数学第二章　平面解析几何2.4 曲线与方程练习题

【基础】2.4 曲线与方程-1随堂练习

一．填空题

1．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美．对称美．和谐美的结合产物，曲线：恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：

①曲线经过5个整点（即横．纵坐标均为整数的点）；

②曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2；

③曲线围成区域的面积大于；

④方程表示的曲线在第二象限和第四象限

其中正确结论的序号是______.

2．已知动点与两定点连线的斜率之积等于常数，则动点P的轨迹方程为______．

3．倾斜角为的直线交椭圆于A．B两点，则线段AB的中点M的轨迹方程是　　　　　.

4．已知的顶点．，．分别为．的中点，和 边上的中线交于，且，则点的轨迹方程为

.

5．设P是曲线上的动点，O为坐标原点，当取得最小值时，点P

的坐标为            

6．已知曲线，点为曲线上任意一点，若点，，则面积的最大值为______．

7．方程x＝所表示的曲线是           ．

8．曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出下列三个结论：其中，所有正确结论的序号是______．

① 曲线关于轴对称；

② 若点在曲线上，则；

③ 若点在曲线上，则.

9．“以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

10．给出下列说法:

①方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线;

②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2;

③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点.

其中正确说法的序号是____.

11．在直角坐标系内，到点（1,0）和直线距离相等的点的轨迹方程是

．

12．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的图形为________.

13．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA．PB,切点分别为A．B,且∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为_________.

14．已知曲线的方程，给出下列个结论：

①曲线是以点和为焦点的椭圆的一部分；

②曲线关于轴．轴．坐标原点对称；

③若点在曲线上，则，；

④曲线围成的图形的面积是．

其中，所有正确结论的序号是__________．

15．过点作曲线的切线,设该切线与曲线及轴所围图形的面积为则       .

参考答案与试题解析

1．【答案】②④

【解析】利用基本不等式得，可判断②；和联立解得可判断①③；由图可判断④.

详解：作出圆和四叶玫瑰线的图示如下图所示：

，解得（当且仅当时取等号），则②正确；

将和联立，解得，即与曲线相切于点，，，，则①和③都错误；

由，得④正确.综上，正确命题为：②④.

故答案为：②④

【点睛】

本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.

2．【答案】

【解析】根据化简可得结果.

详解：由题设知直线与的斜率存在且均不为零，

所以，整理得．

所以动点P的轨迹方程为．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了求动点的轨迹方程，考查了斜率公式，属于基础题.

3．【答案】

【解析】

4．【答案】

【解析】

5．【答案】

【解析】

6．【答案】

【解析】曲线C是由．

以及三部分构成（如图所示），

，且过AB的直线方程为，

并且直线为双曲线和的渐近线，

设过点P且与直线平行的直线方程为，

由图知，当直线与曲线相切时，

切点到直线距离最大，联立

消去得，，

解得（正根舍），

所以，所以点到直线的最大距离即为直线与直线之间的距离，所以最大距离，

所以面积的最大值为．

故答案为：

7．【答案】椭圆的一部分

【解析】原方程可化为x2＋3y2＝1(x≥0)，它表示椭圆的一部分．

8．【答案】①②③

【解析】设点在曲线上，则有两边平方化简得：

.将x换为-x，表达式不变，故（1）正确；故（2）正确；当

当故，

故（3）正确.

9．【答案】必要不充分

【解析】根据是曲线C的方程必须同时满足以下两个条件：①以的解为坐标的点都在曲线C上；②曲线C上的点的坐标都符合方程判断.

详解：因为是曲线C的方程必须同时满足以下两个条件：①以的解为坐标的点都在曲线C上；②曲线C上的点的坐标都符合方程.

所以“以方程的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是”的必要不充分条件

故答案为：必要不充分

【点睛】

本题主要考查曲线与方程的关系以及逻辑条件的判断，属于基础题.

10．【答案】③

【解析】根据曲线的方程与方程的曲线进行判断．

【详解】

①方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线上去掉点，故错误；

②到x轴距离为2的点的轨迹方程为，即，故错误；

③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点，正确．

故答案为③．

【点睛】

本题考查曲线的方程与方程的曲线的概念．曲线的方程是（或方程的曲线是）必须满足两个条件：一是曲线上所有点的坐标都是方程的解，二是以方程的解为坐标的点都在曲线上，二者缺一不可．

11．【答案】

【解析】由题意知，该点的轨迹是抛物线，其中抛物线的焦点坐标为，故点的轨迹方程为.

12．【答案】一个点(2，－2)

【解析】把方程，可化为，由此可得方程所示的图形.

【详解】

方程可化为，

，

可得，

方程表示点，故答案为.

【点睛】

本题主要考查利用曲线方程判断曲线形状，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力.

13．【答案】x2+y2=4

【解析】略

14．【答案】②④

【解析】【分析】

化简方程为，画出图像，结合图像逐个分析可判定正误。

【详解】

①根据题意，方程，即，表示四条线段，其图形如图所示，故①错误；

②由图可知，曲线关于轴，轴，坐标原点对称，故②正确；

③若点在曲线上，则，，故③错误；

④曲线围成的面积，故④正确．

综上所述，正确结论的序号是②④．

填②④

【点睛】

本题综合考查对曲线方程的分析能力，对学生迁移应用能力要求较强，需要数形结合思想，利用图形解题。

15．【答案】

【解析】