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数学八年级上册第六章 一次函数6.4 用一次函数解决问题评优课课件ppt
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这是一份数学八年级上册第六章 一次函数6.4 用一次函数解决问题评优课课件ppt，共54页。PPT课件主要包含了用一次函数解决问题，4练习等内容，欢迎下载使用。
名闻遐迩的玉龙雪山，位于云南省丽江城北，由 12 座山峰组成主峰海拔 5596 m.远眺玉龙雪山，在海拔 4 500 m 处，有一条黑白分明的分界线一雪线，雪线以上是银光闪烁的冰雪世界，雪线以下是草木葱葱的原始森林.
由于气候变暖等原因，2002 ～ 2007 年间，玉龙雪山的雪线平均每年上升约 10 m.假设雪线的高度按此速度不断变化，几年后玉龙雪山的雪线将由现在的海拔 4500 m 退至山顶而消失?
按照上面的假设，雪线海拔 y(m)是时间(年)的一次函数，函数表达式为 y＝4 500＋10x. 于是，我们可以用一次函数的相关知识解决上述问题.
分析实际问题中变量与变量之间的关系，如果这种关系可以用一次函数表达式表示，那么就可用一次函数的相关知识来解决实际问题.
问题1 某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天 12 000 元，该产品的原料及加工成本合计为每件 900 元. (1) 写出每天的生产成本(包括固定成本和原料及加工成本)与产量之间的函数表达式；
解：(1) 每天的生产成本 (元)与产量 (件)之间的函数表达式是： y1＝900x＋12 000；
(2) 如果每件产品的出厂价为 1 200 元，那么每天生产多少件产品，该工厂才有赢利?
解：每天销售收入 y2(元)与产量 (件)之间的函数表达式是：y2＝1200x. 当销售收入 y2 大于生产成本 时，工厂有赢利，即1200x＞900x－12 000. 解得 x ＞40. 每天生产的产品超过 40 件时，工厂才有赢利.
“精准扶贫，暖心助力”．驻村书记通过某平台直播带货，帮助当地百姓脱贫致富．苹果成本价为每千克5元，销售价为每千克8元；蜜橘成本价为每千克6元，销售价为每千克10元．通过直播，两种水果共销售5000千克，苹果的销售量不少于2000 千克； (1) 若销售的苹果和蜜橘的总成本为27400 元，则销售苹果_______千克，销售蜜橘______ 千克；
(2) 当苹果的销量为多少时，两种水果的总利润最大？最大利润是多少？
解：设销售苹果a千克，总利润为w 元，则销售蜜橘(5000－a)千克， w＝(8－5)a＋ (10－6)(5000－a) ＝－a+20 000， ∵－ 1 ＜ 0， ∴ w 随a 的增大而减小．
又∵ a≥2 000， ∴当a＝2 000 时，总利润最大， 则最大利润为－ 2 000＋20 000＝18 000(元)． 答：当苹果的销量为2 000 千克时，两种水果的总利润最大，最大利润是18 000 元．
在人才招聘会上，某公司承诺：应聘者被录用后第 1年的月工资为2 000 元，在以后的一段时间内，每年的月工资比上一年的月工资增加300 元. 某人在该公司连续工作n年，写出他第n年的月工资y (元)与n的函数表达式.
他第5年的年收入能否超过 40 000 元?
某人在该公司连续工作 n 年，第 n 年的月工资y(元)与n的函数表达式为y＝2 000＋300(n－1)，即y＝300n＋1 700. 第5年他的年收入为(300×5＋1700)×12－3200×12＝38400(元)， 第5年的年收人不能超过40 000元.
1. 根据本节开头提供的有关数据和所作的假设，多少年 后玉龙雪山的雪线会消失?
解：根据题意，得5596＝4 500＋10x， 解得 x＝109.6， ∴x≈110. ∴大约110年后玉龙雪山的雪线会消失.
2. 某市出租车的收费标准：不超过 3 千米计费为 7.0 元， 3 千米后按 2.4 元/千米计费. (1) 写出车费 y (元)与路程x(千米)之间的函数表达式；
(2)小亮乘出租车出行，付费19元，计算小亮乘车的路程.
解：∵19＞7， ∴路程大于3千米，把y＝19 代入 y＝2.4x－0.2， 得19＝2.4x－0.2， 解得x＝8， ∴小亮乘车的路程是8千米.
问题2 甲、乙两家公司出租汽车收取的租车费 y1(元)、y2(元)都是用车里程 x(千米)的函数，它们的图像如图.
