初中数学苏科版八年级上册6.4 用一次函数解决问题精练

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苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题10 一次函数图像问题
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·诸暨期末）已知实数m＜1，则一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过的象限是（　　）
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四
【答案】D
【完整解答】解：∵m＜1，
∴m-1＜0，3-m＞0，
∴一次函数y＝（m﹣1）x+3﹣m图象经过第一、二、四象限.
故答案为：D.
【思路引导】根据题意得出m-1＜0，3-m＞0，再根据一次函数的图象和性质即可得出答案.
2．（2分）（2021八上·开化期末）如图，已知点K为直线I：y=2x+4上一点，先将点K向下平移2个单位，再向左平移a个单位至点K1，然后再将点K1向上平移b个单位，向右平1个单位至点K2，若点K2也恰好落在直线l上，则a，b应满足的关系是（　　)

A．a+2b=4 B．2a-b=4 C．2a+b=4 D．a+b=4
【答案】C
【完整解答】解：∵点K为直线l： y=2x+4上一点，设K(x，2x+4)，将点K向下平移2个单位，再向左平移a个单位至点K1 ，
∴K1(x-a，2x+2)，
将点K向上平移b个单位，向右平1个单位至点K2 ，
∴K2(x-a+ 1，2x+2+b)，
∵点K2也恰好落在直线上，
2(x-a+ 1)+4= 2x+2+b，
整理得：2a+b=4.
故答案为：C.

【思路引导】根据点K为直线l： y=2x+4上一点，设K(x， 2x+4)，再根据坐标平移的规则依次表示出出K1和K2的坐标，然后把K 2的坐标代入该一次函数的解析式，整理化简即可得到结果.
3．（2分）（2021八上·南海期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），下列说法正确的是（　　）

A．k＞0，b＜0
B．直线y＝bx+k经过第四象限
C．关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5
D．若（x1，y1），（x2，y2）是直线y＝kx+b上的两点，若x1＜x2，则y1＞y2
【答案】C
【完整解答】解：由一次函数的图象经过一，二，三象限，所以 故A不符合题意；
直线y＝bx+k经过一，二，三象限，故B不符合题意；
直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣5，0），
关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣5，故C符合题意；
若（x1，y1），（x2，y2）是直线y＝kx+b上的两点，而 y随x的增大而增大，
若x1＜x2，则y1＜y2，故D不符合题意；
故答案为：C

【思路引导】根据一次函数的性质、一次函数与方程的关系即可判断。
4．（2分）（2021八上·山亭期末）关于一次函数y= -3x+4图像和性质的描述不正确的是（　　）
A．y 随x的增大而减小
B．直线与x轴交点的坐标是( 0， 4 )
C．当x>0时，y<4
D．直线经过第一、二、四象限
【答案】B
【完整解答】解：∵一次函数中，，
∴y随x的增大而减小，
故A选项符合题意；
又∵，
∴与y轴的交点在x轴的上方，
∴直线经过第一、二、四象限，
故D选项符合题意；
∵当时，，且y随x的增大而减小，
∴当时，，
故C符合题意；
在中令，
解得：，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0），
故B选项不符合题意；
故答案为：B．

【思路引导】根据一次函数的性质和图象逐项判断即可。
5．（2分）（2021八上·永安期末）如图，直线 a⊥b ，在某平面直角坐标系中，x轴 ，y轴 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，则坐标原点为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：设过A、B的直线解析式为y=kx+b，
∵点A的坐标为（-3，2），点B的坐标为（2，-3），
∴ ，
解得 ，
∴直线AB为 ，
∴直线AB经过第二、三、四象限，
如图，由A、B的坐标可知，沿CD方向为x轴正方向，沿CE方向为y轴正方向，

故将点A沿着CD方向平移3个单位，再沿着EC方向平移2个单位，即可到达原点位置，将点B沿着CE方向平移3个单位，再沿着DC方向平移2个单位，即可到达原点位置，
则原点为点O3.
故答案为：C.
【思路引导】利用点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， 求出直线AB为 ，经过第二、三、四象限，再估计坐标轴和原点位置即可.
6．（2分）（2020八上·淳安期中）若点 、 是一次函数 图象上不同的两点，记 ，当 时，a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：
，
∵ ,
∴a+1>0,
∴a>-1.
故答案为：D.

