数学八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形学案

知识点01  三角形的中位线

1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

注意：

（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.

（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

知识点02  矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

注意：

矩形定义的两个要素：

①是平行四边形；

②有一个角是直角.

即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

知识点03  矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

注意：

（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：

从边看，矩形对边平行且相等；

从角看，矩形四个角都是直角；

从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

知识点04  矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

注意：

在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

知识点05  直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

注意：

（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：

①直角三角形两锐角互余；

②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

导学一：三角形的中位线

重点1 利用三角形中位线定理求线段和角

例1.  如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（       ）

A．11 B．17 C．18 D．16

变式1-1 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP的度数为（　　）

A．10° B．15° C．25° D．40°

变式1-2 如图，在中，，是的中点，过点作的平行线，交于点E，作的垂线交于点，若，且的面积为1，则的长为（　　　）

A． B．5 C． D．10

（例1图）                    （变式1-1 图）                   （变式1-2图 ）

重点2 利用三角形中位线定理求面积

例2.  如图，将△ABC的三边AB，BC，CA分别拉长到原来的两倍，得点D，E，F，已知△DEF的面积为42，则△ABC的面积为（       ）

A．14 B．7 C．6 D．3

变式2-1 如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是（　　）

A．25 B．.30 C．35 D．40

（例2图）       （变式2-1图）

变式2-2 如图，的中位线，把沿折叠，使点落在边上的点处，若、两点之间的距离是，则的面积为______；

重点3 利用三角形中位线定理进行证明

例3.  如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形．

变式3-1 如图，已知：在中，，延长BA到点D，使，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：．

变式3-2 如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．

（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；

（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；

（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．

导学二：矩形的性质

重点1 利用矩形的性质求线段长度

例1.  如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为（       ）

A． B． C． D．

变式1-1 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则的长是（       ）

A． B． C． D．

（例1图）     （变式1-1图）

变式1-2 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（　　）

A．1 B． C．2 D．

重点2 利用矩形的性质求角度

例2.  如图，四边形ABCD是矩形，连接BD，，延长BC到E使CE=BD，连接AE，则的度数为（       ）

A． B． C． D．

变式2-1 将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（       ）

A．125° B．115° C．110° D．120°

变式2-2 如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝________°．

（例2图）                     （变式2-1 图）                    （变式2-2图）

重点3  利用矩形与折叠的性质进行计算

例3.  如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（       ）

A．     B．       C．        D．

变式3-1 将长方形ABCD纸片沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED'=70°，则∠EAB的大小是(     )

A．60° B．50° C．75° D．55°

变式3-2如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为（       ）

A． B． C． D．

变式3-3如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为(       )

A．3     B．4          C．5    D．6

（变式3-1图）                    （变式3-2图）                     （变式3-3）

重点4 直角三角形斜边上的中线的性质的运用

例4.  如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．

变式4-1 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点F是BC的中点，点D是AB的中点，连接AF和DF，若△DBF的周长是11，则AB＝_____．

变式4-2 如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．

（例4图）                （变式4-1图）                    （变式4-2）

重点5 利用矩形的性质进行证明

例5.  在矩形中,点在上,,⊥，垂足为.

（1）求证.

（2）若,且,求.

变式5-1 已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．

导学三：矩形的判定

重点1 利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定

例1.  如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．

变式1 已知：如图，在中，延长至点，使得，连接，交边于点．连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形．

（2）若，求证：四边形是矩形．

重点2 利用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定

例2.  如图，在中，，，垂足为，过点作，且，连接，交于点，连接．求证：四边形为矩形；

变式2 如图，在□ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．若AB＝DB，求证：四边形DFBE是矩形．

重点3  利用有三个角是直角的四边形是矩形进行判定

例3.  如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE

求证：（1）△ABF≌△DCE；    （2）四边形ABCD是矩形．

变式3 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．

难点4 矩形的性质与判定的综合

例4.  如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．

（1）求证：四边形AEBD是矩形；

（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．

变式4 在ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.

1．下列选项中，矩形具有的性质是(　　)

A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角

2．能够判断一个四边形是矩形的条件是（       ）

A．对角线相等     B．对角线垂直    C．对角线互相平分且相等    D．对角线垂直且相等

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE，若△ABC的周长为20cm，则△CDE的周长为（     ）

A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16 cm

4．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是（　　）

A． B．6 C．4 D．5

（题3图）            （题4图）

5．如图，DE是ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（       ）

A．2.5 B．1.5 C．4 D．5

6．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　）

A．12              B．10             C．8                    D．6

7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PEAC于点E，PFBD于点F．若AB=6，BC=8，则PE+PF的值为（       ）

A．10 B．9.6 C．4.8 D．2.4

（题5图）                       （题6图）                 （题7图）

8．如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE。求证：四边形BECD是矩形．

9．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．

（1）求证：AB=AF；

（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．

10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.

求证：（1）△ODE≌△FCE;          （2）四边形OCFD是矩形．