初中数学人教版七年级下册6.3 实数教学设计

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知识点1 无理数的概念
1、无限不循环小数叫做无理数．例如等都是无理数
类型：（1）所有开方开不尽的数都是无理数．
（2）化简后含的数是无理数．
（3）无限不循环小数是无理数．
【典例】
例1 （2020春•越秀区校级期中）在实数，0，，，中，无理数有 个．
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：，是有限小数，属于有理数；
0是整数，属于有理数；
是无理数；
是无理数；
是无理数．
无理数共有3个．
故选：．
【方法总结】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
例2（2020春•天河区校级期中）在实数，，，1.414，，（每两个1之间0的个数依次增加中，无理数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：在实数，，，1.414，，（每两个1之间0的个数依次增加中，无理数有，，（每两个1之间0的个数依次增加，一共3个．
故选：．
【方法总结】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
【随堂练习】
1．（2020春•五华区校级月考）下列实数中，无理数有_________．（填序号）
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧1.101001．
【解答】解：①是整数，属于有理数；
②是无理数；
③是无理数；
④，是整数，属于有理数；
⑤，是无理数；
⑥是分数，属于有理数；
⑦，是整数，属于有理数；
⑧1.101001是有限小数，属于有理数．
故无理数有②③⑤．
故答案为：②③⑤．
2．（2020春•津南区校级月考）在，，，，0，，，中无理数有______个．
【解答】解：，，0是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是循环小数，属于有理数；
无理数有，，共3个．
故答案为：3．
知识点2 实数的概念
1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
2、实数的分类：
1）按定义分：
2）按正负分：
3、小数与无理数，有理数的关系：
（1）有限小数（如：3.14,0.8）→可化为分数→是有理数；
（2）无限循环小数（如：）→可化为分数→是有理数；
（3）无限不循环小数（如：4.23598…）→不可化为分数→是无理数.
【典例】
例1 （2020秋•武陟县期中）把下列各数填在相应的大括号里：﹣（﹣2）2，227，﹣0.101001，100，﹣|﹣2|，﹣0.15⋅⋅，0.202002…，-π2，0，(-2)23．
负整数集合：{ ﹣（﹣2）2，﹣|﹣2| …}；
负分数集合：{ ﹣0.101001，﹣0.15⋅⋅ …}；
无理数集合：{ 0.202002…，-π2 …}．
【解答】解：负整数集合：{﹣（﹣2）2，﹣丨﹣2丨…}；
负分数集合{﹣0.101001，﹣0.15⋅⋅⋯}；
无理数集合：{0.202002…，-π2⋯}．
故答案为：﹣（﹣2）2，﹣丨﹣2丨；﹣0.101001，﹣0.15⋅⋅；0.202002…，-π2．
【方法总结】
本题主要考查实数，解题的关键是熟练掌握实数的定义及其分类．
例2 （2020秋•杭州期中）用序号将下列各数填入相应的集合内．
①-1112，②32，③-4，④0，⑤-0.4，⑥38，⑦-π4，⑧0.2⋅3⋅，⑨3.14
（1）整数集合{ ③④⑥ …}；
（2）分数集合{ ①⑧⑨ …}；
（3）无理数集合{ ②⑤⑦ …}．
【解答】解：（1）整数集合{③④⑥…}；
（2）分数集合{①⑧⑨…}；
（3）无理数集合{②⑤⑦…}．
故答案为：③④⑥；①⑧⑨；②⑤⑦．
【方法总结】
此题主要考查了有理数、无理数及实数的定义，用到的知识点为：有理数和无理数统称实数；整数和分数统称有理数；无限不循环小数叫做无理数，透彻理解定义是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•江阴市期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：
﹣2.5，3，﹣2020，-103，0.1010010001，﹣2.3⋅，0，﹣（﹣30%），π3，﹣|﹣4|
（1）正数集合：{ 3，0.1010010001，﹣（﹣30%），π3 …}；
（2）无理数集合：{ π3 …}；
