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人教版 八年级下册数学 同步复习 第11讲 变量和函数 讲义
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这是一份人教版 八年级下册数学 同步复习 第11讲 变量和函数 讲义，共18页。
学生/课程
年级
8年级
学科
数学
授课教师
日期
时段
核心内容
变量和函数 （第11讲）
目标导航
课程标准
1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；
2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．
3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．
4. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.
5. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．
知识精讲
知识点01 变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
【注意】：
一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.
【通俗解读】：
常量为数值（或已知数值的字母，如π），变量为不是数值的字母（或不知数值的字母）。找变量和常量，即等式中的数字记为常量，等式中不知数值的字母即为变量。例如，中，常量为π和4，变量为y和x。
知识点02 函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
【注意】：
对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
【通俗解读】：
（1）函数关系，实质是两个变量的等式关系（即一个二元一次方程）；这是二元一次方程的一种转化理解，例如二元一次方程，这个二元一次方程有无数组解，这无数组解的x和y，分别作为平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，那个我们即可得到无数个点，这些点就能连成一条直线，即可得到函数的图像；
（2）两个变量是否是函数关系，定义“对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的y值与其对应”的含义是：在自变量x与因变量y的等式中（即二元一次方程），给定一个x的值，是否只能解得一个y值，如果只能得到一个y值，那么y是x 的函数，如果解得2个或者多个y值，那么y不是x的函数；
例如，，当x=1时，，此种情况即不满足定义“对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的y值与其对应”，因此y不是x的函数；
知识点03 函数值
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
【注意】：
对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
【通俗解读】：
函数值即为自变量x取一个值时，因变量y的值，即函数值表示因变量y的值；
例如：x与y满足，当，函数值即为将代入，得；
知识点04 自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.（当自变量为x时，求使得该等式有意义的x的取值范围）
【注意】：
自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
知识点05 函数的几种表达方式
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
【注意】：
函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
【通俗解读】：
（1）解析式法即为自变量与因变量的等式，即为二元一次方程；图像法即为解二元一次方程的无数组解，将每一组解的x和y作为点的横坐标与纵坐标，描点，即可得出函数图像；
（2）求函数解析式，即求自变量x与因变量y的等式，即列出一个二元一次方程，因变量放在等式左侧（系数为1），其他项放在等式右侧；
知识点06 函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
【注意】：
由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
能力拓展
导学一：变量与函数
重点1 常量与变量
例1. 指出下列问题中的变量和常量：
（1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为吨，月应交水费为y元．
（2）某地手机通话费为0.2元/．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为，话费卡中的余额为w元．
（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为．
（4）把10本书随意放入两个抽昼（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．
变式1-1 下列关于圆的面积S与半径R之间的关系式S中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）
A．S，是变量，是常量 B．S，，R是变量，2是常量
C．S，R是变量，是常量 D．S，R是变量，和2是常量
变式1-2 一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（ ）
A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量
重点点拨：
判断一个量是常量还是变量的方法：看这个量在变化过程中数值是否发生变化，若变化则是变量.若不变则是常量.
重点2 函数的概念
例2. 下列变量之间的关系中，是函数关系的有（ ）．
（1）三角形的面积与底边长；(2)多边形的内角和与边数；（3）圆的面积与半径；（4）y=2020x+365中y与x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2-1 下列式子中，不是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式2-2 下列等式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中是的函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
重点点拨：
判断一个关系是不是函数关系的方法：（1）看是否在一个变化过程中；（2）看是否存在两个变量；（3）看其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应.若同时满足以上三个条件，则是函数关系.
重点3 自变量的取值范围
例3. 函数y=的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
变式3-1 函数中，自变量的取值范围是_____．
变式3-2 函数中自变量x的取值范围是______．
重点点拨：
（1） 当用函数关系表示实际问题时，自变量的取值不仅要使函数关系式有意义，还应该使实际问题有意义.
（2） 当函数关系式中有分式、二次根式、零次幂等情况，自变量的取值范围一定要满足每一种情况.
