高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第2课时随堂练习题

第2课时　等比数列的性质及应用

必备知识基础练

1.在等比数列{an}中,a2=27,公比q=-,则a5=(　　)

A.-3 B.3 C.-1 D.1

2.已知等比数列{an}中,a3=4,a7=9,则a5=(　　)

A.6 B.-6 C.6.5 D.±6

3.已知公比不为1的等比数列{an}满足a15a5+a14a6=20,若=10,则m=(　　)

A.9 B.10 C.11 D.12

4.(2021天津滨海高二期末)在等比数列{an}中,a1=7,a4=a3a5,则a7=(　　)

A. B. C. D.7

5.在等比数列{an}中,若a7=-2,则该数列的前13项的乘积等于(　　)

A.-213 B.213 C.26 D.-26

6.(多选题)已知数列{an}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为(　　)

A.-36 B.36 C.-36 D.36

7.(2021河南名校联盟高二月联考)已知等比数列{an}的各项均为正数,若a2a9a16=64,则log2a1+log2a2+…+log2a17=　　　　. 

8.在《九章算术》中,“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为　　　　　. 

9.等比数列{an}同时满足下列三个条件:①a1+a6=11;②a3a4=;③三个数a2,,a4+依次成等差数列.试求数列{an}的通项公式.

10.设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求an.

关键能力提升练

11.已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)的值为(　　)

A.-5 B.- C.5 D.

12.某工厂去年产值为a,计划10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第(　　)年这个工厂的产值将超过2a.

A.6 B.7 C.8 D.9

13.在正项等比数列{an}中,a3=2,16=a2a6,则数列{an}的前n项积Tn中最大的值是(　　)

A.T3 B.T4 C.T5 D.T6

14.(2021河南郑州高二期末)已知数列{an}是等比数列,满足a5a11=4a8,数列{bn}是等差数列,且b8=a8,则b7+b9=(　　)

A.24 B.16 C.8 D.4

15.(2021陕西西安八校高二联考)两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn,若=2,则=(　　)

A.512 B.32 C.8 D.2

16.(2021辽宁辽西协作体高二联考)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等比数列,上面3节的容积之积为3升,下面3节的容积之积为9升,则第5节的容积为(　　)

A.2升 B.升 C.3升 D.升

17.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时所有人都没有免疫力的情况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定,假定某种传染病的基本传染数R0=3,那么感染人数由1个初始感染者增加到2 000人大约需要的传染轮数为(　　)

注:初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0+1个人每个人再传染R0个人为第二轮感染.

A.5 B.6 C.7 D.8

18.在各项均为正数的等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,若an-1anan+1=324,则n=　　　　　. 

19.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2a4=4,a1+a2+a3=14,则满足anan+1an+2>的最大正整数n的值为　　　　　　. 

20.在等比数列{an}中,公比q∈(0,1),且满足a3=2,a1a3+2a2a4+a3a5=25.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,当+…+取最大值时,求n的值.

学科素养创新练

21.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上8时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用.

(1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少?

(2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由.

参考答案

第2课时　等比数列的性质及应用

1.C　在等比数列{an}中,a2=27,q=-,

则a5=a2q3=-1.

2.A　由等比数列的性质可得,奇数项的符号相同,

则a5==6.

3.B　依题意,数列{an}是等比数列,且a15a5+a14a6=2=20,所以=10,所以m=10.

4.B　在等比数列{an}中,a1=7,由a4=a3a5=,得a4=1或a4=0(舍去).

由a1a7=,得a7=.

5.A　因为{an}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=,于是该数列的前13项的乘积为a1a2…a13==(-2)13=-213.

6.CD　设{an}的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6==8,因此q3=±2,所以a6+a8=q3(a3+a5)=±36.故选CD.

7.34　由a2a9a16=64得=64,即a9=4.

则log2a1+log2a2+…+log2a17=log2(a1a2…a17)=log2=log2417=34.

8.　设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得石、28石、28q石,∴+28+28q=98,∴q=2或.

又0<q<1,∴q=.

9.解由等比数列的性质知a1a6=a3a4=,所以解得

当时,q=2,所以an=·2n-1,

这时a2+a4+,2,所以a2,,a4+成等差数列,故an=·2n-1.