（3）分数集合：{ ﹣2.5，-103，0.1010010001，﹣2.3⋅，﹣（﹣30%） …}；
（4）非正整数集合：{ ﹣2020，0，﹣|﹣4| …}．
【解答】解：（1）正数集合：{3，0.1010010001，﹣（﹣30%），π3⋯}；
（2）无理数集合：{π3⋯}；
（3）分数集合：{﹣2.5，-103，0.1010010001，﹣2.3⋅，﹣（﹣30%）…}；
（4）非正整数集合：{﹣2020，0，﹣|﹣4|…}．
故答案为：3，0.1010010001，﹣（﹣30%），π3；π3；﹣2.5，-103，0.1010010001，﹣2.3⋅，﹣（﹣30%）；﹣2020，0，﹣|﹣4|．
2．（2020秋•江都区月考）把下列各数分别填入相应的集合里：﹣|﹣3|，1.525 525 552…，0，-(-34)，3.14，﹣（﹣6），-π3
（1）负数集合：{ ﹣|﹣3|，-π3 …}；
（2）非负整数集合：{ 0，﹣（﹣6） …}；
（3）无理数集合：{ 1.525525552…，-π3 …}．
【解答】解：（1）负数集合：{﹣|﹣3|，-π3⋯}，
故答案为：﹣|﹣3|，-π3；
（2）非负整数集合：{0，﹣（﹣6）…}，
故答案为：0，﹣（﹣6）；
（3）无理数集合：{1.525 525 552…，-π3⋯}，
故答案为：1.525 525 552…，-π3．
知识点3 实数与数轴
实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
【典例】
例1（2020秋•芝罘区期中）实数，在数轴上的位置如图，下列结论错误的是
A．B．C．D．
【解答】解：实数，在数轴上的位置可知，，，
，，，
因此选项、、均不符合题意，
，
，而，
因此，
所以选项符合题意，
故选：．
【方法总结】
本题考查数轴表示数的意义和方法，理解符号和绝对值是确定有理数的必要条件．
【随堂练习】
1．（2020秋•合肥期中）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：由实数，在数轴上对应的点的位置可知，
，，
，因此选项不符合题意；
，因此选项不符合题意，选项符合题意；
，因此选项不符合题意；
故选：．
2．（2020秋•南安市期中）实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：由数轴得，，，
，，
．
故选：．
知识点4 无理数大小的比较方法
常用方法：
（1）实数的性质：正实数大于0，负实数小于0；两个正实数比较大小，绝对值大的数大，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小
（2）数轴法：数轴右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
（3）比较被开方数的大小：a＞0，b＞0，
若a＞b，则；
若a＜b， 则；
若a＝b，则．
（4）作差法：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＝0，则a＝b；
若a-b＜0，则a＜b;
（5）作商法：a＞0，b＞0，
若＞1，则a＞b；
若＝1，则a＝b；
若＜1，则a＜b
（6）特殊值法：对于较复杂问题，可以代入一个符合条件的数，求出具体数值后再比较.
备注：，
【典例】
例1 （2020秋•黄岛区校级月考）比较大小，用“”或“”或“”填空．
， 3.14；
若，则 ．
【解答】解：，，
，
；
；
，
，
故答案为：；；．
【方法总结】
此题主要考查了实数的大小比较，关键是掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
例2 （2020春•蔡甸区校级月考）比较大小： 2.3（填或．
【解答】解：，，
，
．
故答案为：．
【方法总结】
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大．
【随堂练习】
1．（2020春•江夏区月考）在实数2，3，4，5中，比小的数的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
在实数2，3，4，5中，比小的数的个数有1个：2．
故选：．
2．（2020•东胜区二模）在，，0，中这四个数中，最小的数是
A．0B．C．D．
【解答】解：．
最小的数是
故选：．
3．（2020秋•道外区期末）比较大小：1.73 ．（填上“”、“ ”或“”
【解答】解：，
，
故答案为：．
知识点5 估计无理数的大小
1、熟记常用的完全平方数和立方数
2、一个实数的小数部分=这个实数-这个实数的整数部分.