【思路引导】把代入原式，化简再分解因式，根据 ,得出a+1>0, 从而求出a的取值范围.
7．（2分）（2020八上·拱墅期末）甲、乙两位同学住在同一小区，学校与小区相距2700米，一天甲从小区步行出发去学校，12分钟后乙也出发，乙先骑公交自行车，途经学校又骑行一段路到达还车点后，立即步行走回学校。已知步行速度甲比乙每分钟快5米，图中的折线表示甲、乙两人之间的距离y(米)与甲步行时间x（分钟）的函数关系图像，则（　　）

A．乙骑自行车的速度是180米/分
B．乙到还车点时，甲、乙两人相聚850米
C．自行车还车点距离学校300米
D．乙到学校时，甲距离学校200米
【答案】C
【完整解答】解：A、甲步行的速度=960÷12=80米/分，设乙的速度为x, 则（x-80）×（20-12）=960，解得x=200, 不符合题意；
BC、乙步行的速度为：80-5=75（米/分），乙全程：200×（c-12）-75×（31-c）=2700,
解得：c=27， ∴乙骑自行车的路程为: 200×（27-12）=3000（米），自行车还车点距离学校为：3000-2700=300（米），乙到达还车点，乙的路程为3000米，甲步行的路程为：80×27=2160（米），∴此时两人相距：3000-2160=840（米），∴C符合题意，B不符合题意；
D、乙到学校时，甲的路程为：80×31=2480（米），此时甲距离学校：2700-2480=220（米），不符合题意.
故答案为：C.

【思路引导】根据函数图象中的数据可求甲步行的速度，乙骑自行车的速度，乙总共所用的时间，自行车还车点与学校的距离，求出乙到还车点时，甲、乙所用的时间，即可得出路程差，根据乙到学校所用时间为19分，此时甲所用的时间为31分，则可求出甲距离学校的路程.
8．（2分）（2021八上·宝安期末）如图，已知点是一次函数上的一个点，则下列判断正确的是（　　）

A． B．y随x的增大而增大
C．当时， D．关于x的方程的解是
【答案】D
【完整解答】解：A.该一次函数经过一、二、四象限
， y随x的增大而减小，
故A，B不符合题意；
C. 如图，设一次函数与x轴交于点

则当时，，故C不符合题意
D. 将点坐标代入解析式，得
关于x的方程的解是
故D选项符合题意
故答案为：D

【思路引导】根据一次函数的图象、性质和系数的关系及一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可。
9．（2分）（2021八上·吉安期中）对于函数 ，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象必经过点
B．它的图象经过第二、三、四象限
C． 的值随 值的增大而增大
D．当 时，
【答案】D
【完整解答】解：解：A、当x＝−1时，y＝−2×（−1）＋2＝4，
∴函数y＝−2x＋2的图象经过点（−1，4），选项A不符合题意；
B、∵k＝−2＜0，b＝2＞0，
∴函数y＝−2x＋2的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；
C、∵k＝−2＜0，
∴y的值随x值的增大而减小，选项C不符合题意；
D、当y＜0时，−2x＋2＜0，解得：x＞1，
∴当x＞1时，y＜0，选项D符合题意．
故答案为：D．
【思路引导】根据一次函数 的图象与性质对每个选项一一判断即可。
10．（2分）（2020八上·包河期中）A、B两地相距2400米，甲、乙两人从起点A地匀速步行去终点B地，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中，其中正确的结论有（　　）：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【完整解答】解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①符合题意，
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②不符合题意，
乙追上甲用的时间为：16-4=12（分钟），故③不符合题意，
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400-（4+30）×60=360米，故④不符合题意．
故答案为：A．
【思路引导】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否符合题意，从而可以解答本题．
二．填空题（共10小题，满分20分，每题2分）
11．（2分）（2021八上·济南期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是　 　．

【答案】
【完整解答】解：直线y＝x＋b经过点B，将B(3，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得；
直线y＝x＋b经过点A，将A(1，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得；
直线y＝x＋b经过点C，C(2，2)代入直线y＝x＋b中，可得，解得；
故b的取值范围是．
故答案为：