当时,q=,an=·26-n,a2+a4+≠2,不符合题意.故通项公式an=·2n-1.

10.解设数列{an}的公比为q,则a1>0,q>0,

∵b1+b2+b3=3,∴log2a1+log2a2+log2a3=3,

∴log2(a1a2a3)=3,∴a1a2a3=8,∴a2=2.

∵b1b2b3=-3,∴log2a1·log2a2·log2a3=-3,

∴log2a1·log2a3=-3,∴log2·log2a2q=-3,

即(log2a2-log2q)·(log2a2+log2q)=-3,

即(1-log2q)·(1+log2q)=-3,解得log2q=±2.

当log2q=2时,q=4,a1=,

∴an=×4n-1=22n-3;

当log2q=-2时,q=,a1==8,

∴an=8×=25-2n.

11.A　∵log3an+1=log3an+1,∴=3,

∴数列{an}是等比数列,公比q=3,∴lo(a5+a7+a9)=lo(a2q3+a4q3+a6q3)=lo[(a2+a4+a6)q3]=lo(9×33)=-5.

12.C　设从今年起第n年这个工厂的产值为an,则a1=1.1a,a2=1.12a,…,an=1.1na.依题意,得1.1na>2a,即1.1n>2,解得n≥8.

13.A　依题意,数列{an}是等比数列,所以16=a2a6=,所以q2=.

又因为数列{an}为正项等比数列,所以q=,所以an=a3qn-3=2·43-n=27-2n,令an>1,即27-2n>1,得n<,因为n∈N*,所以n≤3,数列{an}的前n项积Tn中T3最大,故选A.

14.C　∵数列{an}是等比数列,

∴a5a11==4a8,又a8≠0,∴a8=4.

又{bn}是等差数列,b8=a8,∴b7+b9=2b8=2a8=8.

15.A　因为A9=a1a2a3…a9=,B9=b1b2b3…b9=,

所以=9=512.

16.D　(方法1)依题意,竹子自上而下各节的容积成等比数列{an},

则解得a1q=,q3=,

∴第5节的容积为a1q4=a1q·q3=.

(方法2)依题意,竹子自上而下各节的容积成等比数列{an},a1a2a3=3,a7a8a9=9,由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9=(a1a9)(a2a8)(a3a7)==27.

所以a5=.

17.B　设经过第n轮传染,感染人数为an,经过第一轮感染后,a1=1+3=4,经过第二轮感染后,a2=4+4×3=16,于是可以得知经过传染,每一轮感染总人数构成等比数列,所以经过第n轮传染,感染人数为an=4n,所以a5=1 024,a6=4 096,因此感染人数由1个初始感染者增加到2 000人大约需要的传染轮数为6轮.

18.14　设数列{an}的公比为q,由a1a2a3==4与a4a5a6==12,可得=(q3)3,q9=3.

又an-1anan+1==(a2qn-2)3=324,

因此q3n-6=81=34=q36,所以n=14.

19.4　∵a2a4=4=,且a3>0,∴a3=2.

设公比为q,则a1+a2+a3=+2=14,

∴=-3(舍去)或=2,即q=,∴a1==8.

∴an=a1qn-1=8×n-1=n-4,

∴anan+1an+2=3n-9>,即23n-9<9,

∴n的最大值为4.

20.解(1)∵a1a3+2a2a4+a3a5=25,由等比数列的基本性质可得+2a2a4+=25,∴(a2+a4)2=25.

∵a3=2,q∈(0,1),则对任意的n∈N*,可得出an>0,

∴a2+a4=5.

∴解得

因此,an=a1qn-1=8×n-1=24-n.

(2)bn=log2an=log224-n=4-n,则数列{bn}为等差数列,可得Sn=,

∴,则=-,

∴数列为等差数列,则+…+=-n-2+,由n∈N*,可得n=6或n=7时,+…+取得最大值.

21.解(1)设人第n次服药后,药在体内的残留量为an毫克,则a1=220,a2=220+a1×(1-60%)=220×1.4=308,a3=220+a2×(1-60%)=343.2,

即到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留343.2毫克.

(2)由题意,得an+1=220+an,

∴an+1-,

∴是以a1-=-为首项,为公比的等比数列,

∴an-=-,

∵-<0,∴an<=366,

∴an<380.

故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用.