初中数学人教版七年级下册6.3 实数教学设计

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知识点1 无理数的概念
1、无限不循环小数叫做无理数．例如等都是无理数
类型：（1）所有开方开不尽的数都是无理数．
（2）化简后含的数是无理数．
（3）无限不循环小数是无理数．
【典例】
例1 （2020秋•汝阳县期中）在下列各数中是无理数的有
，，，，3.1415926，（相邻两个0之间有1个，，．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解答】解：，3.1415926，（相邻两个0之间有1个，是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有，，，，共4个．
故选：．
【方法总结】
此题主要考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
例2（2020秋•建宁县期中）在实数，，，，中，无理数有 2 个．
【解答】解：，是整数，属于有理数；
，，是分数，属于有理数；
无理数有，，，共2个．
故答案为：2．
【方法总结】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
【随堂练习】
1．（2020秋•余杭区期中）在实数，，，，313113113，中，无理数有 2 个．
【解答】解：是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
313113113是有限小数，属于有理数；
无理数有：，共2个．
故答案为：2．
2．（2020秋•浦口区期中）在，，，，（每两个2之间依次多1个中，无理数有 2 个．
【解答】解：是有限小数，属于有理数；
是无理数；
是分数，属于有理数；
是循环小数，属于有理数；
（每两个2之间依次多1个是无理数．
所以无理数有，（每两个2之间依次多1个共2个．
故答案为：2．
知识点2 实数的概念
1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
2、实数的分类：
1）按定义分：
2）按正负分：
3、小数与无理数，有理数的关系：
（1）有限小数（如：3.14,0.8）→可化为分数→是有理数；
（2）无限循环小数（如：）→可化为分数→是有理数；
（3）无限不循环小数（如：4.23598…）→不可化为分数→是无理数.
【典例】
例1（2020春•赣州期中）把下列各数分别填入相应的集合中
0，-54，16，3.1415926，-37，2π，2-1，0.13030030003…，0.15⋅，3-125
（1）整数集合：{ 0，16，3-125 …}
（2）分数集合：{ -54，3.1415926，0.15⋅ …}
（3）有理数集合：{ 0，-54，16，3.1415926，0.15⋅，3-125 …}
（4）无理数集合：{ -37，2π，2-1，0.13030030003… …}
【解答】解：16=4，3-125=-5，
（1）整数集合：{0，16，3-125，…}；
（2）分数集合：{-54，3.1415926，0.15⋅，…}；
（3）有理数集合：{0，-54，16，3.1415926，0.15⋅，3-125，…}；
（4）无理数集合：{-37，2π，2-1，0.13030030003…，…}．
故答案为：0，16，3-125；-54，3.1415926，0.15⋅；0，-54，16，3.1415926，0.15⋅，3-125；-37，2π，2-1，0.13030030003…．
【方法总结】
本题考查了实数的分类，解题的关键是明确实数包括无理数和有理数，无理数包括正无理数和负无理数，有理数包括正有理数，0，负有理数．
例2（2019秋•仪征市期末）给出定义如下：若一对实数（a，b）满足a﹣b＝ab+4，则称它们为一对“相关数”，如：7-38=7×38+4，故(7，38)是一对“相关数”．
（1）数对（1，1），（﹣2，﹣6），（0，﹣4）中是“相关数”的是 （0，﹣4） ；
（2）若数对（x，﹣3）是“相关数”，求x的值；
（3）是否存在有理数m，n，使数对（m，n）和（n，m）都是“相关数”，若存在，求出一对m，n的值，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵1﹣1≠1×1+4，因此一对实数（1，1）不是“相关数”，
∵﹣2﹣（﹣6）≠（﹣2）×（﹣6）+4，因此一对实数（﹣2，﹣6）不是“相关数”，
∵0﹣（﹣4）＝0×（﹣4）+4，因此一对实数（0，﹣4）是“相关数”，
故答案为：（0，﹣4）；
（2）由“相关数”的意义得，x﹣（﹣3）＝﹣3x+4
解得，x=14
答：x=14；
（3）不存在．
若（m，n）是“相关数”，则，m﹣n＝mn+4，
若（n，m）是“相关数”，则，n﹣m＝nm+4，
若（m，n）和（n，m）都是“相关数”，则有m＝n，而m＝n时，m﹣n＝0≠mn+4，因此不存在．
【方法总结】