重点4 函数解析式
例4. 某商店进了一批玩具，出售时要在进价的基础上加一定的利润，其销售个数x与售价y如下表：
个数x/个
1
2
3
4
…
售价y/元
8+0.3
16+0.6
24+0.9
32+1.2
…
下列用销售个数x表示售价y的关系式中，正确的是 ( )
A．y=(8+0.3)x B．y=8x+0.3 C．y=8+0.3x D．y=8+0.3+x
变式4-1 一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元，设门票的总费用为y元，则y与x的关系式为（ ）．
A． B． C． D．
变式4-2 如图，y与x之间的关系式为（ ）
A．y=x+60 B．y=x+120 C．x=60+y D．y=30+x
重点点拨：
通常函数解析式等号右边的代数式中的变量是自变量，等号左边的变量是因变量.
重点5 函数值
例5. 在关系式中，当自变量时，因变量y的值为（ ）．
A．22 B．25 C．18 D．11
变式5-1 如果一盒圆珠笔有12支，售价18元，用（元）表示圆珠笔的售价，表示圆珠笔的支数，那么与之间的解析式为（ ）.
A． B． C． D．
难点1 识别函数
例6. 下列各曲线表示的y与x的关系中，y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式6 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
重点点拨：
作辅助线识别函数图象：过轴上任意一点作轴的垂线，若与图象有2个或2个以上的交点，则该图象不能表示函数关系.
导学二：函数的图象及其画法
重点1 函数的图象
例1. 洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间函数关系的图象大致为（ ）
A． B．C．D．
变式1-1 下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（ ）
A． B．C．D．
变式1-2 早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途的时间为x，两人之间的距离为y，则下列选项中的图象能大致反映y与x之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
重点点拨：
函数图象上的任意点（x,y）中的x,y都满足函数关系，满足函数关系的任意一对有序实数对（x,y）所对应的点一定在函数的图象上.
重点2 函数图象的画法
例2. 小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数y=的图象与性质．下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成：
（1）函数y=自变量的取值范围是 ；
（2）下表列出了y与x的几组对应值：
x
…
﹣2
﹣
m
﹣
﹣
1
2
…
y
…
1
4
4
1
…
表中m的值是 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的点画出该函数的图象；
（4）结合函数y=的图象，写出这个函数的性质： ．（只需写一个）
变式2 小邱同学根据学习函数的经验，研究函数y＝的图象与性质．通过分析，该函数y与自变量x的几组对应值如下表，并画出了部分函数图象如图所示．
x
1
3
4
5
6
…
y
﹣1
﹣2
﹣3.4
﹣7.5
2.4
1.4
1
0.8
…
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
（2）在图中补全当1≤x＜2的函数图象；
（3）观察图象，写出该函数的一条性质： ；
（4）若关于x的方程＝x+b有两个不相等的实数根，结合图象，可知实数b的取值范围是 ．
重点点拨：
判定点（x,y）是否在函数图象上，只需把x,y的值代入函数的解析式，如果等号左右两边相等，那么这个点就在函数图象上，否则就不在函数图象上.
重点3 函数图象上的点与函数解析式的关系
例3. 下面哪个点不在函数的图像上（ ）．
A．（-2，3） B．（0，-1） C．（1，-3） D．（-1，-1）
变式3-1 画一次函数的图象需要两个点，若已有一个点，则另一个点可以是（ ）
A． B． C． D．
变式3-2 已知一次函数y＝﹣2x+4的图象经过点（m，2），则m＝（ ）
重点点拨：
函数图象上的点与函数解析式的有序实数对是一一对应的关系.
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
重点4 根据情境确定函数图象
例4. 小强所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，先骑了5分钟后，因故停留10分钟，再继续骑了5分钟到家．下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s（千米）与所用时间t（分）之间的关系（ ）
A． B． C． D．
变式4 一列慢车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，慢车的速度为100千米/小时，快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离（千米）与慢车行驶时间（小时）之间函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
重点点拨：
确定函数图象的方法：一般是根据题目的描述，从函数值随着自变量的变化而变化的情况来判断.函数值随着自变量的增大而增大时，图象呈上升趋势，反之呈下降趋势.当自变量变化，函数值不变时，这部分图象与x轴平行.