【典例】
例1（2020秋•杭州期中）请回答下列问题；
（1）介于连续的两个整数和之间，且，那么 4 ， ；
（2）是的小数部分，是的整数部分，求 ， ；
（3）求的平方根．
【解答】解：（1），
，
，，
故答案为：4，5；
（2），，
又是的小数部分，是的整数部分，
，，
故答案为：，3；
（3），，
，
的平方根为．
【方法总结】
本题考查无理数的估算、算术平方根，确定无理数的整数部分和小数部分是正确解答的关键．
例2 （2020秋•成华区期中）已知：的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的平方根．
【解答】解：（1）的立方根是，
，
解得，，
的算术平方根是3，
，
解得，，
，
，
的整数部分为6，
即，，
因此，，，，
（2）当，，时，
，
的平方根为．
【方法总结】
本题考查算术平方根、立方根、无理数的估算，掌握算术平方根、立方根和无理数的估算是正确解答的前提．
【随堂练习】
1．（2020秋•舞钢市期中）若，分别为的整数部分和小数部分，则的值为 ．
【解答】解：，
的整数部分是3，即，
的小数部分是，即，
．
故答案为：．
2．（2020秋•滦州市期中）已知为整数，且，则的值为 3 ．
【解答】解：，
，
，
，，
．
故答案为：3．
3．（2020秋•双流区校级期中）若是的整数部分，是的小数部分，那么的值是 5 ．
【解答】解：，是的整数部分，是的小数部分，
，，
，
故答案为：5．
知识点6 实数的运算
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号的要先算括号里面的.
【典例】
例1（2020秋•道里区期末）计算：
（1）16-3-27+49；
（2）|2-3|+(-5)2-3．
【解答】解：（1）原式＝4+3+7
＝14；
（2）原式=3-2+5-3
＝5-2．
【方法总结】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
例2 （2020秋•长春期末）计算：|﹣5|+16-32．
【解答】解：|﹣5|+16-32
＝5+4﹣9
＝0
【方法总结】
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【随堂练习】
1．（2020秋•梅列区校级期中）计算：18-8+327+12．
【解答】解：原式＝32-22+3+22
=322+3．
2．（2019秋•海曙区期末）计算：
（1）12+|﹣6|﹣（﹣3）；
（2）﹣22+23×116-3-27．
【解答】解：（1）原式＝12+6+3
＝21；
（2）原式＝﹣4+8×14-（﹣3）
＝﹣4+2+3
＝1．
综合运用
1．（2020春•克什克腾旗期末）在实数，0.21，，，，0.200020002中，无理数的个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：在实数，0.21，，，，0.200020002中，无理数有：、，一共2个．
故选：．
2．（2020春•越秀区校级期中）已知下列结论：①在数轴上能表示无理数，但不能表示无理数；②两个无理数的和还是无理数；③实数与数轴上的点一一对应；④无理数是无限小数，其中正确的结论是
A．①②B．②③C．③④D．①③④
【解答】解：①以0.5长为半径作圆，以原点为起点向右滚动一周，可得到的位置，故原说法错误；
②两个无理数的和不一定是无理数，例如：，故原说法错误；
③实数与数轴上的点一一对应，正确；
④无理数是无限小数，正确，
故选：．
3．（2020秋•山阳区校级期中）的整数部分是，小数部分是，则的值为
A．B．C．D．2
【解答】解：，
，，
．
故选：．
4．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知是整数，当取最小值时，的值是
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：，
，
且与最接近的整数是7，
当取最小值时，的值是7．
故选：．
5．（2020•海门市二模）若，则实数在数轴上对应的点的大致位置是
A．B．
C．D．
【解答】解：，
，
故选：．
6．（2020秋•石鼓区校级月考）若对于实数、定义一种新运算：，则值为 6 ．
【解答】解：，
，
故答案为：6．
7．（2020秋•道里区期末）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
8．（2020秋•达州期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示：
（1）用“”或“”填空： 0， 0， 0．
（2）化简：．
【解答】解：（1）由数轴可得，，且，
，，，
故答案为：，，；
（2），，，
．
9．（2020春•越秀区校级月考）已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根．
【解答】解：的算术平方根是3，的立方根是4，
，，
解得：，，
是的整数部分，，
，
，
的平方根是．
10．（2019秋•吴兴区期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为，即，故的整数部分是2，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
的整数部分为2，小数部分为．
结合以上材料，回答下列问题：
如果的小数部分为，的整数部分为，求的算术平方根．
【解答】解：的小数部分为，的整数部分为，且，，
，，
，
则的算术平方根是：．