初中数学人教版七年级下册5.1.1 相交线教学设计

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知识点1 直线交点个数
1. 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．
2. n条直线两两相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=个交点，最少有1个交点．
【典例】
例1（2020春•禅城区期末）平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是
A．4个B．3个C．6个D．5个
【解答】解：若4条直线相交，其位置关系有3种，如图所示：
则交点的个数有1个或4个或6个．所以最多有6个交点．
故选：．
【方法总结】
本题主要考查了直线相交时交点的情况，关键是画出图形．
【随堂练习】
1．（2020秋•淮北月考）下列说法正确的是
A．直线和直线是同一条直线
B．直线是射线的2倍
C．射线与射线是同一条射线
D．三条直线两两相交，有三个交点
【解答】解：、直线和直线是同一条直线，故本选项说法正确．
、直线和射线不能度量，故本选项说法不正确．
、射线与射线方向相反，不是同一条射线，故本选项说法不正确．
、三条直线两两相交有三个或一个交点，故本选项说法不正确．
故选：．
2．（2019秋•新化县期末）平面内两两相交的3条直线，其交点个数最少为个，最多为个，则等于
A．4B．5C．6D．以上都不对
【解答】解：根据题意可得：3条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即；
任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，3条直线相交，交点最多为3个，即；
则．
故选：．
知识点2 邻补角与对顶角
邻补角
1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.
2. 邻补角的模型：
∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，
特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.
对顶角
1. 对顶角的模型：
∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.
特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.
2. 对顶角的性质：对顶角相等.
【典例】
例1 （2020秋•金牛区校级期中）如图，已知直线与相交于点，，，平分，求和．
【解答】解：，
，
，
与是对顶角，
，
，
，
，
平分，
．
答：为；为．
【方法总结】
本题考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义．熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
例2 （2020秋•道外区期末）如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
平分，
，
故选：．
【方法总结】
本题考查的是对顶角、角平分线的定义，掌握对顶角相等、角平分线的定义是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•来宾期末）图中，和是对顶角的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、和不是对顶角，故选项错误；
、和不是对顶角，故选项错误；
、和是对顶角，故选项正确；
、和不是对顶角，故选项错误．
故选：．
2．（2020春•哈尔滨月考）如图，、交于点，平分，若，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：平分，
，
，
，
，
．
故选：．
3．（2020秋•叙州区期末）如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的大小为________．
【解答】解：是直角，
，
，
平分，
，
，
．
故答案为：．
知识点3 垂线
垂线
1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.
2. 垂直的模型：
说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.
②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.
结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.
3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段
1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.
2. 垂线段模型：
线段AB是点A到直线a的垂线段.
3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
注意：距离是长度，不是线段.
【典例】
例1 （2020春•孝义市期末）下列各图中，过直线外的点画直线的垂线，三角尺操作正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：用直角三角板的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿直角边画直线，
选项的画法正确，
故选：．
【方法总结】
此题主要考查了垂线的画法，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
例2（2020春•桥西区校级期中）如图直线，相交于点，，垂足为点，若，则的度数是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
【方法总结】
此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线定义．
例3 （2020春•太平区期末）关于垂线，小明给出了下面三种说法：①两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直；②两条直线的交点叫垂足；③直线，也可以说成．其中正确的有 ①③ （填序号）．
【解答】解：①两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，故原题说法正确；
②两条直线的交点叫交点，故原题说法错误；
③直线，也可以说成，故原题说法正确，
正确的说法有2个，
故答案为：①③．
【方法总结】
此题主要考查了垂线，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
例4（2020春•沙河口区期末）如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田处，并要求所挖的渠道最短．小明画线段，他的根据是__________________．
【解答】解：要把河中的水引到水池处，小明画线段垂直河岸，使挖的水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【方法总结】
本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线：垂线段最短．
【随堂练习】
1．（2020•南海区校级模拟）如图，，，已知，那么的大小是
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：．
2．（2020秋•绿园区期末）如图，直线、相交于点，于点，且，则为_______．
【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：．
3．（2020秋•南岗区期末）如图，直线，相交于点，，垂足为点，若，则_______．
【解答】解：，
，
，
，
，
故答案为：42．
4．（2020春•鱼台县期末）如图，村庄到公路的最短距离是的长，其根据是_________________________．
【解答】解：村庄到公路的最短距离是的长，其根据是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
5．（2020秋•香坊区校级期中）如图，直线、相交于点，、为射线，且，平分，．
（1）求的度数；
（2）请你直接写出图中4对相等的角（直角、平角除外）．
【解答】解：（1），
平分，
，
又，．
，
，
，
（2）由对顶角相等可得，，
由角平分线的定义可得，
，
而，
，
故图中相等的角有，，，．
知识点4 同位角、内错角、同旁内角
模型：
1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.