重点5 从图象中获取信息
例5. 今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．小明中途休息用了20分钟 B．小明在上述过程中所走路程为7200米
C．小明休息前爬山的速度为每分钟60米 D．小明休息前后爬山的平均速度相等
变式5-1 甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地
其中符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式5-2 如图，一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，l1 ，l2分别表示汽车、摩托车离A地的距离s（km）随时间t（h）变化的图象，则下列结论：①摩托车比汽车晚到1 h；②A，B两地的距离为20 km；③摩托车的速度为45 km/h，汽车的速度为60 km/h；④汽车出发1 h后与摩托车相遇，此时距离B地40 km；⑤相遇前摩托车的速度比汽车的速度快．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
重点点拨：
从图象中获取信息首要弄清楚横、纵轴分别表示什么意义，再对问题进行分析.
重点6 动点问题中的函数图象
例6. 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，运点P从点B出发，沿路线作匀速运动，那么△ABP的面积与点P运动的路程之间的函数图象大致是（ ）.
A． B． C．D．
变式6 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
重点点拨：
分析不同阶段的运动过程，确定“拐点”的意义，根据函数图象中给出的数据，结合几何图形的性质解决问题.
导学三：函数的表示方法
重点1 用列表法表示函数关系
例1. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
下列说法一定错误的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为0cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5 cm D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm
变式1-1 张倩同学记录了某天一天的温度变化数据,如下表所示，则温度上升的时段是（ ）
时刻/时
温度
A．时 B．时 C．时 D．时
变式1-2 某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：
支撑物的高度
10
20
30
40
50
60
70
80
小车下滑的时间
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
下列说法错误的是（ ）
A．当时， B．随着逐渐升高，逐渐变小
C．每增加10，减小1.23s D．随着逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
重点点拨：
列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．
重点2 用图象法表示函数关系
例2. 下列各图中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式2-1下列各自线中表示y是x的函数的是（ ）
A．B． C．D．
变式2-2 如图，各图象所反映的是两个变量之间的关系，表示匀速运动的是（ ）
A．（3）（4） B．（2）（3） C．（1）（2） D．（2）（4）
重点点拨：
图象法的优点是直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．
x
1
2
3
4
…
y
3
4
5
6
…
重点3 用解析式法表示函数关系
例3. 观察表格，则变量y与x的关系式为（ ）
A．y=3x B．y=x+2 C．y=x﹣2 D．y=x+1
变式3-1 某地区植树造林2007年达到2万公顷，预计从2008年开始以后每年比前一年多植树1万公顷（2008年为第一年），则年植树面积y（万亩）与年数x（年）的关系是（ ）
A． B． C． D．
变式3-2 表示皮球从高处d落下时，弹跳高度b与下落高度d的关系如下表所示：则d与b之间的关系式为（ ）
下落高度d
…
80
100
150
…
弹跳高度b
…
40
50
75
…
A．b＝d－40 B．b＝ C．b＝d2 D．b＝2d
重点点拨：
解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．
重点4 分段函数及其表示
例4. 时钟在正常运行时，时针和分针的夹角会随着时间的变换而变化，设时针与分针的夹角为y度，运行时间为t分，当时间从3：00开始到3：30止，图中能大致表示y与t之间的函数关系的图象是( )
A． B．C． D．
变式4-1 一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，从正面看到的图形如图所示，小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看成一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器中最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是( )
A． B． C． D．
变式4-2 小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A．B．C．D．
重点点拨：
根据函数图象中给出的数据，结合根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；②要求关于某个具体点，向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标；③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．
重点5 函数与图形面积的综合应用
例5. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示．
（1）求△ABC的面积；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当△ABP的面积为5时，求x的值．
变式5-1 已知动点P以每秒3cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB=8cm，试回答下列问题：（直接写答案）
(1)图甲中的BC长是多少？ (2)图乙中的a是多少？
(3)图甲中的图形面积是多少？ (4)图乙中的b是多少？
变式5-2 如图，长方形ABCD中，AB=2cm，BC=3cm，P，Q两动点同时从点B出发，点P沿BA→AD以1cm/s的速度向终点D匀速运动，点Q沿BC→CD以1cm/s的速度向终点D匀速运动．设点P的运动时间为t(s)，△BPQ的面积为S(cm2)．
(1)填空：点P的运动时间为________；
(2)用含的式子表示，并直接写出的取值范围．
重点点拨：
函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型问题，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义．
分层提分
1．在球的体积公式中，下列说法正确的是（ ）
A．、、是变量，为常量 B．、是变量，为常量
C．、是变量，、为常量 D．、是变量，为常量
