初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式学案设计

知识点01  二次根式及代数式的概念

1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

要点诠释：

正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：

（1）              二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“”，我们一般省略根指数2，写作“”。如可以写作。

（2）              二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。

（3）              式子表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，≥0。其中a≥0是有意义的前提条件。

（4）              在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。

（5）              形如b（a≥0）的式子也是二次根式，b与是相乘的关系。要注意当b是分数时不能写成带分数，例如可写成，但不能写成2 。

2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.

列代数式的常用方法：

（1）                            直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。

（2）                            公式法：根据公式列出代数式。

（3）                            探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。

知识点02  二次根式的性质

注意：与的区别与联系：

考法01   二次根式的判断

【典例1】在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【即学即练】（1）下列各式中，不是二次根式的是（　　）

A． B． C．2 D．

（2）下列式子中，一定属于二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

（3）下列各式中，一定是二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

（4）下列各式中，一定是二次根式的个数为（    ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

考法02  二次根式有意义的条件

【典例2】若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【典例3】式子中x的取值范围是（       ）

A．x＞2 B．x≥﹣2 C．x≠2 D．x≥﹣2且x≠2

【典例4】代数式中，自变量x的取值范围是（       ）

A．x＞﹣3且x≠0 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≠﹣3

【典例5】如果，那么的值是______．

【即学即练】（1）若式子有意义，则实数m的取值范围是 

A．        B．且          C．        D．且

考法03  二次根式非负性的逆用

【典例6】如果，则a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【典例7】把根号外的因式移入根号内的结果是（　　）

A． B． C． D．

【即学即练】（1）若， 则x的取值范围是（       ）

A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1

考法04  利用二次根式的非负性化简求值

【典例8】计算：______．

【典例9】已知+（y﹣3）2＝0，则＝_____．

【即学即练】（1）化简______．

（2）若x＜2，化简＝_______________．

（3）化简＝_______________．

（4）已知a、b满足，则的值为______．

（5）若x，y为实数，且y＝＋＋．求－的值．

（6）已知a、b、c为一个等腰三角形的三条边长，并且a、b满足，求此等腰三角形周长．

考法05  利用=｜a｜并结合数轴化简求值

【典例10】计算：______．

【即学即练】化简的结果是（    ）

A． B． C． D．1

【典例11】化简＝_______________．

【即学即练】计算：＝__     _．          ＝__     _．

【典例12】下列各式，哪个是代数式（　　）

A．        B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）        C．y＞0         D．3m+2≠0

【即学即练】（1）下列各式，符合代数式书写规范的是（　　）

A．（a﹣1）×5 B． C． D．m+n元

（2）下列各式中，代数式的个数有（　　）

﹣9，   x+y，    ，    S＝a2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【典例13】如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为______________

【即学即练】（1）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．

（2）如果表示a、b的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|+的结果是_____．

（3）实数a、b在数轴上的位置如图所示化简，的结果为（    ）

A． B． C． D．

（4）实数a、b在数轴上的位置如图所示化简，的结果为（    ）

A． B． C． D．

（5）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：.

（6）若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：．

考法06  利用=｜a｜与三角形三边关系的综合应用

【典例14】已知：a、b、c是△ABC的三边长，化简－＋.

【即学即练】（1）设a，b，c为△ABC的三边，化简： .

（2）如果一个三角形的三边长分别为 1，k，3，则化简：的结果是？

考法07  逆用= a（a≥0）在实数范围内分解因式

【典例15】若是整数，则正整数的最小值是______．

【即学即练】若是正整数，则整数n的最小值为_____________.

【典例15】在实数范围内因式分解2x2﹣3xy﹣y2，下列四个答案中正确的是（　　）

A．（x﹣y）（x﹣y）          B．（x+y）（x+y）

C．2（x﹣y）（x﹣y）         D．2（x+y）（x+y）

【即学即练】（1）下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（　　）

A．x2﹣x﹣m B．x2﹣mx+1 C．x2+x+1 D．x2﹣mx﹣1

（2）下列关于的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（    ）

A．； B．； C．； D．．

（3）在实数范围内分解因式：

   ；                                          ．

题组A  基础过关练

1．在式子中，二次根式有（     ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．使有意义的x的取值范围是（　　）

A．x≤3 B．x＜3 C．x≥3 D．x＞3

3．计算的结果是

A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9

4．已知，则的值为（ ）

A． B． C． D．

5．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（　　）

A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b

6．如果，那么（　　　）

A． B． C． D．

7．已知－2＜m＜3，化简＋|m＋2|的结果是( 　)

A．5 B．1 C．2m－1 D．2m－5

8．在中， ， c为斜边，a. b为直角边，则化简的结果为(     )

A． B．

C． D．2a

9．化简的结果是（       ）

A． B． C． D．1

题组B  能力提升练

1．化简得（             ）．A．2 B． C．－2 D．

2．已知△ABC的三边之长分别为a、1、3，则化简|9-2a|-的结果是（　　）

A．12-4a B．4a-12 C．12 D．-12

3．把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（       ）

A．  B．  C．  D．

4．已知1＜x＜5，化简+|x-5|=____．

5．若＝4－m，则m的取值范围是____________．

6．把的根号外因式移到根号内得____________．

7．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：________．

8．-1的最小值是______．

9．当x=-1时，代数式x2+2x+2的值是__________．

10．在实数范围内因式分解：________．

11.已知，，求：的平方根．