【思路引导】将A(1，1)代入直线y＝x＋b中，将B(3，1)代入直线y＝x＋b中，将C(2，2)代入直线y＝x＋b中，求出b的值，再根据一次函数的增减性，即可得出b的取值范围。
12．（2分）（2021八上·铁西月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为　 　．

【答案】(﹣，2)
【完整解答】∵直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)．
过点C作CE⊥y轴于点E，如图所示．

∵BC＝OC＝OA，
∴OC＝3，OE＝2，
∴CE＝＝，
∴点C的坐标为(﹣，2)．
故答案为(﹣，2)．
【思路引导】利用y＝﹣x+4求出点A(3，0)，点B(0，4)．过点C作CE⊥y轴于点E，可得OC＝OA=3，OE＝OB=2，利用勾股定理求出CE的长，即得点C坐标.
13．（2分）（2021八上·吉安期中）已知一次函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1的图象经过原点，那么m＝　 　．
【答案】-1
【完整解答】解：∵ 的图象经过原点，
∴m2﹣1＝0
∴解得：
又∵函数是一次函数
∴
∴
∴
故答案为：﹣1．
【思路引导】先求出，再求出，最后计算求解即可。
14．（2分）（2020八上·庐阳期末）小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完；销售金额与卖西瓜千克数之间的关系如图所示，那么小李赚了　 　.元.

【答案】36
【完整解答】由图中可知，没有降价前40千克西瓜卖了64元，那么售价为：64÷40=1.6元，
降价0.4元后单价变为1.6-0.4=1.2，钱变成了76元，说明降价后卖了76-64=12元，那么降价后卖了12÷1.2=10千克，
总质量将变为40+10=50千克，那么小李的成本为：50×0.8=40元，赚了76-40=36元，
故答案为：36.

【思路引导】根据图中特殊点的实际意义，首先可以求出西瓜原来的售价和销售金额，然后利用图像信息可以求出后来的销售金额，再结合已知条件即可求出小李赚了多少钱。
15．（2分）（2020八上·全椒期末）如图，点 的坐标为 点坐标为 ，将 沿 轴向右平移后得到 ，点 的对应点 恰好落在直线 上，则点 的坐标是　 　．

【答案】
【完整解答】解：∵点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，
∴点A′的纵坐标是3．
又∵点A′在直线 上，
∴ ，
解得x＝4．
∴点A′的坐标是（4，3），即将 沿 轴向右平移4个单位长度，
∵点B的坐标为（1，2），
∴点 坐标为（5，2），
故答案为（5，2）．

【思路引导】根据平移的性质可得点A'的纵坐标是3，由一次函数图象上点的坐标可以求得点A'的坐标，从而得到平移方式，根据平移方式可得点B'坐标。
16．（2分）（2021八上·枣庄月考）“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子先到达终点；③乌龟比兔子晚出发40分钟；④兔子在760米处追上乌龟．其中正确的说法是　 　．（把你认为正确说法的序号都填上）

【答案】①②
【完整解答】由图像可得，“龟兔再次赛跑”的路程为1000米，
故①符合题意；
由图像可得，乌龟在60分的时候到达终点，兔子在50分的时候到达终点，
∴兔子先到达终点，
故②符合题意；
由图像可得，乌龟0分的时候出发，兔子40分的时候出发，
∴兔子比乌龟晚出发40分钟，
∴③不符合题意；
设y1=k1x+b（k1≠0）（40≤x≤60）．
根据图示知，该直线经过点（40，600），（60，1000），
则，
解得，
所以该函数解析式为y1=20x-200（40≤x≤60），
同理，y2=100x-4000（40≤x≤50），
当y1=y2时，兔子追上乌龟，
此时20x-200=100x-4000，
解得：x=47.5，
∴y1=y2=750米，即兔子在途中750米处追上乌龟．
故④不符合题意．
∴正确的说法是①②．
故答案为：①②．

