人教版高中数学选择性必修第二册第四章4-1第2课时数列的递推公式习题含答案

第2课时　数列的递推公式

必备知识基础练

1.已知在数列{an}中,a1=2,an+1=an+n(n∈N*),则a4的值为(　　)

A.5 B.6 C.7 D.8

2.(2021河北承德一中高二月考)已知数列{an}的前n项和Sn=,则a6的值等于(　　)

A. B.- C. D.-

3.(2021河南中原名校高三联考)已知数列{an}的前n项和Sn=4n2-10n,则a2a6=(　　)

A.52 B.68 C.96 D.108

4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则a2=(　　)

A.4 B.2 C.1 D.-2

5.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是(　　)

A.2n-1 B.

C.n2 D.n

6.若数列{an}满足an+1=2an-1,且a8=16,则a6=　　　　　. 

7.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,求{an}的通项公式.

关键能力提升练

8.已知数列{an},a1=2,a2=1,an+2=3an+1-an,则a6+a4-3a5的值为(　　)

A.3 B.-2 C.-1 D.0

9.已知数列{an},an+1=,a1=3,则a2 022= (　　)

A. B.3 C.- D.

10.在数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1a2a3…an=n2,则a3+a5等于(　　)

A. B. C. D.

11.(多选题)在无穷数列{an}中,若ap=aq(p,q∈N*),总有ap+1=aq+1,此时定义{an}为“阶梯数列”.设{an}为“阶梯数列”,且a1=a4=1,a5=,a8a9=2,则(　　)

A.a7=1 B.a8=2a4

C.S10=10+3 D.a2 020=1

12.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1an=0(n∈N*),则它的通项公式an=　　　　　. 

13.(2021陕西西安部分学校高二期末)已知数列{an}满足a1=3,a2=8,an+2等于an+1an的个位数,则a4=　　　　　. 

14.已知数列{an}满足an+1=

若a1=,试求a2 021+a2 022.

学科素养创新练

15.(2021河南南阳高二期中)在数列{an}中,a1=,an+1=则a23=(　　)

A. B. C. D.

16.已知数列a1=1,a2,a3,…,an(n∈N*)的法则如下:若an为自然数,则an+1=an-2,否则an+1=an+3,则a6=　　　　　. 

参考答案

第2课时　数列的递推公式

1.D　因为a1=2,an+1=an+n,所以a2=a1+1=2+1=3,a3=a2+2=3+2=5,a4=a3+3=5+3=8.

2.D　a6=S6-S5==-.故选D.

3.B　由题意,可得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14,

所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.

4.A　Sn=2an-2⇒a1=S1=2a1-2⇒a1=2⇒a1+a2=S2=2a2-2⇒a2=4.故选A.

5.D　(方法一　构造法)

由已知整理,得(n+1)an=nan+1,

∴,∴数列是常数列,

且=1,∴an=n.

(方法二　累乘法)

当n≥2时,,

…

,

两边分别相乘,得=n.∵a1=1,∴an=n.

6.　∵an+1=2an-1,∴a8=2a7-1=16,

解得a7=,又a7=2a6-1=,解得a6=.

7.解由题意,得an+1-an=ln,

∴an-an-1=ln(n≥2),

an-1-an-2=ln,

…,

a2-a1=ln,

∴当n≥2时,an-a1=ln·…·=ln n,

∴an=2+ln n(n≥2).

当n=1时,a1=2+ln 1=2,符合上式,

∴an=2+ln n(n∈N*).

8.D　∵an+2=3an+1-an,∴an+2+an=3an+1.

令n=4,得a6+a4=3a5,∴a6+a4-3a5=0.

9.A　由题意,可知:a1=3,

a2==-,

a3=,

a4==3,

a5==-,

….

∴数列{an}是一个以3为最小正周期的周期数列.

∵2 022÷3=674,∴a2 022=a3=.

10.C　由题意a1a2=22,a1a2a3=32,a1a2a3a4=42,a1a2a3a4a5=52,

则a3=,a5=.故a3+a5=.

11.ACD　因为{an}为“阶梯数列”,由a1=a4=1可得a2=a5,a3=a6,a4=a7,a5=a8,a6=a9,…,观察可得a1=a4=a7=…=a3n-2=1(n∈N*),a2=a5=a8=…=a3n-1=(n∈N*),a3=a6=a9=…=a3n(n∈N*),即数列{an}是以3为周期的周期数列,所以a7=1,a8=,故A正确,B错误;

a9==2,S10=(a1+a4+a7+a10)+(a2+a5+a8)+(a3+a6+a9)=10+3,故C正确;

a2 020=a1+3×673=a1=1,故D正确.故选ACD.

12.　把(n+1)-n+an+1an=0分解因式,

得[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0.

∵an>0,∴an+1+an>0,

∴(n+1)an+1-nan=0,∴,

∴·…·×…×(n≥2),∴.

又a1=1,∴an=a1=.

又a1=1也适合上式,∴an=,n∈N*.

13.2　由已知an+2等于an+1an的个位数,又a1=3,a2=8,则a1a2=24,∴a3=4,则a2a3=32,∴a4=2.

14.解∵a1=,

∴a2=2a1-1=,

∴a3=2a2-1=,∴a4=2a3=.

∴数列{an}是周期数列,且周期为3.

∴a2 021+a2 022=a673×3+2+a674×3=a2+a3=.

15.A　由题意可得a1=,a2=a1+1=,a3=|2a2-3|=,a4=a3+1=,a5=|2a4-3|=,a6=,…,则数列{an}是以4为周期的数列,故a23=a3=.

16.1　∵a1=1是自然数,∴a2=a1-2=1-2=-1.

∵a2=-1不是自然数,∴a3=a2+3=-1+3=2.

∵a3=2是自然数,∴a4=a3-2=2-2=0.

∵a4=0是自然数,∴a5=a4-2=0-2=-2.

∵a5=-2不是自然数,∴a6=a5+3=-2+3=1.