全等三角形知识点总结

全等三角形知识点总结一、全等三角形的性质1.全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．提示：（1）全等形的形状相同，大小相等．（2）两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，与图形所在的位置无关．（3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合．2.全等三角形的概念和表示方法（1）全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（2）全等三角形的对应元素：①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角．（3）全等三角形的表示方法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．【拓展】平移、折叠、旋转属于全等变换，都能产生全等图形；由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等；对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等；但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等．【总结】寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：（1）图形特征法：①最长边对最长边，最短边对最短边；②最大角对最大角，最小角对最小角．（2）位置关系法：①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．（3）字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．二、全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）1.判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）（1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．（2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．2.判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS）（1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．（2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【注意】（1）从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．3.判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．（2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．4.判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS）（1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．（2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．5.直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）（1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．（2）“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．6.判定两个三角形全等常用的思路方法如下：三、尺规作图（全等三角形）1.全等三角形的作图方法是根据边边边的定理来进行绘图的；2.作图方法：①画B＇C＇＝BC;②分别以B＇，C＇为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A＇；③连接线段A＇B＇，A＇C＇.3.画等角：根据全等的性质进行绘图四、常见全等模型（平移型、对称型、旋转型）1.平移型：2.对称型：3.旋转型：五、角平分线的性质与判定1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．提示：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．2.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．注意：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．六、尺规作图（角平分线）1.用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；2．分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；3．画射线OC．射线OC即为所求．如图所示：作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）七、常见全等模型（一线三等角模型）1.基础模型：八、常见全等模型（手拉手模型）1.手拉手的一般形式：特点：两个顶角相等并且共顶角顶点的等腰三角形已知：△ABC，△DBE均为等腰三角形，BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE；结论：△ABD≌△CBE2.手拉手的特殊形式：（1）两个共直角顶点的等腰直角三角形已知：△ABC，△DBE均为等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°结论：△ABD≌△CBE（2）两个共顶点的等边三角形已知：△ABC，△DBE均为等边三角形结论：△ABD≌△CBE九、常见全等模型（倍长中线法）1.凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。2.常见模型：十、常见全等模型（截长补短法）1.遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法： 2.截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 3.补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。