(1) 用车里程多少时，甲、乙两公司的租车费相等?
解：由图可知： 当x＝2000 时，两个函数的图像相交于一点，y1＝y2. 用车里程为 2000 千米时，两家公司的租车费相等.
(2) 用车里程多少时，甲公司的租车费比乙公司少?
解：当x＜2000时，y1＜y2. 用车里程小于 2000 千米时，甲公司的租车费比乙公司少.
(3) 用车里程多少时，乙公司的租车费比甲公司少?
解：当 x＞2000时，y2＜y1. 用车里程大于 2 000 千米时，乙公司的租车费比甲公司少.
Ⅰ 号无人机从海拔10 m 处出发，以10m/min的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30 m 处同时出发，以a m/min的速度匀速上升，经过5 min 两架无人机位于同一海拔高度b m．无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系如图．两架无人机都上升了15 min．
(1) 求b 的值及Ⅱ号无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系式；
解：(1)由题意，得经过5 min 无人机位于海拔高度b＝10＋10×5＝60(m)处． 设Ⅱ号无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的函数表达式是y＝kx＋t.
(2) 问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28 m ？
某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有两种运输方式可供选择，主要参考数据如下：
(1) 请分别写出汽车、火车运输的总费用 y1(元)、y2(元)与运输路程 (千米)之间的函数表达式；
(2) 你认为用哪种运输方式较好?
问题3 根据图 6－15 中的函数图像，说出 x、y 变化过程的实际意义.
分析：x、y 的变化过程可以分为三个部分. (1) 当x从0增大到8时，y从0增大到 2； (2) 当x从8增大到14 时， y的值不变； (3) 当x从14 增大到24 时， y从2减小到0. 如果给 x、y 这两个变量以某种实际意义，那么这个图像就可以表示某种实际的变化过程.
解：设 x 表示时间(min)，y 表示离出发地的路程(km)，则图6－15的实际意义可以是： 小明以250m/min的速度匀速骑自行车8 min到达某地； 在该地休息了6min； 然后以200m/min的速度速骑自行车10min返回出发地
仿照上面的过程，试根据图 6－15，说出 x、y 变化过程的另一种实际意义.
x 代表时间(秒)，y 代表速度(米/秒)，小明推一辆小车沿斜面滑下，速度逐渐增大，经过 8 秒钟，速度变为 2米/秒，然后在光滑的水平而匀速行驶，6 秒后速度开始逐渐变小，又过了 10 秒后速度变为 0. (答案不唯一)
甲、乙两人沿同一直道从A 地去B 地． 甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A 地的距离y1(单位：m)与时间x(单位：min)之间的函数关系如图6.4－3 所示．
(1) 在图中画出乙离A 地的距离y2(单位：m)与时间x(单位：min)之间的函数图像；
(2) 若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．
解：设甲的速度是 v m / min，乙整个行程所用的时间为t min， 由题意，得2v·t＝ (t＋1＋5)v． 解得 t＝6， 则 6＝1＋5＝12(min)．答：甲整个行程所用的时间为12 min．
1. 甲汽车出租公司按每 100 km 150 元收取租车费；乙汽 车出租公司按每 100 km 50 元收取租车费，另加管理 费 800 元你认为应如何选择合适的汽车出租公司?
解：设汽车行驶路程为x km，甲汽车出租公司收取租车费 y1元，乙汽车出租公司收取租车费 y2 元，
由图像可知：①当汽车行驶路程为 800 km 时，y1＝y2，租用两家公司的汽车费用相等； ②当汽车行驶路程不足 800 km 时， y1＜ y2 ，租用甲公司的汽车费用较低； ③当汽车行驶路程大于800 km 时，y1＞y2，租用乙公司的汽车费用较低.
当x＝3时，y1＝y2； 当x＞3时，y1＜y2； 当x＜3时，y1＞y2. 故当有 3人参加旅游时，选择两家旅行社的费用一样；当旅游人数超过3人时，选择A 旅行社费用低；当旅游人数不足3人时，选择 B 旅行社费用低.
1. 拖拉机开始工作时，油箱中有油 40 L，已知该拖拉机 每小时耗油6L.写出油箱中的剩余油量 Q(L)与工作时间 t (h)之间的函数表达式，并计算工作 2.5h后油箱中的剩 余油量.
2. 如图，公路上有A、B、C三个汽车站，一辆汽车8∶00 从离A站10 km的P地出发，向C站匀速行驶，15min 后 离A站30km. (1) 设出发 x h后，汽车离 A 站 y km，写出 y 与 x 之间的函数表达式.
