数学八年级上册14.2.1 平方差公式复习练习题

第9讲  乘法公式一平方差公式

 知识点1 平方差公式

平方差公式的特点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

在利用平方差公式进行计算时，先判断式子能否利用平方差公式计算，如果可以，再根据进行乘法计算．

【典例】

1.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　）

A. （﹣a+b）（a﹣b）  B. （x+2）（2+x）  C. （+y）（y﹣）  D. （x﹣2）（x+1）

【方法总结】

平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差．也就是说，左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数．

2.计算（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）时，下列变形中正确的是（　　）

A. [x﹣（2y+1）][x+（2y+1）] B. [x﹣（2y﹣1）][x+（2y﹣1）] 
C. [（x﹣2y）+1][（x﹣2y）﹣1] D. [（x+1）﹣2y][（x+1）+2y]

【方法总结】

平方差公式一般是两数的和与它们的差的积等于这两数的平方差，但这里边的a和b也可以用式子来表示，对于（a-b+c）（a+b-c）这类题而言，我们可以对两个括号内的式子进行变形，目的是拼凑出两个数（或式子）的和与差的乘积形式，观察易得出（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]，这样就变成了a与（b-c）的和与差的乘积，所以可得出

（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]=a2-（b-c）2然后再进行下一步计算.

知识点2 利用平方差公式进行数的运算

在一些计算中，有时利用平方差公式，会使计算量大大减少；

例如98×102，可以利用平方差公式化成98×102=（100-2）×（100+2）=100²-2²=9996．

【典例】

1.20132﹣2011×2015的计算结果是（　　）

A. 2      B. ﹣2      C. 4       D. ﹣4

【方法总结】
此题主要考查了平方差公式，关键是掌握

本题直接计算，计算量很大，观察式子可以发现，题目中给出了20132，所以在对后面的式子进行变形时，尽量凑出2013，那么很容易得出2011=2013-2，2015=2013+2，再利用平方差公式2011×2015=（2013-2）×（2013+2），然后再计算即可．

知识点3 利用平方差公式进行整式的运算

【典例】

1.如果（m+1+n）（m-1+n）=8，那么m+n的值为（　　）

A. ±9     B. ±3     C. 3       D. 9

【方法总结】

通过上边的学习我们知道，对于这种两个三项式相乘，我们可以对两个三项式变形，使他们分别变成两个数（或式子）的和与差相乘的形式，然后再利用平方差公式进行下一步计算，除此之外需要注意，结果是两个数，二者互为相反数.

【随堂练习】

1．（2019春•岱岳区期中）在下列计算中，不能用平方差公式计算的是　　

A． B． 

C． D．

二．填空题（共3小题）

2．（2019•泰州一模）已知，，则　 　．

3．（2019春•合浦县期中）将长为64的绳分成两段，各自围成两个大小不一样的正方形，这两个正方形的边长之差为2，求以这两个正方形边长为长和宽的矩形的面积．　 　．

4．（2019春•郫都区期中）一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则原来这个正方形的边长为　 　．

三．解答题（共5小题）

5．（2019春•鼓楼区校级月考）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，探究归纳出一些方法．

（1）分别化简下列各式：

（2）请你利用上面的结论计算：，写出计算过程．

（3）根据以上计算经验，直接写出结果　　．

6．（2019春•郫都区期中）利用完全平方公式或平方差公式计算

（1）

（2）

7．（2019春•瑶海区期末）计算：．

8．（2019春•莱芜期中）请先观察下列算式，再填空：，．

①　 　；

②　 　；

③　 　；

④　 　　 　；

（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．

（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？

9．（2019春•鼓楼区校级期末）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：

，，；则8、16、24这三个数都是奇特数．

（1）32和2012这两个数是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇数的平方差形式．

（2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？

知识点4 平方差公式—几何背景

平方差公式的证明方法有很多种，其中几何法证明是最常见的一种，也是初中阶段最容易理解的一种．

【典例】

1.如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正形（a＞b），把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（　　）

A. （a+b）（a﹣b）=a2+b2   B. （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2

C. （a+b）2=a2+2ab+b2       D. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

【方法总结】

本题考查了平方差公式的几何背景，认识不同表示方法之间的关系，解题的重要点是利用面积的不变性.

【随堂练习】

1．（2019春•石景山区期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的面积是　　

A． B． C． D．

2．（2018秋•绍兴期末）如图，边长为的正方形纸片剪去一个边长为的正方形之后，余下部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则此长方形的周长是　　

A． B． C． D．

3．（2018秋•綦江区期末）将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于，的恒等式为　　

A． B． 

C． D．

4．（2018秋•番禺区期末）如图，将边长为的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形，若拿掉边长为的小正方形后，再将剩下的三块拼成一个矩形，则这个矩形的面积为　　

A． B． C． D．

5．（2019春•盐都区期中）如图， 在边长为的正方形上剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分剪拼成一个梯形， 分别计算这两个图形阴影部分的面积， 由此可以验证的等式是　　

A ． B ． 

C ． D ．

6．（2019春•沿河县期末）如图甲，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形如图乙，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是　　

A． B． 

C． D．

二．填空题（共2小题）

7．（2019•平谷区一模）如图，从一个边长为的正方形的一角上剪去一个边长为的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是　　（用含，的等式表示）．

8．（2019春•慈溪市期中）根据图①到图②的变化过程可以写出一个整式的乘法公式，这个公式是　 　．

三．解答题（共1小题）

9．（2019春•普宁市期末）阅读学习：

数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到．

如图1，可以求出阴影部分的面积是；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的长是，宽是，比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到恒等式．

（1）观察图3，请你写出，，之间的一个恒等式　　；

（2）根据（1）的结论若，，求出下列各式的值：①；②；

（3）观察图4，请写出图4所表示的代数恒等式：　　．

   综合运用

1.（x+2）（x﹣2）（x2+4）的计算结果是__________

2.若（x﹣ay）（x+ay）=x2﹣16y2，则a=　　．

3.（m+3）（m﹣3）=　 　．

4.计算：（﹣m+n）（﹣m﹣n）=　　．

5.化简（a﹣1）（a+1）（a2+1）﹣（a4﹣1）的结果为___________

6.计算20072﹣2006×2008得_______

7.已知A=99×100×101，B=98×100×102，则A﹣B的值是___________

8.计算（2x﹣3y+1）（2x+3y﹣1）的结果是_________

9.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成为一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，可以验证的等式是___________