数学七年级下册6.3 实数教学设计

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知识点1 无理数的概念
1、无限不循环小数叫做无理数．例如等都是无理数
类型：（1）所有开方开不尽的数都是无理数．
（2）化简后含的数是无理数．
（3）无限不循环小数是无理数．
【典例】
例1（2020秋•淇滨区校级期中）下列各数：（相邻两个1之间依次多一个，其中无理数的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有：，，，（相邻两个1之间依次多一个，共4个．
故选：．
【方法总结】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
例2 （2020秋•滦州市期中）在下列各数：，，，，0.25，，（每两个7之间依次多一个中，无理数有______个．
【解答】解：、是分数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
0.25是有限小数，属于有理数；
无理数有，，（每两个7之间依次多一个共3个．
故答案为：3．
【方法总结】
此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．
【随堂练习】
1．（2020秋•南京期中）在、、4、、、3.010010001中，无理数有______个．
【解答】解：是分数，属于有理数；
4是整数，属于有理数；
是循环小数，属于有理数；
3.010010001是有限小数，属于有理数；
无理数有、共2个．
故答案为：2．
2．（2020秋•大洼区月考）下列各数中，，，3.14159，，，0，，是无理数的是 ，， ．
【解答】解：在所列实数中，无理数有，，，这3个数，
故答案为：，，．
知识点2 实数的概念
1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．
2、实数的分类：
1）按定义分：
2）按正负分：
3、小数与无理数，有理数的关系：
（1）有限小数（如：3.14,0.8）→可化为分数→是有理数；
（2）无限循环小数（如：）→可化为分数→是有理数；
（3）无限不循环小数（如：4.23598…）→不可化为分数→是无理数.
【典例】
例1（2020秋•嵊州市期中）把下列各数填在相应的横线上
1.4，2020，-2，-32，，0，3-8，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）
（1）整数： 2020，0，3-8 ；
（2）分数： 1.4，-32， ；
（3）无理数： -2，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1） ．
【解答】解：（1）整数：2020，0，3-8；
（2）分数：1.4，-32，；
（3）无理数：-2，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）．
故答案为：2020，0，3-8；1.4，-32，；-2，﹣π，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1）．
【方法总结】
本题考查的是实数，掌握实数的分类是解题的关键．
例2 （2020秋•兴化市月考）将下列各数填在相应的集合里：227，1﹣π，﹣0.2020020002…，0，﹣（﹣200%），﹣|﹣5|，﹣（﹣1）2，3.14159
负数集合（ 1﹣π，﹣0.2020020002…，﹣|﹣5|，﹣（﹣1）2 …）
正分数集合（ 227，3.14159 …）
自然数集合（ 0，﹣（﹣200%） …）
无理数集合（ 1﹣π，﹣0.2020020002… …）
【解答】解：负数集合（ 1﹣π，﹣0.2020020002…，﹣|﹣5|，﹣（﹣1）2 …）
正分数集合（227，3.14159 …）
自然数集合（ 0，﹣（﹣200%）…）
无理数集合（ 1﹣π，﹣0.2020020002……），
故答案为：1﹣π，﹣0.2020020002…，﹣|﹣5|，﹣（﹣1）2；227，3.14159；0，﹣（﹣200%）；1﹣π，﹣0.2020020002…．
【方法总结】
本题考查了实数，利用实数的分类是解题关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•山西月考）把下列各数分别填入相应集合内：0，5，3.14-π，227，-0.101001，-3-13．
无理数集合：{ 5，3.14﹣π，-3-13 …}；
负数集合：{ 3.14﹣π，﹣0.101001 …}；
分数集合：{ 227，﹣0.101001… …}．
【解答】解：无理数集合：{5，3.14-π，-3-13，⋯}；