2．关于变量x，y有如下关系：①x-y=5；②y2=2x；③：y=|x|；④y=．其中y是x函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．一辆汽车从甲地以50 km/h的速度驶往乙地，已知甲地与乙地相距150 km，则汽车距乙地的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数解析式是( )
A．s＝150＋50t(t≥0) B．s＝150－50t(t≤3) C．s＝150－50t(0＜t＜3) D．s＝150－50t(0≤t≤3)
4．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是( )
A． y=-2x+24(0
A．5 B．6 C．7 D．8
6．若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（ ）
A．± B．4 C．±或4 D．4或－
7．函数中自变量x的取值范围是______．
8．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于( )
9.等腰三角形的周长为20cm，设腰长为xcm，底边长为ycm，那么y与x之间的函数解析式是_______，其中自变量x的取值范围是_______．
10．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=8．点P在AB上运动，设PB=x，图中阴影部分的面积为y．
（1）写出阴影部分的面积y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围；
（2）点P在什么位置时，阴影部分的面积等于20？
11．如图在直角梯形中，，，，，，点P，Q同时从点B出发，其中点P以的速度沿着点运动；点Q以的速度沿着点运动，当点Q到达C点后，立即原路返回，当点P到达D点时，另一个动点Q也随之停止运动．
（1）当运动时间时，则三角形的面积为_____；
（2）当运动时间时，则三角形的面积为_____；
（3）当运动时间为时，请用含t的式子表示三角形的面积．
学生/课程
年级
8年级
学科
数学
授课教师
日期
时段
核心内容
变量和函数 （第11讲）
目标导航
课程标准
1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；
2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．
3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．
4. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.
5. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．
知识精讲
知识点01 变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
【注意】：
一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.
【通俗解读】：
常量为数值（或已知数值的字母，如π），变量为不是数值的字母（或不知数值的字母）。找变量和常量，即等式中的数字记为常量，等式中不知数值的字母即为变量。例如，中，常量为π和4，变量为y和x。
知识点02 函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
【注意】：
对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
【通俗解读】：
（1）函数关系，实质是两个变量的等式关系（即一个二元一次方程）；这是二元一次方程的一种转化理解，例如二元一次方程，这个二元一次方程有无数组解，这无数组解的x和y，分别作为平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，那个我们即可得到无数个点，这些点就能连成一条直线，即可得到函数的图像；
（2）两个变量是否是函数关系，定义“对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的y值与其对应”的含义是：在自变量x与因变量y的等式中（即二元一次方程），给定一个x的值，是否只能解得一个y值，如果只能得到一个y值，那么y是x 的函数，如果解得2个或者多个y值，那么y不是x的函数；
例如，，当x=1时，，此种情况即不满足定义“对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的y值与其对应”，因此y不是x的函数；
知识点03 函数值
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
【注意】：
对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
【通俗解读】：
函数值即为自变量x取一个值时，因变量y的值，即函数值表示因变量y的值；
例如：x与y满足，当，函数值即为将代入，得；
知识点04 自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.（当自变量为x时，求使得该等式有意义的x的取值范围）
【注意】：
自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
知识点05 函数的几种表达方式
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
【注意】：
函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
【通俗解读】：
（1）解析式法即为自变量与因变量的等式，即为二元一次方程；图像法即为解二元一次方程的无数组解，将每一组解的x和y作为点的横坐标与纵坐标，描点，即可得出函数图像；
（2）求函数解析式，即求自变量x与因变量y的等式，即列出一个二元一次方程，因变量放在等式左侧（系数为1），其他项放在等式右侧；
知识点06 函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
【注意】：
由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
能力拓展
导学一：变量与函数
重点1 常量与变量
例1. 指出下列问题中的变量和常量：
（1）某市的自来水价为4元/t．现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为吨，月应交水费为y元．
（2）某地手机通话费为0.2元/．李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为，话费卡中的余额为w元．
（3）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，周长为C，圆周率（圆周长与直径之比）为．
（4）把10本书随意放入两个抽昼（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．
变式1-1 下列关于圆的面积S与半径R之间的关系式S中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）
A．S，是变量，是常量 B．S，，R是变量，2是常量
C．S，R是变量，是常量 D．S，R是变量，和2是常量
变式1-2 一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（ ）
A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量
重点点拨：
判断一个量是常量还是变量的方法：看这个量在变化过程中数值是否发生变化，若变化则是变量.若不变则是常量.
