人教版八年级下册18.2.3 正方形导学案

知识点01  正方形的定义

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

注意：

既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.

知识点02  正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；

2.角——四个角都是直角；

3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；

4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.

注意：

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.

知识点03  正方形的判定

正方形的判定除定义外，判定思路有两条：

或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；

或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.

知识点04  特殊平行四边形之间的关系

或者可表示为：

知识点05  顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

注意：

新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.

（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

导学一：正方形的性质

重点1 利用正方形的性质求线段长度

例1.  如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（       ）

A．1 B． C．2 D．

变式1-1 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．

变式1-2 如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是_____．

（例1图）                          （变式1-1 图）                        （变式1-2图）

变式1-3 如图，边长为6的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，交于点，则____________．

重点2 利用正方形的性质求角度

例2.  如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且连接DE，则∠CDE的度数为（       ）

A．20° B．22.5° C．25° D．30°

变式2-1 如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交CD于点P，则∠FPC的度数是______．

变式2-2 如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF=20°，则∠AEF的度数（       ）

A．35° B．40° C．45° D．50°

（例2图）                      （变式2-1 图）                        （变式2-2图）

变式2-3 正方形ABCD中，E为AB上一点，M，N分别在BC，AD上，CE＝MN，∠MCE＝35°，则∠ANM＝______．

重点3  利用正方形的性质解决与面积有关的问题

例3.  如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．

变式3-1 如图，正方形中，垂直于，且，，则阴影部分的面积是　　

A．16 B．18 C．19 D．21

变式3-2 正方形OGHK绕边长为10 cm的正方形ABCD的对角线的交点O旋转到如图所示的位置，则阴影部分的面积为(        )

A．100 cm2 B．75 cm2 C．50 cm2 D．25 cm2

（例3图）                         （变式3-1 图）                    （变式3-2图）

变式3-3 七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知，则图中阴影部分的面积为（          ）

A． B． C． D．

重点4 利用正方形的性质进行证明

例4.  如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且BE＝CF．

求证：（1）AE＝BF；                       （2）AE⊥BF．

变式4-1 如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点．

（1）证明：；             （2）连接，证明：．

变式4-2 如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到．

（1）求证：≌．

（2）若，，求正方形的边长．

导学二：正方形的判定

重点1 添一个条件成正方形

例1.  菱形ABCD添上下列的哪个条件，可证明ABCD是正方形（            ）

A．AC＝BD B．AB＝CD C．BC＝CD D．都不正确

变式1 如图，四边形中，对角线，相交于点，AD//BC，，平分．欲使四边形是正方形，则还需添加添加________（写出一个合适的条件即可）

重点2 正方形的判定

例2.  如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；        （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

变式2-1 如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点.

（1）证明四边形EGFH是平行四边形；（2）若EF⊥BC，且EF=BC，证明平行四边形EGFH是正方形

变式2-2 已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点

（1）求证：△ABM≌△DCM

（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当AD：AB=       _时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）

重点3  正方形的性质和判定综合

例3.  如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， P 为 BD 上的一点，连接 CP，过点 P 作 PF ⊥ CP 交AD 的延长线于点 F，延长 FP 交 AB 于点 E，则下列结论：（1）∠DPF = ∠PCA；（2）BE = DF；（3）点 P 为 EF 的中点；（4） SΔBPE= SΔDCP；（5）若 OP = 2，则 BE = ， 其中正确的结论有_______个．（填正确结论的个数）

变式3 如图．已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG．现有如下3个结论；①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③△BGE的周长是24．其中正确的个数为（　　）

A．0       B．1     C．2    D．3

1．下列命题中，真命题是（ ）．

A．对角线相等的四边形是矩形                  B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形        D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

2．如图，平行四边形,对角线交于点,下列选项错误的是（   ）

A．互相平分                       B．时，平行四边形为矩形

C．时，平行四边形为菱形     D．时，平行四边形为正方形

3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（　　）

A．45° B．15° C．10° D．125°

4．如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（    ）

A． B． C． D．3

（题2图）                           （题3图）                      （题4图）

5．如图，延长正方形ABCD的一边BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（          ）

A． B． C． D．

6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　）

A．4 B．2 C．1 D．

（题5图）                     （题6图）                      （题7图）

8．如图，平面直角坐标系中有一正方形，点的坐标为点坐标为________．

9．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为_____．

10．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，则PE和PA的长度之和最小值为___________．

（题8图）                       （题9图）                        （题10图）

11．如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________．

12．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；

（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：

当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是                ；

当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是                  ；

当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是                 ；

当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是                  ；

（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？

13．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；      （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

14．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC．

(1)求证：四边形FBGH是菱形；             (2)求证：四边形ABCH是正方形．

15．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB

（1）求证：△BCP≌△DCP；               （2）求证：∠DPE=∠ABC；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=　 　度．