负数集合：{3.14﹣π，﹣0.101001…}；
分数集合：{227，-0.101001⋯}；
故答案为：5，3.14﹣π，-3-13；3.14﹣π，﹣0.101001；227，﹣0.101001…
2．（2020秋•句容市月考）请将下列各数：12，7，﹣0.01，﹣3.2020020002…，﹣15，2.95⋅，0，π2；填入相应的括号内．
（1）整数集合{ 7，﹣15，0 …}；
（2）分数集合{ 12，﹣0.01，﹣3.2020020002…，2.95⋅ …}；
（3）负有理数集合{ ﹣0.01，﹣3.2020020002…，﹣15 …}；
（4）无理数集合{ ﹣3.2020020002…，π2 …}．
【解答】解：（1）整数集合{7，﹣15，0…}；
（2）分数集合{12，﹣0.01，﹣3.2020020002…，2.95⋅⋯}；
（3）负有理数集合{﹣0.01，﹣3.2020020002…，﹣15…}；
（4）无理数集合{﹣3.2020020002…，π2⋯}．
故答案为：7，﹣15，0；12，﹣0.01，﹣3.2020020002…，2.95⋅；﹣0.01，﹣3.2020020002…，﹣15；﹣3.2020020002…，π2．
知识点3 实数与数轴
实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
【典例】
例1 （2020秋•杏花岭区校级期中）如图，边长为1的正方形，沿着数轴顺时针连续滚动．起点和重合，则滚动2026次后，点在数轴上对应的数是 2024 ．
【解答】解：将起点和重合的正方形，沿着数轴顺时针滚动2次，点第1次落在数轴上的原点．以后每4次，点会落在数轴上的某一点，这样滚动2026次，点第次落在数轴上，因此点所表示的数为2024，
故答案为：2024．
【方法总结】
本题考查数轴表示数的意义和方法，理解符号和绝对值是确定有理数的必要条件是解决问题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•沙坪坝区校级月考）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是 ①③ ．（填序号）
①；②；③；④．
【解答】解：由图可得：，且，
，，，
正确的有：①③；
故答案为：①③．
2．（2020秋•榆林月考）画出数轴，在数轴上找出到距离为1的点．
【解答】解：在数轴上到距离为1的点所表示的数为和，
知识点4 无理数大小的比较方法
常用方法：
（1）实数的性质：正实数大于0，负实数小于0；两个正实数比较大小，绝对值大的数大，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小
（2）数轴法：数轴右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
（3）比较被开方数的大小：a＞0，b＞0，
若a＞b，则；
若a＜b， 则；
若a＝b，则．
（4）作差法：
若a-b＞0，则a＞b；
若a-b＝0，则a＝b；
若a-b＜0，则a＜b;
（5）作商法：a＞0，b＞0，
若＞1，则a＞b；
若＝1，则a＝b；
若＜1，则a＜b
（6）特殊值法：对于较复杂问题，可以代入一个符合条件的数，求出具体数值后再比较.
备注：，
【典例】
例1 （2020秋•沧州期中）有理数：，4，，，0，，，1．
（1）将上面各数在数轴（图①上表示出来，并把这些数用“”连接；
（2）请将以上各数填到相应集合的圈内（图②
【解答】解：（1）
，
；
（2）如图所示：
．
【方法总结】
本题考查了数轴，正数和负数，实数的大小比较等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解（1）的关键，能区分正数，负数的定义是解（2）的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
例2 （2020秋•青羊区校级期中）比较大小： 1．
【解答】解：，
，
即，
故答案为：．
【方法总结】
本题考查了实数的大小比较，能估算出的范围是解此题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•城阳区校级期中）比较大小： （用“”或“”或“”填空）．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
2．（2020秋•东坡区月考）若，，则与的大小关系是
A．B．C．D．无法断定
【解答】解：，，
，
，
．
故选：．
3．（2020春•锦江区校级月考）比较大小 ．
【解答】解：，
，
，
，
即，
故答案为：．
知识点5 估计无理数的大小
1、熟记常用的完全平方数和立方数
2、一个实数的小数部分=这个实数-这个实数的整数部分.