(2) 当汽车行驶到离 A 站250 km的B站时，接到通知要在 12∶00 前赶到离 B站60 km的C站，汽车按原速行驶，能否准时到达?如果能，那么汽车何时到达 C站?
3. 某电信公司推出甲、乙两种收费方式供手机用户选择： 甲种方式每月收月租费 8元，每分钟通话费为 0.2元； 乙种方式不收月租费，每分钟通话费为 0.3元. 试根据 通话时间的多少选择合适的付费方式.
解：设每月通话时间为x分钟，甲种方式费用为y1元，乙种方式费用为 y2 元，则 y1＝8＋0.2x(x＞0，x为整数)，y2＝0.3x(x＞0，x为整数). 作出函数图像如图所示.
当x＝80时，y1＝y2；当x＜80时，y1＝y2；当x＞80时，y1＜y2.
故当通话时间为 80分钟时，两种方式都可以； 当通话时间不足80分钟时，乙种方式费用低，应选乙种方式； 当通话时间超过 80 分钟时，甲种方式费用低，应选甲种方式.
4. 某厂计划生产A、B两种产品共 50件，已知A产品每件 可获利润700元，B 产品每件可获利润 1200元，设生 产两种产品的获利总额为 y(元)，写出y与生产A 产品 的件数 之间的函数表达式.
解：生产A种产品件，则生产B 种产品(50－x)件， ∴ y＝700x＋1200(50－x) ＝60 000－500x (0＜x＜50，x为整数).
5.某技工培训中心有钳工 20名、车工30名，现将这 50 名 技工派往A、B两地工作，两地技工的月工资情况如下：
(1) 若派往A地x名钳工，余下的技工全部派往B地，写出这 50名技工的月工资总额 y(元)与之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
解：派往 A 地 x 名工，则派往 B 地的工为(20－x)名，车工为30名，则 y＝1800x＋1600(20－x) ＋1200×30 ＝200x＋68 000 (0≤x≤20，x为整数).
(2) 若派往A地 x 名车工，余下的技工全部派往 B 地，写出这 50 名技工的月工资总额 y (元)与之间的函数表达式，并写出 x 的取值范围.
解：派往 A 地车工 名，则派往 B 地的车工为(30－x)名，钳工为 20名， 则 y＝1 600x＋1 200× (30－x) ＋1600×20 ＝400x＋68 000 (0＜x＜30，x为整数).
名闻遐迩的玉龙雪山，位于云南省丽江城北，由 12 座山峰组成主峰海拔 5596 m.远眺玉龙雪山，在海拔 4 500 m 处，有一条黑白分明的分界线一雪线，雪线以上是银光闪烁的冰雪世界，雪线以下是草木葱葱的原始森林.
由于气候变暖等原因，2002 ～ 2007 年间，玉龙雪山的雪线平均每年上升约 10 m.假设雪线的高度按此速度不断变化，几年后玉龙雪山的雪线将由现在的海拔 4500 m 退至山顶而消失?
按照上面的假设，雪线海拔 y(m)是时间(年)的一次函数，函数表达式为 y＝4 500＋10x. 于是，我们可以用一次函数的相关知识解决上述问题.
分析实际问题中变量与变量之间的关系，如果这种关系可以用一次函数表达式表示，那么就可用一次函数的相关知识来解决实际问题.
问题1 某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天 12 000 元，该产品的原料及加工成本合计为每件 900 元. (1) 写出每天的生产成本(包括固定成本和原料及加工成本)与产量之间的函数表达式；
解：(1) 每天的生产成本 (元)与产量 (件)之间的函数表达式是： y1＝900x＋12 000；
(2) 如果每件产品的出厂价为 1 200 元，那么每天生产多少件产品，该工厂才有赢利?
解：每天销售收入 y2(元)与产量 (件)之间的函数表达式是：y2＝1200x. 当销售收入 y2 大于生产成本 时，工厂有赢利，即1200x＞900x－12 000. 解得 x ＞40. 每天生产的产品超过 40 件时，工厂才有赢利.