考查有理数的运算，新定义“相关数”的意义的理解，理解“相关数”的意义是正确解答的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•叶集区期末）将下列各数的序号填在相应的集合里．
3512，π，3.1415926，﹣0.456，3.030030003…，0，511，-39，(-7)2，0.1
有理数集合：{ 3512，3.1415926，﹣0.456，0，511，(-7)2 …}；
无理数集合：{ π，3.030030003…，-39，0.1 …}；
正实数集合：{ 3512，π，3.1415926，3.030030003…，511，(-7)2，0.1 …}；
整数集合：{ 3512，0，(-7)2 …}；
【解答】解：根据定义知：有理数有：3512，3.1415926，﹣0.456，0，511，(-7)2；
无理数有：π，3.030030003…，-39，0.1；
正实数有：3512，π，3.1415926，3.030030003…，511，(-7)2，0.1；
整数有：3512，0，(-7)2；
2.（2020春•云梦县期中）把下列各数分别填在相应的集合中：
227，3.14159265，5，﹣0.8，32，-7，36，π3．
【解答】解：∵36=6，
∴36是有理数，
如图所示：
．
知识点3 实数与数轴
实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
【典例】
例1 （2020春•西乡塘区校级月考）如图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来．请在每个字母后面的空格填写对应的实数：，，0，，2，．
点表示的数是 ；点表示的数是 ；点表示的数是 ；点表示的数是 ；点表示的数是 ；点表示的数是 ．
【解答】解：点表示的数是；点表示的数是；点表示的数是0；点表示的数是；点表示的数是2；点表示的数是．
故答案为：，，0，，2，．
【方法总结】
本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点与实数一一对应是解题关键．
【随堂练习】
1．（2020春•定州市校级期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值．
（2）求的值．
【解答】解：（1）由题意点和点的距离为2，点表示的数为，因此点所表示的数．
（2）把的值代入得：
，
，
，
．
2．（2020•河北模拟）对于题目：实数，，的大小如图中数轴所示，化简：．
张皓程的解法如图所示：
（1）张皓程从第 ① 步开始出错．
（2）请你写出正确的解答过程．
【解答】解：（1）因为，且，
所以，，，
所以
所以是第①步出错，原因是去绝对值符号时，负数没有变号；
故答案为：①；
（2）因为，且，
所以，，，
．
知识点4 无理数大小的比较方法
常用方法：
（1）实数的性质：正实数大于0，负实数小于0；两个正实数比较大小，绝对值大的数大，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小
（2）数轴法：数轴右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
（3）比较被开方数的大小：a＞0，b＞0，
若a＞b，则；
若a＜b， 则；
若a＝b，则．
（4）作差法：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＝0，则a＝b；
若a-b＜0，则a＜b;
（5）作商法：a＞0，b＞0，
若＞1，则a＞b；
若＝1，则a＝b；
若＜1，则a＜b
（6）特殊值法：对于较复杂问题，可以代入一个符合条件的数，求出具体数值后再比较.
备注：，
【典例】
例1 （2020秋•澧县月考）在数轴上表示下列各数，并用“”连接起来．
，，，，，．
【解答】解：，，，，
在数轴上表示为：
，
．
【方法总结】
本题考查了数轴，绝对值，相反数和实数的大小比较等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
例2（2020秋•金水区校级月考）比较大小： ．（填“”，“ ”或“”
【解答】解：，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【方法总结】
此题主要考查了实数的大小比较，关键是掌握求差法比较大小的方法．
【随堂练习】
1．（2020秋•瑞安市期中）大于且小于的所有整数的积等于 0 ．
【解答】解：大于且小于的整数有，0，1，2，3，
积为，
故答案为：0．
2．（2020秋•崂山区期中）的绝对值 ，比较大小 ．
【解答】解：，
，
，
，
，
即：，
，
故答案为：，．
3．（2020秋•镇平县期中）比较大小错误的是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，因此选项不符合题意；
，
，
，
，
，因此选项不符合题意；
，
，
，
，因此选项不符合题意；
，，而，
，因此选项符合题意；
故选：．
知识点5 估计无理数的大小
1、熟记常用的完全平方数和立方数
2、一个实数的小数部分=这个实数-这个实数的整数部分.