【思路引导】根据函数图象中的数据，可以直接判断出①②③，再根据函数图象中的数据，可以分别求出得当40≤x≤60时，y1与x的函数关系式和当40≤x≤50时，y2与x的函数关系式，然后理工它们的函数值相等，即可得到兔子在多少米处追上乌龟，从而可以判断④。
17．（2分）（2021八上·包河期中）如果不论k为何值，一次函数y= 的图象都经过一定点， 则该定点的坐标是　 　 ．
【答案】（2，3）
【完整解答】解：将一次函数y= 变形为（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0，
由（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0，
得：（2x-y）k-（x+3y）=k-11．
不论k为何值，上式都成立．
所以2x-y=1，x+3y=11，
解得：x=2，y=3．
即不论k为何值，一次函数（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0的图象恒过（2，3）．
【思路引导】先求出（2x-y）k-（x+3y）=k-11，再求出2x-y=1，x+3y=11，最后求点的坐标即可。
18．（2分）（2021八上·兴化期末）已知正比例函数 的图像经过点 ，点 在正比例函数 的图像上，点 ，且 ，则点 的坐标为　 　．
【答案】 或 .
【完整解答】∵正比例函数 的图像经过点 ，
∴k= ，
∴y= x，

∵ = ＜10，
∴点M不可能在线段AO上，
∴当点M在点A的左上时，
设M（-2a,5a），
∵ ，
∴10= - ，
∴a= ，
∴M（ ， ）；
∴当点M在点O的右下时，
设M（2a,-5a），
∵ ，
∴10= + ，
∴a= ，
∴M（ ， ）；
综上所述，符合题意的M的坐标为（ ， ）或（ ， ）.
故填（ ， ）或（ ， ）.

【思路引导】 先求出正比例函数的解析式，分两种情况讨论，即当点M在点A的左上时，设M（2a,-5a），根据列方程求出a值，得出M点坐标；当点M在点O的右下时，分点M在x轴的下方或上方，根据列方程求出a值，得出M点坐标.
19．（2分）（2020八上·亳州月考）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为2：3，甲、乙两车离AB中点C的路程y（千米）与甲车出发时间t（时）的关系图象如图所示，则下列说法：
（1）A、B两地之间的距离为180千米 （2）乙车的速度为36千米/时（3）a的值为3.75 （4）当乙车到达终点时，甲车距离终点还有30千米；
其中正确的说法是　 　（把正确答案的序号全部写出来）．

【答案】①②③
【完整解答】由图象可得，A、B两地之间的距离为为18×2×5＝36×5＝180（千米），①符合题意；
乙车的速度为：（180÷2＋18）÷3＝（90＋18）÷3＝108÷3＝36（千米/时），②符合题意；
甲车的速度为：（180÷2−18）÷3＝（90−18）÷3＝72÷3＝24（千米/时），a＝180÷2÷24＝90÷24＝3.75，③符合题意；
当乙车到达终点时，甲车距离终点还有180−180÷36×24＝180−5×24＝180−120＝60（千米），故④不符合题意；
故答案为：①②③．

【思路引导】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题。
20．（2分）（2020八上·普陀期中）如图，正方形 ， 边在 轴的正半轴上，顶点 ， 在直线 上，如果正方形 边长是1，那么点 的坐标是　 　．

【答案】
【完整解答】∵正方形 ， 边在 轴的正半轴上，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，CE＝CG＝EF＝GF，AB、CD、CE、FG⊥x轴，
∵顶点 ， 在直线
令y＝1，则x＝2
∴点A（2,1）
∴点E的横坐标为3
将x＝3代入直线 ，得
∴点E、F的纵坐标是
即
∴点F的横坐标为
即点F（ ， ）
故答案为：（ ， ）
【思路引导】根据正方形的性质和一次函数点的坐标进行求解即可。
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（7分）在平面直角坐标系中有两条直线： 和 ，它们的交点为点P，且它们与 轴的交点分别为A、B.
（1）（3分）在同一坐标系中作出两条直线的图象；
（2）（4分）求A、B两点的坐标和△PAB的面积.
【答案】（1）解：如图