“精准扶贫，暖心助力”．驻村书记通过某平台直播带货，帮助当地百姓脱贫致富．苹果成本价为每千克5元，销售价为每千克8元；蜜橘成本价为每千克6元，销售价为每千克10元．通过直播，两种水果共销售5000千克，苹果的销售量不少于2000 千克； (1) 若销售的苹果和蜜橘的总成本为27400 元，则销售苹果_______千克，销售蜜橘______ 千克；
(2) 当苹果的销量为多少时，两种水果的总利润最大？最大利润是多少？
解：设销售苹果a千克，总利润为w 元，则销售蜜橘(5000－a)千克， w＝(8－5)a＋ (10－6)(5000－a) ＝－a+20 000， ∵－ 1 ＜ 0， ∴ w 随a 的增大而减小．
又∵ a≥2 000， ∴当a＝2 000 时，总利润最大， 则最大利润为－ 2 000＋20 000＝18 000(元)． 答：当苹果的销量为2 000 千克时，两种水果的总利润最大，最大利润是18 000 元．
在人才招聘会上，某公司承诺：应聘者被录用后第 1年的月工资为2 000 元，在以后的一段时间内，每年的月工资比上一年的月工资增加300 元. 某人在该公司连续工作n年，写出他第n年的月工资y (元)与n的函数表达式.
他第5年的年收入能否超过 40 000 元?
某人在该公司连续工作 n 年，第 n 年的月工资y(元)与n的函数表达式为y＝2 000＋300(n－1)，即y＝300n＋1 700. 第5年他的年收入为(300×5＋1700)×12－3200×12＝38400(元)， 第5年的年收人不能超过40 000元.
1. 根据本节开头提供的有关数据和所作的假设，多少年 后玉龙雪山的雪线会消失?
解：根据题意，得5596＝4 500＋10x， 解得 x＝109.6， ∴x≈110. ∴大约110年后玉龙雪山的雪线会消失.
2. 某市出租车的收费标准：不超过 3 千米计费为 7.0 元， 3 千米后按 2.4 元/千米计费. (1) 写出车费 y (元)与路程x(千米)之间的函数表达式；
(2)小亮乘出租车出行，付费19元，计算小亮乘车的路程.
解：∵19＞7， ∴路程大于3千米，把y＝19 代入 y＝2.4x－0.2， 得19＝2.4x－0.2， 解得x＝8， ∴小亮乘车的路程是8千米.
问题2 甲、乙两家公司出租汽车收取的租车费 y1(元)、y2(元)都是用车里程 x(千米)的函数，它们的图像如图.
(1) 用车里程多少时，甲、乙两公司的租车费相等?
解：由图可知： 当x＝2000 时，两个函数的图像相交于一点，y1＝y2. 用车里程为 2000 千米时，两家公司的租车费相等.
(2) 用车里程多少时，甲公司的租车费比乙公司少?
解：当x＜2000时，y1＜y2. 用车里程小于 2000 千米时，甲公司的租车费比乙公司少.
(3) 用车里程多少时，乙公司的租车费比甲公司少?
解：当 x＞2000时，y2＜y1. 用车里程大于 2 000 千米时，乙公司的租车费比甲公司少.
Ⅰ 号无人机从海拔10 m 处出发，以10m/min的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30 m 处同时出发，以a m/min的速度匀速上升，经过5 min 两架无人机位于同一海拔高度b m．无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系如图．两架无人机都上升了15 min．
(1) 求b 的值及Ⅱ号无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的关系式；
解：(1)由题意，得经过5 min 无人机位于海拔高度b＝10＋10×5＝60(m)处． 设Ⅱ号无人机海拔高度y(m)与时间x(min)的函数表达式是y＝kx＋t.
(2) 问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28 m ？
某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有两种运输方式可供选择，主要参考数据如下：
(1) 请分别写出汽车、火车运输的总费用 y1(元)、y2(元)与运输路程 (千米)之间的函数表达式；
(2) 你认为用哪种运输方式较好?
问题3 根据图 6－15 中的函数图像，说出 x、y 变化过程的实际意义.
分析：x、y 的变化过程可以分为三个部分. (1) 当x从0增大到8时，y从0增大到 2； (2) 当x从8增大到14 时， y的值不变； (3) 当x从14 增大到24 时， y从2减小到0. 如果给 x、y 这两个变量以某种实际意义，那么这个图像就可以表示某种实际的变化过程.
