人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.2 完全平方公式课时练习

第10讲  乘法公式一完全平方公式

 知识点1 完全平方公式

；，

即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.

【典例】

1.x2﹣4x+m2是一个完全平方式，则m的值是（　　）

A. 2       B . ﹣2    C. 2和﹣2      D. 4

【答案】C.
【解析】解：∵x2﹣4x+m2=x2﹣2×2×x+m2，

∴m2=22，解得m=2或﹣2．

故选：C

【方法总结】

满足的式子是完全平方式，这个三项式中，有两个是数（或式子）的平方，另外一个是这两个数（或式子）的2倍（或2倍的相反数）．

【随堂练习】

知识点2  利用完全平方公式进行数的运算

利用完全平方公式进行数的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式；的掌握情况.

【典例】

1.利用完全平方公式计算1012+992得（　　）

A. 2002    B. 2×1002  C. 2×1002十1     D. 2×1002+2

【答案】D.
【解析】解：1012+992=（100+1）2+（100﹣1）2

=1002+200+1+1002﹣200+1

=2×1002+2．

故选：D

【方法总结】

此题主要考察完全平方公式的实际应用.

；，

即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍.

本题主要是利用完全平方公式进行一些复杂数的运算，它需要把复杂的数变成整百（或整十）和某个数（尽可能小一些）的和或差的形式，再利用公式进行运算.

备注：变形的目的是使计算量尽可能小，基本在口算范畴内的才算基本符合.

知识点3  利用完全平方公式进行整式的运算

利用完全平方公式进行整式的运算是完全平方公式的一种实际应用，

主要考察对公式；的掌握情况.

【典例】

1.已知a﹣=2，则a2+的值为（　　）

A. 3        B. 4       C. 5        D. 6

【答案】D.
【解析】解：把a﹣=2，两边平方得：（a﹣）2=a2+﹣2=4，

则a2+=6．

故选：D

【方法总结】

此题主要考察完全平方公式的运用.

当题干中出现“a+”（或者a - ），问题中出现“a2+”时，一般将a+完全平方，这样就可以得到（a﹣）2= a2+ - 2、（a+）2= a2+ + 2，从而得到a2+的值. 另外，如果题干中出现诸如“a2+a+1=0”的话，对式子“a2+a+1=0”左右两边同除a（由式子易得a≠0），可得到a+1+=0，即a+=-1，从而进行下面的计算.

2.（3x+4y﹣6）2展开式的常数项是多少？

【解析】解：题干是对一个三项式进行平方，可以先对3x+4y﹣6做一个简单的分组，分为3x+4y和-6，这样式子就变成（3x+4y﹣6）2=[（3x+4y）﹣6]2，然后再按照完全平方公式进行计算，计算如下：

（3x+4y﹣6）2

=[（3x+4y）﹣6]2

=（3x+4y）2﹣2（3x+4y）×6+62

=9x2+24xy+16y2﹣36x﹣48y+36，

常数项为36.

【方法总结】

完全平方公式一般是对两个数（或式子）的和（或差）进行平方，但是有时也可以对三项式（或者多项式）进行平方运算，例如(a+b+c) 2，可以根据实际情况对a，b，c进行简单的分组，例如a和b一组，c一组，则式子可变形为[（a+b）+c] 2,然后再利用完全平方公式，可得[（a+b）+c] 2=（a+b）2+c2+2（a+b）c，最后根据具体题意进行其他的计算.

【随堂练习】

1．（2019春•芷江县期末）图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿它的所有对称轴剪开，把它分成四块，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间阴影部分的面积是　　

A． B． C． D．

【解答】解：阴影部分的面积，

故选：．

2．（2019春•余姚市期末）若，则等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

故选：．

3．（2019•云南模拟）若，，则的值为　　

A．2 B．4 C．8 D．16

【解答】解：，，

，

故选：．

4．（2019春•忻城县期中）式子：的运算结果正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：原式，

故选：．

5．（2019春•淮北期中）若，，则　　

A．25 B．17 C．50 D．34

【解答】解：，，

．

故选：．

6．（2019春•东台市期中）下列各式能用完全平方公式计算的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：不能用完全平方公式计算；

不能用完全平方公式计算；

能用完全平方公式计算；

不能用平方差公式计算．

故选：．

7．（2019春•邹平县期中）若，，则的值是　　

A．5 B．21 C．29 D．85

【解答】解：，

，

，，

．

故选：．

二．填空题（共2小题）

8．（2019春•顺德区期末）计算：　　．

【解答】解：．

故答案为：．

9．（2019春•玄武区期末）若，，则的值为　81　．

【解答】解：

．

故答案为81．

知识点4  完全平方公式的应用

【典例】

1.设一个正方形的边长为a cm，若边长增加3cm，则新正方形的面积增加了（　　）

A. 9 cm2       B. 6a cm2     C. （6a+9）cm2  D. 无法确定

【答案】C.
【解析】解：根据题意得：（a+3）2﹣a2=a2+32+6a﹣a2=6a+9，即新正方形的面积增加了（6a+9）cm2，

故选：C

【方法总结】

此题主要考察完全平方公式的实际用，利用完全平方公式来解决一些实际问题.

增加的面积就是用变化后的正方形面积减去变化前正方形的面积，变化后面积是（a+3）2，变化前的面积是a2，两者相减，利用完全平方公式即可计算出结果. 对于面积类问题，我们首先得按照题意列出式子，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.