（2）解： ，令y=0，知，x=-3，A（-3，0）， ，y=0，x=4，B（4，0），联立方程组： ，解得 ，
所以△PAB面积是
【思路引导】（1）将x、y等于零，代入求出与坐标轴的交点，做出图像。（2）求出的A、B两点的坐标，联立方程组求出交点坐标，找到三角形的底与高，求出△PAB面积。
22．（7分）（2021八上·榆林期末）王亮家距离李刚家6.5千米，星期天王亮骑车去李刚家玩，中途自行车突然“爆胎”，恰好路边有便民服务点，几分钟后车修好了，他加快速度骑车到李刚家.王亮的行驶路程 （千米）与所用时间 （分钟）之间的函数图象如图所示：

（1）（3分）求王亮加速后行驶路程s（千米）与所用时间t（分钟）之间的函数关系式；
（2）（4分）求当王亮距离李刚家1.5千米时，t的值.
【答案】（1）解：设王亮加速后行驶路程s（千米）与所用时间t（分钟）之间的函数关系式；
函数过点（15，2）（30，6.5）代入得：
15m+n=230m+n=6.5 ，
解得： m=0.3n=-2.5 ，
∴王亮加速后行驶路程s（千米）与所用时间t（分钟）之间的函数关系式； ；
（2）解：当王亮距离李刚家1.5千米时 ，王亮已经行驶了6-1.5=5千米，
将s=5代入S=0.3t-2.5得5=0.3t-2.5，解得t=25.
答：当王亮距离李刚家1.5千米时，t的值为25.
【思路引导】（1）设s与t之间的函数关系式为：s=mt+n，将（15，2）、（30，6.5）代入可求出m、n，据此可得s与t的关系式；
（2）当王亮距离李刚家1.5千米时 ，王亮已经行驶了6-1.5=5千米，将s=5代入（1）所求的函数解析式即可算出t的值.
23．（12分）（2021八上·于洪期末）寒假将至，某健身俱乐部面向大中学生推出优惠活动，活动方案如下：
方案一：购买一张学生寒假专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生寒假专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1＝k1x+b；按照方案二所需费用为y2（元），且y2＝k2x．在平面直角坐标系中的函数图象如图所示．

（1）（3分）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）（3分）求k2的值；
（3）（3分）八年级学生小华计划寒假前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．
（4）（3分）小华的同学小琳也计划在该俱乐部健身，若她准备300元的健身费用，最多可以健身多少次？
【答案】（1）解：∵过点（0，30），（10，180），
∴，解得：，
表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
b=30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）解：由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6=25（元），
则k2=25×0.8=20；
（3）解：选择方案一所需费用更少．理由如下：
由题意可知，y1=15x+30，y2=20x．
当健身8次时， 选择方案一所需费用：y1=15×8+30=150（元），
选择方案二所需费用：y2=20×8=160（元），
∵150＜160，
∴选择方案一所需费用更少．
（4）解：当时，
解得：
即小琳选择方案一时，可以健身18次，
当时，则
解得：
即小琳选择方案二时，可以健身15次，

所以小琳最多健身18次.
【思路引导】（1）把点（0，30），（10，180），代入关于k1和b的二元一次方程组，求解即可；
（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出k2的值；
（3）把x=8分别带入到两个函数关系式可得出结论；
（4）把y=300分别带入到两个函数关系式可得出结论。
24．（9分）（2021八上·平阴期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1与y＝－x＋3分别交x轴于点B和点C，点D是直线y＝－x＋3与y轴的交点．

（1）（3分）直接写出点B、C、D的坐标；
（2）（3分）设M(x，y)是直线y＝x＋1在x轴上方图像上一点，△BCM的面积为S，请写出S与x的函数关系式；并探究当点M运动到什么位置时(求出M点坐标即可)，△BCM的面积为10，并说明理由；
（3）（3分）线段CD上是否存在点P，使△CBP为等腰三角形，如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：，
在上，
，
过M作轴于N，

①当M在x轴的上方时，，
；
②当M在x轴的下方时，，
；
把代入得：得：，；
把代入得：，；
或时，；
即S与x的函数关系式是S=52x+52(x>-1)S=-52x-52(x<-1)，点M运动到或时，的面积为10；
（3）存在点P，P点的坐标是或，
【完整解答】解：(1)把代入得：，
，
，
当时，，
，
把代入得：，
，
，
即，，；
(3)，，
，，
在中，
由勾股定理得：，
有三种情况：
①时，此时P与D重合，P的坐标是；
②时，此时P在的垂直平分线上，P的横坐标是，
代入得：，
的坐标是，；
③时，设，
根据勾股定理得：，
解得：或，
在线段上，
（舍去），
当时，与重合，（舍去）；
存在点P，使为等腰三角形，P点的坐标是或，．