解：设 x 表示时间(min)，y 表示离出发地的路程(km)，则图6－15的实际意义可以是： 小明以250m/min的速度匀速骑自行车8 min到达某地； 在该地休息了6min； 然后以200m/min的速度速骑自行车10min返回出发地
仿照上面的过程，试根据图 6－15，说出 x、y 变化过程的另一种实际意义.
x 代表时间(秒)，y 代表速度(米/秒)，小明推一辆小车沿斜面滑下，速度逐渐增大，经过 8 秒钟，速度变为 2米/秒，然后在光滑的水平而匀速行驶，6 秒后速度开始逐渐变小，又过了 10 秒后速度变为 0. (答案不唯一)
甲、乙两人沿同一直道从A 地去B 地． 甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A 地的距离y1(单位：m)与时间x(单位：min)之间的函数关系如图6.4－3 所示．
(1) 在图中画出乙离A 地的距离y2(单位：m)与时间x(单位：min)之间的函数图像；
(2) 若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．
解：设甲的速度是 v m / min，乙整个行程所用的时间为t min， 由题意，得2v·t＝ (t＋1＋5)v． 解得 t＝6， 则 6＝1＋5＝12(min)．答：甲整个行程所用的时间为12 min．
1. 甲汽车出租公司按每 100 km 150 元收取租车费；乙汽 车出租公司按每 100 km 50 元收取租车费，另加管理 费 800 元你认为应如何选择合适的汽车出租公司?
解：设汽车行驶路程为x km，甲汽车出租公司收取租车费 y1元，乙汽车出租公司收取租车费 y2 元，
由图像可知：①当汽车行驶路程为 800 km 时，y1＝y2，租用两家公司的汽车费用相等； ②当汽车行驶路程不足 800 km 时， y1＜ y2 ，租用甲公司的汽车费用较低； ③当汽车行驶路程大于800 km 时，y1＞y2，租用乙公司的汽车费用较低.
当x＝3时，y1＝y2； 当x＞3时，y1＜y2； 当x＜3时，y1＞y2. 故当有 3人参加旅游时，选择两家旅行社的费用一样；当旅游人数超过3人时，选择A 旅行社费用低；当旅游人数不足3人时，选择 B 旅行社费用低.
1. 拖拉机开始工作时，油箱中有油 40 L，已知该拖拉机 每小时耗油6L.写出油箱中的剩余油量 Q(L)与工作时间 t (h)之间的函数表达式，并计算工作 2.5h后油箱中的剩 余油量.
2. 如图，公路上有A、B、C三个汽车站，一辆汽车8∶00 从离A站10 km的P地出发，向C站匀速行驶，15min 后 离A站30km. (1) 设出发 x h后，汽车离 A 站 y km，写出 y 与 x 之间的函数表达式.
(2) 当汽车行驶到离 A 站250 km的B站时，接到通知要在 12∶00 前赶到离 B站60 km的C站，汽车按原速行驶，能否准时到达?如果能，那么汽车何时到达 C站?
3. 某电信公司推出甲、乙两种收费方式供手机用户选择： 甲种方式每月收月租费 8元，每分钟通话费为 0.2元； 乙种方式不收月租费，每分钟通话费为 0.3元. 试根据 通话时间的多少选择合适的付费方式.
解：设每月通话时间为x分钟，甲种方式费用为y1元，乙种方式费用为 y2 元，则 y1＝8＋0.2x(x＞0，x为整数)，y2＝0.3x(x＞0，x为整数). 作出函数图像如图所示.
当x＝80时，y1＝y2；当x＜80时，y1＝y2；当x＞80时，y1＜y2.
故当通话时间为 80分钟时，两种方式都可以； 当通话时间不足80分钟时，乙种方式费用低，应选乙种方式； 当通话时间超过 80 分钟时，甲种方式费用低，应选甲种方式.
4. 某厂计划生产A、B两种产品共 50件，已知A产品每件 可获利润700元，B 产品每件可获利润 1200元，设生 产两种产品的获利总额为 y(元)，写出y与生产A 产品 的件数 之间的函数表达式.
解：生产A种产品件，则生产B 种产品(50－x)件， ∴ y＝700x＋1200(50－x) ＝60 000－500x (0＜x＜50，x为整数).
5.某技工培训中心有钳工 20名、车工30名，现将这 50 名 技工派往A、B两地工作，两地技工的月工资情况如下：
(1) 若派往A地x名钳工，余下的技工全部派往B地，写出这 50名技工的月工资总额 y(元)与之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
解：派往 A 地 x 名工，则派往 B 地的工为(20－x)名，车工为30名，则 y＝1800x＋1600(20－x) ＋1200×30 ＝200x＋68 000 (0≤x≤20，x为整数).
(2) 若派往A地 x 名车工，余下的技工全部派往 B 地，写出这 50 名技工的月工资总额 y (元)与之间的函数表达式，并写出 x 的取值范围.
解：派往 A 地车工 名，则派往 B 地的车工为(30－x)名，钳工为 20名， 则 y＝1 600x＋1 200× (30－x) ＋1600×20 ＝400x＋68 000 (0＜x＜30，x为整数).
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