【典例】
例1 （2020春•龙岩期末）已知的平方根是，的算术平方根是1，是的整数部分．
（1）求，，的值；
（2）求的立方根．
【解答】解：（1）的平方根是．
，
，
的算木平方根是1，
，
；
是的整数部分，，
．
（2），
，
，
的立方根是．
【方法总结】
本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键．
例2 （2020春•郯城县期中）阅读下面的文字，解答问题，
例如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
请解答：（1）的整数部分是 4 ，小数部分是 ．
（2）已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值．
【解答】解：（1），
，
的整数部分是：4，小数部分是：；
故答案为：4，；
（2）小数部分是，小数部分是，
，，
，
，
解得：或．
【方法总结】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•青羊区校级期中）已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的平方根．
【解答】解：，
，
又是的整数部分，是的小数部分，
，，
，
的平方根为．
故代数式的平方根．
2．（2020春•崇川区校级月考）一个正数的两个平方根为和，是的立方根，的小数部分是，求的平方根．
【解答】解：一个数的平方根为和，
，
，
，
是的立方根，
，
解得；
，的小数部分是，
，
．
3．（2020秋•农安县期中）已知为的整数部分，是121的算术平方根，求的值．
【解答】解：由题意得：，
，
解得：，
．
4．（2020秋•简阳市 期中）已知、为有理数，、分别表示的整数部分和小数部分，且，求的平方根．
【解答】解：，
，即，，
，即，
可得，，
解得：，，
则，
的平方根为．
知识点6 实数的运算
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号的要先算括号里面的.
【典例】
例1（2020秋•崇川区校级月考）已知a，b为实数，且1+a-(b-1)1-b=0，求a2020﹣b2021的值．
【解答】解：∵1+a-(b-1)1-b=0，
∴1+a+（1﹣b）1-b=0，
∵1﹣b≥0，
∴1+a＝0，1﹣b＝0，
解得a＝﹣1，b＝1，
∴a2020﹣b2021＝（﹣1）2020﹣12021＝1﹣1＝0．
【方法总结】
本题考查了非负数的性质：算术平方根具有非负性．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．
例2（2020秋•红岗区校级月考）计算：
（1）9+3-8+414；
（2）（6-25）×3-612．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+4×12
＝3﹣2+2
＝3；
（2）原式＝32-215-6×22
＝32-215-32
＝﹣215．
【方法总结】
（1）直接利用立方根的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【随堂练习】
1．（2020秋•惠安县期中）计算：4-38+（﹣1）2020．
【解答】解：原式＝2﹣2+1
＝1．
2．（2020秋•龙岗区校级期中）计算下列各题：
（1）（-32）2×(-2)2+12×3-125-（﹣5）3×30.008；
（2）（3+32-6）（3-32-6）．
【解答】解：（1）原式=94×2+12×（﹣5）+125×0.2
=92-52+25
＝27；
（2）原式＝[（3-6）+32][（3-6）﹣32]
＝（3-6）2﹣（32）2
=3+6-218-18
=-9-62．
综合运用
1．（2020春•克什克腾旗期末）在实数，0.21，，，，0.200020002中，无理数的个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：在实数，0.21，，，，0.200020002中，无理数有：、，一共2个．
故选：．
2．（2020春•越秀区校级期中）已知下列结论：①在数轴上能表示无理数，但不能表示无理数；②两个无理数的和还是无理数；③实数与数轴上的点一一对应；④无理数是无限小数，其中正确的结论是
A．①②B．②③C．③④D．①③④
【解答】解：①以0.5长为半径作圆，以原点为起点向右滚动一周，可得到的位置，故原说法错误；
②两个无理数的和不一定是无理数，例如：，故原说法错误；
③实数与数轴上的点一一对应，正确；
④无理数是无限小数，正确，
故选：．
3．（2020秋•山阳区校级期中）的整数部分是，小数部分是，则的值为
A．B．C．D．2
【解答】解：，
，，
．
故选：．
4．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知是整数，当取最小值时，的值是
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：，
，
且与最接近的整数是7，
当取最小值时，的值是7．
故选：．
5．（2020•海门市二模）若，则实数在数轴上对应的点的大致位置是
A．B．
C．D．
【解答】解：，
，
故选：．
6．（2020秋•石鼓区校级月考）若对于实数、定义一种新运算：，则值为 6 ．
【解答】解：，
，
故答案为：6．
7．（2020秋•道里区期末）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
8．（2020秋•达州期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示：
（1）用“”或“”填空： 0， 0， 0．
（2）化简：．
【解答】解：（1）由数轴可得，，且，
，，，
故答案为：，，；
（2），，，
．
9．（2020春•越秀区校级月考）已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根．
【解答】解：的算术平方根是3，的立方根是4，
，，
解得：，，
是的整数部分，，
，
，
的平方根是．
10．（2019秋•吴兴区期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为，即，故的整数部分是2，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
的整数部分为2，小数部分为．
结合以上材料，回答下列问题：
如果的小数部分为，的整数部分为，求的算术平方根．
【解答】解：的小数部分为，的整数部分为，且，，
，，
，
则的算术平方根是：．