【思路引导】（1） 直线y＝x＋1 ，求出y=0时x=-1，可得B的坐标； 由y＝－x＋3 求出x=0时y=3，y=0时x=4，即得C、D的坐标；
（2）由于点M在直线y＝x＋1上，可得 ，过M作轴于N，①当M在x轴的上方时 ， ②当M在x轴的下方时， 根据分别求出S与x的函数关系式 ，然后将s=10分别代入解析式中，求出x值，即得M坐标；
（3）分三种情况：①时，②时，③时，据此分别求解即可.
25．（9分）（2021八上·铁西月考）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．

（1）（3分）求点C的坐标；
（2）（3分）点P是线段OA上的一个动点（点P不与点O，A重合），过点P作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，OC于点D，点E，设点P的横坐标为m．
①求线段PD的长（用含m的代数式表示）；
②当点P，D，E三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的值；
（3）（3分）过点C作CF⊥y轴于点F，点M在线段CF上且不与点C重合，点N在线段OC上，CM＝ON，连接BM，BN，BM+BN是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线与直线交于点C，
∴得方程组：，
解得：，
∴点C的坐标为(4，3)；
（2）解：①点P的横坐标为m，
∵PDy轴，
∴点P、D三点横坐标都为m，
当x=m时，，
∴点D坐标为(m，)，
∴PD=∣∣；
②m=或m=；
（3）解：BM+BN存在最小值，在OA上取点H，使得OH=BC，连接NH，

∵C(4，3)，A(8，0)，B(0，6)，∠AOB=90°
∵AB=10，
∴CF⊥BO，
∴点F坐标为(0，3)，
∴CF垂直平分BO，
∴CB=OC=AC=5，∠BCF=∠OCF，
∴CFAO，
∴∠FCO=∠AOC，
∴∠BCM=∠HON，
∵MC=NO，CB=OH，
∴△BCM≌△HON(SAS)，
∴BM=NH，
∴BM+BN=NH+BN，当NH+BN最小，即B、N、H三点共线时，BM+BN最小，此时最小值=．
【完整解答】（2）②当x=m时，
∴点E坐标为(m，)，
而点P坐标为(m，0)，
第一种情形：点D是PE的中点时，

解得：m=；
第二种情形：点P是DE的中点时，
，
此方程无解，故不成立；
第三种情形：点E是PD的中点时，

解得：m=
综上，m=或m=；
【思路引导】（1）将两直线解析式联立方程组求解，即得交点坐标；
（2）①由PDy轴可得点P、E、D三点横坐标都为m，即得P（m，0）， 点E坐标为(m，)，点D坐标为(m，)， 根据两点间的距离公式即得 PD=∣∣ ；
②分三种情况：点D是PE的中点时或点P是DE的中点时或点E是PD的中点时，根据线段中点的定义分别解答即可；
（3） 在OA上取点H，使得OH=BC，连接NH， 当 B、N、H三点共线时，BM+BN最小，即为BH的长，求出此时BH的长即可.

26．（9分）（2020八上·长宁期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A坐标为 ，将直线 绕点O顺时针旋转45后得到直线 ．

（1）（3分）求直线 的表达式；
（2）（3分）求k的值；
（3）（3分）在直线 上有一点B，其纵坐标为1．若x轴上存在点C，使 是等腰三角形，请直接写出满足要求的点C的坐标．
【答案】（1）解：设直线OA的解析式为y=mx，将点A坐标代入，得
3m=4，
解得m= ，
∴直线OA的解析式为y= x；
（2）解：如图，作AE⊥OA交直线y=kx于E，AD⊥x轴于D，EH⊥AD于H，
∵∠AOE= ，∠OAE= ，