重点2 函数的概念
例2. 下列变量之间的关系中，是函数关系的有（ ）．
（1）三角形的面积与底边长；(2)多边形的内角和与边数；（3）圆的面积与半径；（4）y=2020x+365中y与x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2-1 下列式子中，不是的函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式2-2 下列等式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中是的函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
重点点拨：
判断一个关系是不是函数关系的方法：（1）看是否在一个变化过程中；（2）看是否存在两个变量；（3）看其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应.若同时满足以上三个条件，则是函数关系.
重点3 自变量的取值范围
例3. 函数y=的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
变式3-1 函数中，自变量的取值范围是_____．
变式3-2 函数中自变量x的取值范围是______．
重点点拨：
（1） 当用函数关系表示实际问题时，自变量的取值不仅要使函数关系式有意义，还应该使实际问题有意义.
（2） 当函数关系式中有分式、二次根式、零次幂等情况，自变量的取值范围一定要满足每一种情况.
重点4 函数解析式
例4. 某商店进了一批玩具，出售时要在进价的基础上加一定的利润，其销售个数x与售价y如下表：
个数x/个
1
2
3
4
…
售价y/元
8+0.3
16+0.6
24+0.9
32+1.2
…
下列用销售个数x表示售价y的关系式中，正确的是 ( )
A．y=(8+0.3)x B．y=8x+0.3 C．y=8+0.3x D．y=8+0.3+x
变式4-1 一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元，设门票的总费用为y元，则y与x的关系式为（ ）．
A． B． C． D．
变式4-2 如图，y与x之间的关系式为（ ）
A．y=x+60 B．y=x+120 C．x=60+y D．y=30+x
重点点拨：
通常函数解析式等号右边的代数式中的变量是自变量，等号左边的变量是因变量.
重点5 函数值
例5. 在关系式中，当自变量时，因变量y的值为（ ）．
A．22 B．25 C．18 D．11
变式5-1 如果一盒圆珠笔有12支，售价18元，用（元）表示圆珠笔的售价，表示圆珠笔的支数，那么与之间的解析式为（ ）.
A． B． C． D．
难点1 识别函数
例6. 下列各曲线表示的y与x的关系中，y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式6 下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
重点点拨：
作辅助线识别函数图象：过轴上任意一点作轴的垂线，若与图象有2个或2个以上的交点，则该图象不能表示函数关系.
导学二：函数的图象及其画法
重点1 函数的图象
例1. 洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间函数关系的图象大致为（ ）
A． B．C．D．
变式1-1 下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（ ）
A． B．C．D．
变式1-2 早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途的时间为x，两人之间的距离为y，则下列选项中的图象能大致反映y与x之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
重点点拨：
函数图象上的任意点（x,y）中的x,y都满足函数关系，满足函数关系的任意一对有序实数对（x,y）所对应的点一定在函数的图象上.
重点2 函数图象的画法
例2. 小张同学尝试运用课堂上学到的方法，自主研究函数y=的图象与性质．下面是小张同学在研究过程中遇到的几个问题，现由你来完成：
（1）函数y=自变量的取值范围是 ；
（2）下表列出了y与x的几组对应值：
x
…
﹣2
﹣
m
﹣
﹣
1
2
…
y
…
1
4
4
1
…
表中m的值是 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应值为坐标的点，试由描出的点画出该函数的图象；
（4）结合函数y=的图象，写出这个函数的性质： ．（只需写一个）
变式2 小邱同学根据学习函数的经验，研究函数y＝的图象与性质．通过分析，该函数y与自变量x的几组对应值如下表，并画出了部分函数图象如图所示．
x
1
3
4
5
6
…
y
﹣1
﹣2
﹣3.4
﹣7.5
2.4
1.4
1
0.8
…
（1）函数y＝的自变量x的取值范围是 ；
（2）在图中补全当1≤x＜2的函数图象；
（3）观察图象，写出该函数的一条性质： ；
（4）若关于x的方程＝x+b有两个不相等的实数根，结合图象，可知实数b的取值范围是 ．
重点点拨：
判定点（x,y）是否在函数图象上，只需把x,y的值代入函数的解析式，如果等号左右两边相等，那么这个点就在函数图象上，否则就不在函数图象上.
