列{an}的第(b+5)项.

(3)∵am,at是数列{an}中的项,

∴am=4m-1,at=4t-1,

∴2am+3at=2(4m-1)+3(4t-1)=4(2m+3t-1)-1.

∵2m+3t-1∈N*,

∴2am+3at是数列{an}的第(2m+3t-1)项.

17.(1)解因为数列{an}满足(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2),所以将n=1代入得3a1=2a2-12.

又a1=2,所以a2=9.将n=2代入得4a2=3a3-24,所以a3=20.

(2)证明将(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2)两边同时除以(n+1)(n+2),

可得,

化简得=2.

所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.

所以=1+2(n-1)=2n-1,

从而an=(n+1)(2n-1)=2n2+n-1.

18.解(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.

从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.

(2)不存在.

理由如下:

由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).

若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,

即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.

于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.

这与{an}为等差数列矛盾,所以不存在λ使{an}是等差数列.