初中数学苏科版八年级上册6.4 用一次函数解决问题教学设计

6.4　用一次函数解决问题

教学目标

1. 能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式；

2. 能将简单的实际问题转化为数学问题建立一次函数，从而解决实际问题；[来源:学源#
3. 通过具体问题的分析，发展解决问题的能力，增强应用意识，体会“建模”思想。

教学重点

根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式．

教学难点

如何将实际问题转化为数学问题，合理地建立一次函数的模型，并解决实际问题．

教学过程（教师）

学生活动

设计思路

问题的引入

在前几节课里，我们分别学习了一次函数、一次函数的图像、一次函数图像的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛，和我们日常生活密切相关，因此本节课我们一起来学习一次函数图像的应用．

名闻遐迩的玉龙雪山，位于云南丽江城北15km，由12座山峰组成，主峰海拔5596m．海拔4500m处一条黑白分明的雪线蜿蜒山头，由于气候变暖等原因，雪线平均每年约上升10m，假如按此速度推算，经过几年，玉龙雪山的雪线将由现在的4500m退至山顶而消失？

可以有不同的解法解决此题，可以用算术解法，可以用方程，也可以用函数的观点解决．

算术解法：（5596－4500）÷10＝109.6（年），

一次函数解法：按照上面的假设，雪线海拔 y（m）是时间x（年）的一次函数，其函数表达式为：

y＝4500＋10x，

于是，可以用一次函数的相关知识，解决上述问题．

分析实际问题中变量与变量之间的关系，如果这种关系可以用一次函数表达式表示，那么就可用一次函数的相关知识，解决实际问题．

情景的引入是为了让学生以丽江美景玉龙雪山为问题背景，通过两个变量的分析，引导学生建立一次函数的模型，从而利用一次函数的相关知识解决实际问题．在解答方法上，可以有不同的解法，鼓励学生发散思维，找到不同的解决途径，同时也为问题的解决作准备．

问题1：

5年后，雪线的海拔是           m；来源:

问题2：大约         年后，雪线退至山顶而消失．

学生读题，找清数量关系，理解雪山的海拔线由两部分构成，一部分是原来的雪线，这是一个与已知的常量；另一部分是每年的雪线的上升量，它随时间的变化而变化．

解：（1）5年后，雪线的海拔为（m）

（2）（5596－4500）÷10＝109.6（年）

通过探索活动，让学生进一步明确题中的数量关系，通过文字语言的分析，正确找出不等关系．体验在处理一个实际问题面前，数学所具有的价值和魅力，培养学生的应用意识．

变式拓展一：　

在玉龙雪山的原始森林中有一伐木场，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，每砍伐一棵树木的成本为每棵900元，生产成本包括固定成本和砍伐成本．

（1）该工厂某天共砍伐20棵树，则该工厂这一天的生产成本为多少元；

（2）求每天的生产成本y（元）与砍伐树木棵数x（棵）之间的函数表达式.

学生读题，写出相应的函数表达式．

学生解答第（2）问，并小组交流．

解：（1）工厂这一天的生产成本为（元）

（2）每天的生产成本y（元）与砍伐树木棵数x（棵）之间的函数表达式为

学生在前面学习的基础上，通过实践操作，观察思考，经历探索的过程，学会类比地分析和思考，尝试“数学地”去想．通过练习巩固知识的运用，培养学生用函数的观点分析问题和解决问题的能力．

变式拓展二：

玉龙雪山的伐木场现将一批木材由伐木场运往甲地，到达甲地卸货后返回.设汽车从伐木场地出发（h）时，汽车与伐木场地的距离为（km），与的函数关系如图所示．

（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；

（2）求返程中与之间的函数表达式；

在这里需要说明的是：在现实生活中，两个变量之间的数量关系并不完全遵循同一个标准，在这样的情况下，往往根据自变量不同的取值范围，分别列出不同的函数表达式．

解：(1)去时速度为（km/h）

回时速度为（km/h）

所以速度不相同；

（2）当时，函数表达式为；

当时，函数表达式为；

当时，函数表达式为；

    问题的解决，让学生尝试解决更复杂、更难的问题，进一步激发其探求的欲望，培养学生良好的学习品质．

一次函数的应用从身边熟悉的问题，学习处理复杂问题的研究方法和手段．

另外，分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图像）也不同的函数，分段函数的应用解答时需要分段讨论，在现实生活中存在许多需分段计费的实际问题．对练习进行必要的延伸和拓展，提升了学生的解题能力．

总结

通过探讨研究，你有哪些收获，你认为还有哪些困惑？

本节课我们从生活中的问题出发，将实际问题转化为数学问题，建立了一次函数的模型，从而解决实际问题．

学生尝试对知识方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识，内化数学的方法和经验．

    试对所学知识进行反思、归纳和总结．会对知识进行提炼，体会数学的思想和应用，将感性的认识升华为理性的认识．