2.若2a2+4ab+2b2 =18，则（a+b）2﹣4的值为（　　）

A. 15     B. 5        C. 12         D. 10

【答案】B.
【解析】解：∵2a2+4ab+2b2 =18

∴a2+2ab+b2=9

∵（a+b）2= a2+2ab+b2

∴原式=a2+2ab+b2﹣4，

=9﹣4，

=5．

故选：B

【方法总结】

问题当中出现了完全平方，可以先利用完全平方公式展开，然后再根据题干中的条件，进行相应的变形.

3.如图的图形面积由以下哪个公式表示（　　）

A. a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b）    B. （a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

C. （a+b）2=a2+2ab+b2          D. a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）

【答案】C.
【解析】解：根据图形可得出：大正方形面积为：（a+b）2，大正方形面积等于4个小图形的面积和等于a2+b2+ab+ab，

∴可以得到公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．

故选：C

【方法总结】

这类题需要注意一点：不管用什么方法思路计算图形的面积，图形面积始终不变．

2.如图①，把一个长为2m，宽为2n（m＞n）的矩形两次对折后展开，再用剪刀沿图中折痕剪开，把它分成四块完全相同的小矩形，最后按如图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

A. 2m    B. （m+n）2     C. （m﹣n）2    D. m2﹣n2

【答案】C.
【解析】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），

故正方形的面积为（m+n）2，

又∵原矩形的面积为4mn，

∴中间空的部分的面积=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2．

故选：C

【方法总结】

此类题属于利用完全平方公式求图形的面积，这类题，先按照题意列出相应的关系式，然后再利用完全平方公式进行相应的计算即可.

【随堂练习】

1．（2019春•渠县期末）有两个正方形，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形，的面积之和为　　

A．13 B．11 C．19 D．21

【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，

由图甲得即，

由图乙得，，

所以，

故选：．

2．（2018秋•大连期末）把长和宽分别为和的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：阴影部分的面积是：；

4个长方形的面积是：，

验证的等式是：．

故选：．

3．（2018秋•阳东区期末）如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：、因为正方形图案的边长7，同时还可用来表示，

故正确；

、因为正方形图案面积从整体看是49，

从组合来看，可以是，还可以是，

所以有，

即，

所以，

即正确；

、，

故是错误的；

、由可知，故正确．

故选：．

4．（2018秋•无为县期末）如图，两个正方形的边长分别为，，如果，则阴影部分的面积为　　

A．9 B．18 C．27 D．36

【解答】解：，

．

故选：．

5．（2019•南昌模拟）如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：根据题意得：，

故选：．

6．（2019春•醴陵市期末）图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是　　

A． B． C． D．

【解答】解：图1是一个长为，宽为的长方形，

正方形的边长为：，

由题意可得，正方形的边长为，

正方形的面积为，

原矩形的面积为，

中间空的部分的面积．

故选：．

二．填空题（共1小题）

7．（2019春•通州区期末）有一个正方形花园，如果它的边长减少2米，那么花园面积将减小24平方米，请你求出原来花园的面积为　49　平方米．

【解答】解：设正方形花园的边长为米，

根据题意得：，

，

原来花园的面积，

答：原来花园的面积为49平方米；

故答案为：49．

三．解答题（共1小题）

8．（2019春•迁西县期末）请认真观察图形，解答下列问题：

（1）根据图1中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．

方法　　；

方法　　．

（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：　　；

（3）利用（2）中结论解决下面的问题：

如图2，两个正方形边长分别为、，如果，求阴影部分的面积．

【解答】解：（1）由题意可得：方法      方法，

故答案为：，；

（2），

故答案为：；

（3）阴影部分的面积

阴影部分的面积，

，

阴影部分的面积．

   综合运用

1.若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于______

【答案】7或﹣1
【解析】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，

∴m﹣3=±4，

解得：m=7或﹣1，

2.已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a）•（2007﹣a）=   ．

【答案】0
【解析】解：∵（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，

∴（2008﹣a﹣2007+a）2=（2008﹣a）2﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）+（2007﹣a）2

即（2008﹣a﹣2007+a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），

整理得﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）=0，

∴（2008﹣a）（2007﹣a）=0．

3.如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是________

【答案】2a+2
【解析】解：依题意得剩余部分面积为：（a+2）2﹣a2=a2+4a+4﹣a2=4a+4，

∵拼成的矩形一边长为2，

∴另一边长是（4a+4）÷2=2a+2．

4.利用完全平方公式计算：

（1）982   （2）10032．

【解析】解：（1）982=（100﹣2）2，

=10000﹣400+4，

=9604；

（2）10032=（1000+3）2，

=1000000+6000+9，

=1006009．

5.运用完全平方公式计算

（1）（a+b+c）2；   （2）（a+2b﹣1）2；

【解析】解：（1）（a+b+c）2

=（a+b）2+2c（a+b）+c2

=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2；

（2）（a+2b﹣1）2

=（a+2b）2﹣2（a+2b）+1

=a2+4ab+4b2﹣2a﹣4b+1；

6.已知，，求x2+的值．

【解析】解：将x+=9两边平方得：（x+）2=81，

整理得：x2++2=81，

则x2+=79．