重点3 函数图象上的点与函数解析式的关系
例3. 下面哪个点不在函数的图像上（ ）．
A．（-2，3） B．（0，-1） C．（1，-3） D．（-1，-1）
变式3-1 画一次函数的图象需要两个点，若已有一个点，则另一个点可以是（ ）
A． B． C． D．
变式3-2 已知一次函数y＝﹣2x+4的图象经过点（m，2），则m＝（ ）
重点点拨：
函数图象上的点与函数解析式的有序实数对是一一对应的关系.
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
重点4 根据情境确定函数图象
例4. 小强所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，先骑了5分钟后，因故停留10分钟，再继续骑了5分钟到家．下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离s（千米）与所用时间t（分）之间的关系（ ）
A． B． C． D．
变式4 一列慢车从甲地驶往乙地，一列快车从乙地驶往甲地，慢车的速度为100千米/小时，快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离（千米）与慢车行驶时间（小时）之间函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
重点点拨：
确定函数图象的方法：一般是根据题目的描述，从函数值随着自变量的变化而变化的情况来判断.函数值随着自变量的增大而增大时，图象呈上升趋势，反之呈下降趋势.当自变量变化，函数值不变时，这部分图象与x轴平行.
重点5 从图象中获取信息
例5. 今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间，设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．小明中途休息用了20分钟 B．小明在上述过程中所走路程为7200米
C．小明休息前爬山的速度为每分钟60米 D．小明休息前后爬山的平均速度相等
变式5-1 甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地
其中符合图象描述的说法有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式5-2 如图，一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，l1 ，l2分别表示汽车、摩托车离A地的距离s（km）随时间t（h）变化的图象，则下列结论：①摩托车比汽车晚到1 h；②A，B两地的距离为20 km；③摩托车的速度为45 km/h，汽车的速度为60 km/h；④汽车出发1 h后与摩托车相遇，此时距离B地40 km；⑤相遇前摩托车的速度比汽车的速度快．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
重点点拨：
从图象中获取信息首要弄清楚横、纵轴分别表示什么意义，再对问题进行分析.
重点6 动点问题中的函数图象
例6. 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，运点P从点B出发，沿路线作匀速运动，那么△ABP的面积与点P运动的路程之间的函数图象大致是（ ）.
A． B． C．D．
变式6 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
重点点拨：
分析不同阶段的运动过程，确定“拐点”的意义，根据函数图象中给出的数据，结合几何图形的性质解决问题.