∴∠AEO=∠AOE= ，
∴OA=AE，
∵AD⊥x，EH⊥AD，
∴∠ADO=∠AHE=∠OAE= ，
∴∠OAD+∠HAE=∠HAE+∠AEH= ，
∴∠OAD=∠AEH，
∴△OAD≌△AEH，
∴AH=OD=3，EH=AD=4，
∴HD=1，
∴点E的坐标为（7，1），
将点E的坐标代入y=kx中，得7k=1，
解得k= ；
（3）当△ABC是等腰三角形时，点C的坐标为（ ，0）或（6，0）或（ ，0）
【完整解答】解：（3）∵点B在直线y= x上，纵坐标为1，
∴点B与点E重合，即B（7，1），
∵A（3，4），B（7，1），
∴AB= ，
分三种情况：
①当AC=BC时，作CM⊥AB，则AM=BM，
∴M(5，2.5)，
∵CM∥OA，
∴设直线CM的解析式为y= x+n，
∴ ，
解得n= ，
∴y= x ，
当y=0时， x =0，解得x= ，
∴点C的坐标为（ ，0）；

②当AB=AC=5时，
∵OA=AB，
∴AC=OA，
∴OC=6，
∴点C的坐标为（6，0）；

③当AB=BC=5时，作BN⊥x轴于N，

∵ON=7，BN=1，BC=5，
∴CN= = ，
∴OC=ON+CN= ，
∴点C的坐标为（ ，0），
综上，当△ABC是等腰三角形时，点C的坐标为（ ，0）或（6，0）或（ ，0）．
【思路引导】（1）设 直线OA的解析式为y=mx ，再利用待定系数法把点A代入即可；
（2）关键构建出三角形，再证明两个三角形全等，可以得到对应边相等，即可求出点E的坐标；
（3）本题要注意分情况讨论：①当AC=BC时；②当AB=AC时；③当AB=BC=5时
27．（7分）（2021八上·丹徒期末）如图1，某物流公司恰好位于连接A，B两地的一条公路旁的C处.某一天，该公司同时派出甲、乙两辆货车以各自的速度匀速行驶.其中，甲车从公司出发直达B地；乙车从公司出发开往A地，并在A地用1h配货，然后掉头按原速度开往B地.图2是甲、乙两车之间的距离S（km）与他们出发后的时间x（h）之间函数关系的部分图象.

（1）（1分）由图象可知，甲车速度为　 　km/h；乙车速度为　 　km/h；
（2）（5分）已知最终甲、乙两车同时到达B地.
①从乙车掉头到乙车到达B地的过程中，求S与x的函数表达式以及关于x的取值范围，并在图2中补上函数图象；
②从两车同时从C地出发到两车同时到达B地的，整个过程中，两车之间的距离何时为80km？
【答案】（1）40；80
（2）解：①设从乙车调头到乙车到达B地的过程中，两车所用的时间为t小时，
由题意得，80t-40t＝100，
解得：t＝2.5，
1.5＋2.5＝4，
此过程中，S＝40（x-1.5）＋100-80（x-1.5）＝-40x＋160（1.5≤x≤4），
即： ， 补全图象如下：

②当乙车没有调头，两车之间的距离为80km时，t=0.5+(80-60)÷40=1；
当乙车调头到乙车到达B地的过程中，两车之间的距离为80km时，-40t＋160=80，解得：t=2.
综上所述： 或 .
【完整解答】解：（1）∵乙在A地用1h配货，
∴0.5小时～1.5小时为甲独自行驶，
∴甲的速度＝（100-60）÷（1.5-0.5）＝40（km/h），
乙的速度为：60÷0.5-40＝80（km/h），
故答案是：40，80；
【思路引导】（1）根据乙车在A地用1h配货可知0.5到1.5小时的距离变化为甲车的变化，利用速度＝路程÷时间计算即可；再根据前0.5小时甲乙两车相背而行列式求解乙车的速度；
（2）①设从乙车掉头到乙车到达B地的过程中，两车所用的时间为t小时，然后根据追及问题求出相遇的时间，然后列出S关于x的函数解析式，再补全函数图象即可；②分两种情况，当乙车没有调头，两车之间的距离为80km时，当乙车调头到乙车到达B地的过程中，两车之间的距离为80km时，分别求出t的值，即可.