2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.
3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.
4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.
【典例】
例1（2020秋•朝阳区期末）如图，直线、被直线所截，则与是
A．内错角B．同位角C．同旁内角D．对顶角
【解答】解：直线、被直线所截，则与是同位角，
故选：．
【方法总结】
此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“ “形．
例2 （2020春•莘县期末）如图所示，下列说法：
①与是同位角；
②与是内错角；
③与是同旁内角；
④与是同旁内角．
其中正确的是
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【解答】解：①与是同位角，说法正确；
②与是内错角，说法错误；
③与是同旁内角，说法正确；
④与是同旁内角，说法正确；
故选：．
【方法总结】
此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“ “形，内错角的边构成“ “形，同旁内角的边构成“”形．
【随堂练习】
1. （2020春•越秀区校级期中）下列所示的四个图形中，和是同位角的是
A．②③B．①②③C．③④D．①②④
【解答】解：图①②④中，和是同位角，
故选：．
2．（2020春•长沙期末）下列四个图形中，与是内错角的是
A．B．
C．D．
【解答】解：、与是同位角，选项错误，不符合题意；
、与是同旁内角，选项错误，不符合题意；
、与不是内错角，选项错误，不符合题意；
、与是内错角，选项正确，符合题意；
故选：．
综合运用
1．（2020春•哈尔滨月考）如图，、交于点，平分，若，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：平分，
，
，
，
，
．
故选：．
2．（2020秋•朝阳区校级期中）如图，与相交于点，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：．，，
，
故本选项符合题意；
．，
，，
故本选项不合题意；
．与不平行，
，
故本选项不合题意；
．，
，
故本选项不合题意；
故选：．
3．（2020•昆明模拟）如图所示，下列说法中错误的是
A．和是同位角B．和是同旁内角
C．和是同旁内角D．和是内错角
【解答】解：、和是同位角，此选项说法正确；
、和是邻补角，此选项说法错误；
、和是同旁内角，此选项说法正确；
、和是内错角，此选项说法正确；
故选：．
4．（2020春•新泰市期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在
A．点B．点C．点D．点
【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在处，
故选：．
5．（2019春•和平区期末）下列说法中正确的是
A．有且只有一条直线垂直于已知直线
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C．互相垂直的两条线段一定相交
D．直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是，则点到直线的距离是
【解答】解：、和一条直线垂直的直线有无数条，故错误；
、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度，故错误；
、互相垂直的两条线段不一定相交，线段有长度限制，故错误；
、直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段就是垂线段，可表示点到直线的距离，故正确．
故选：．
6．（2019秋•卫辉市期末）如图，为平角，已知平分，平分，与相交于点，，则的度数为 ．
【解答】解：平分，平分，
，，
为平角，
，
，
故答案为：．
7．（2020秋•虎林市期末）如图，点在直线上，，垂足为，是的平分线，若，则______度， 度．
【解答】解：，
又是的平分线．
，
，垂足为．
，
．
故答案是：20和35．
8．（2019春•红塔区期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分；
（1）直接写出图中的对顶角为 ，的邻补角为 ；
（2）若，且，求的度数．
【解答】解：（1）的对顶角为，的邻补角为；
故答案为：，；
（2），，，
，
，
，
．