导学三：函数的表示方法
重点1 用列表法表示函数关系
例1. 弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系：
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
下列说法一定错误的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为0cm
C．物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5 cm D．所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm
变式1-1 张倩同学记录了某天一天的温度变化数据,如下表所示，则温度上升的时段是（ ）
时刻/时
温度
A．时 B．时 C．时 D．时
变式1-2 某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据：
支撑物的高度
10
20
30
40
50
60
70
80
小车下滑的时间
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
下列说法错误的是（ ）
A．当时， B．随着逐渐升高，逐渐变小
C．每增加10，减小1.23s D．随着逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
重点点拨：
列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．
重点2 用图象法表示函数关系
例2. 下列各图中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式2-1下列各自线中表示y是x的函数的是（ ）
A．B． C．D．
变式2-2 如图，各图象所反映的是两个变量之间的关系，表示匀速运动的是（ ）
A．（3）（4） B．（2）（3） C．（1）（2） D．（2）（4）
重点点拨：
图象法的优点是直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．
x
1
2
3
4
…
y
3
4
5
6
…
重点3 用解析式法表示函数关系
例3. 观察表格，则变量y与x的关系式为（ ）
A．y=3x B．y=x+2 C．y=x﹣2 D．y=x+1
变式3-1 某地区植树造林2007年达到2万公顷，预计从2008年开始以后每年比前一年多植树1万公顷（2008年为第一年），则年植树面积y（万亩）与年数x（年）的关系是（ ）
A． B． C． D．
变式3-2 表示皮球从高处d落下时，弹跳高度b与下落高度d的关系如下表所示：则d与b之间的关系式为（ ）
下落高度d
…
80
100
150
…
弹跳高度b
…
40
50
75
…
A．b＝d－40 B．b＝ C．b＝d2 D．b＝2d
重点点拨：
解析式法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．
重点4 分段函数及其表示
例4. 时钟在正常运行时，时针和分针的夹角会随着时间的变换而变化，设时针与分针的夹角为y度，运行时间为t分，当时间从3：00开始到3：30止，图中能大致表示y与t之间的函数关系的图象是( )
A． B．C． D．
变式4-1 一天，小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯，桶和玻璃杯的形状都是圆柱形，桶口的半径是杯口半径的2倍，从正面看到的图形如图所示，小亮决定做个试验：把塑料桶和玻璃杯看成一个容器，对准杯口匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映容器中最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是( )
A． B． C． D．
变式4-2 小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A．B．C．D．
重点点拨：
根据函数图象中给出的数据，结合根据图象读取信息时，要把握住以下三个方面：①横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；②要求关于某个具体点，向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标；③在实际问题中，要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义．
重点5 函数与图形面积的综合应用
例5. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示．
（1）求△ABC的面积；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）当△ABP的面积为5时，求x的值．
变式5-1 已知动点P以每秒3cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示．若AB=8cm，试回答下列问题：（直接写答案）
(1)图甲中的BC长是多少？ (2)图乙中的a是多少？
(3)图甲中的图形面积是多少？ (4)图乙中的b是多少？
变式5-2 如图，长方形ABCD中，AB=2cm，BC=3cm，P，Q两动点同时从点B出发，点P沿BA→AD以1cm/s的速度向终点D匀速运动，点Q沿BC→CD以1cm/s的速度向终点D匀速运动．设点P的运动时间为t(s)，△BPQ的面积为S(cm2)．
(1)填空：点P的运动时间为________；
(2)用含的式子表示，并直接写出的取值范围．
重点点拨：
函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型问题，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义．
分层提分
1．在球的体积公式中，下列说法正确的是（ ）
A．、、是变量，为常量 B．、是变量，为常量
C．、是变量，、为常量 D．、是变量，为常量
2．关于变量x，y有如下关系：①x-y=5；②y2=2x；③：y=|x|；④y=．其中y是x函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．一辆汽车从甲地以50 km/h的速度驶往乙地，已知甲地与乙地相距150 km，则汽车距乙地的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数解析式是( )
A．s＝150＋50t(t≥0) B．s＝150－50t(t≤3) C．s＝150－50t(0＜t＜3) D．s＝150－50t(0≤t≤3)
4．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是( )
A． y=-2x+24(0
A．5 B．6 C．7 D．8
6．若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（ ）
A．± B．4 C．±或4 D．4或－
7．函数中自变量x的取值范围是______．
8．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于( )
9.等腰三角形的周长为20cm，设腰长为xcm，底边长为ycm，那么y与x之间的函数解析式是_______，其中自变量x的取值范围是_______．
10．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=8．点P在AB上运动，设PB=x，图中阴影部分的面积为y．
（1）写出阴影部分的面积y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围；
（2）点P在什么位置时，阴影部分的面积等于20？
11．如图在直角梯形中，，，，，，点P，Q同时从点B出发，其中点P以的速度沿着点运动；点Q以的速度沿着点运动，当点Q到达C点后，立即原路返回，当点P到达D点时，另一个动点Q也随之停止运动．
（1）当运动时间时，则三角形的面积为_____；
（2）当运动时间时，则三角形的面积为_____；
（3）当运动时间为时，请用含t的式子表示三角形的面积．
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