【典例】
例1（2020春•浦东新区期末）已知的整数部分是，小数部分是，求的值．
【解答】解：，
，，
．
【方法总结】
此题主要考查了估算无理数的大小，得出的取值范围是解题关键．
例2 （2020春•杭州期中）设实数的整数部分为，小数部分为．
（1）计算：；
（2）求的值．
【解答】解：，
，，
（1），
，，
，
；
（2），
，
，
，
．
【方法总结】
此题主要考查了实数的计算，以及实数的比较大小，关键是确定的整数部分和小数部分．
【随堂练习】
1．（2020秋•青羊区校级期中）已知的整数部分为，的小数部分为，则 ．
【解答】解：，
，，
，，
，
故答案为．
2．（2020秋•安居区期中）若的整数部分为，小数部分为，求的值 6 ．
【解答】解：，
，
又的整数部分为，小数部分为，
，，
，
故答案为：6．
3．（2020秋•吉安期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而于是可用来表示的小数部分．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 5 ，小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
【解答】解：（1），
，
的整数部分为5，小数部分为，
故答案为：5，；
（2），
，
的小数部分，
，
，
，
的整数部分为，
．
知识点6 实数的运算
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，有括号的要先算括号里面的.
【典例】
例1（2020春•江岸区校级月考）计算题：
（1）16-364×3-8；
（2）|2-5|+（5-25）．
【解答】解：（1）16-364×3-8
＝4﹣4×（﹣2）
＝4+8
＝12；
（2）|2-5|+（5-25）
=5-2+5-25
＝﹣2．
【方法总结】
本题主要考查了算术平方根以及立方根的意义，在进行实数运算时，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．
例2（2020秋•南岗区校级月考）计算：
（1）|2-3|+2（2+1）；
（2）4+3-8-14．
【解答】解：（1）|2-3|+2（2+1）
=3-2+2+2
=3+2．
（2）4+3-8-14
＝2+（﹣2）-12
=-12．
【方法总结】
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【随堂练习】
1．（2020春•越秀区校级月考）计算：
（1）36-327+(-2)2-214；
（2）|3-2|-4-（3-3）．
【解答】解：（1）原式＝6﹣3+2-32
＝3.5；
（2）原式＝2-3-2﹣3+3
＝﹣3．
2．（2020春•越秀区校级期中）（1）364-|3-3|+36；
（2）计算2(2-3)-|22-3|+(-3)2．
【解答】解：（1）原式＝4﹣（3-3）+6，
＝4﹣3+3+6，
＝7+3；
（2）原式＝2﹣32-（3﹣22）+3，
＝2﹣32-3+22+3，
＝2-2．
综合运用
1．（2020春•克什克腾旗期末）在实数，0.21，，，，0.200020002中，无理数的个数为
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：在实数，0.21，，，，0.200020002中，无理数有：、，一共2个．
故选：．
2．（2020春•越秀区校级期中）已知下列结论：①在数轴上能表示无理数，但不能表示无理数；②两个无理数的和还是无理数；③实数与数轴上的点一一对应；④无理数是无限小数，其中正确的结论是
A．①②B．②③C．③④D．①③④
【解答】解：①以0.5长为半径作圆，以原点为起点向右滚动一周，可得到的位置，故原说法错误；
②两个无理数的和不一定是无理数，例如：，故原说法错误；
③实数与数轴上的点一一对应，正确；
④无理数是无限小数，正确，
故选：．
3．（2020秋•山阳区校级期中）的整数部分是，小数部分是，则的值为
A．B．C．D．2
【解答】解：，
，，
．
故选：．
4．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知是整数，当取最小值时，的值是
A．5B．6C．7D．8
【解答】解：，
，
且与最接近的整数是7，
当取最小值时，的值是7．
故选：．
5．（2020•海门市二模）若，则实数在数轴上对应的点的大致位置是
A．B．
C．D．
【解答】解：，
，
故选：．
6．（2020秋•石鼓区校级月考）若对于实数、定义一种新运算：，则值为 6 ．
【解答】解：，
，
故答案为：6．
7．（2020秋•道里区期末）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
8．（2020秋•达州期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示：
（1）用“”或“”填空： 0， 0， 0．
（2）化简：．
【解答】解：（1）由数轴可得，，且，
，，，
故答案为：，，；
（2），，，
．
9．（2020春•越秀区校级月考）已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根．
【解答】解：的算术平方根是3，的立方根是4，
，，
解得：，，
是的整数部分，，
，
，
的平方根是．
10．（2019秋•吴兴区期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为，即，故的整数部分是2，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
的整数部分为2，小数部分为．
结合以上材料，回答下列问题：
如果的小数部分为，的整数部分为，求的算术平方根．
【解答】解：的小数部分为，的整数部分为，且，，
，，
，
则的算术平方根是：．