初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形教案设计

这是一份初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形教案设计，共10页。

授课老师根据实际条件针对性提问。
知识导图
课首小测
等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是 度．
[单选题] 若等腰三角形的周长为26，一边为11 ，则腰长为（）．
A.11 B.7.5 C.11 或7.5 D.以上都不对
知识梳理
知识点一.等腰三角形
等腰三角形的定义
等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
知识点二.等边三角形
等边三角形的性质
等边三角形的判定
导学一 ： 等腰三角形的定义
知识点讲解 等腰三角形的定义：指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。
例 1. [单选题] 如图，在 △ABC 中，点 D 在 BC 上，AB=AD=DC，∠B=80∘，则 ∠C 的度数为（）
A.30°B.40°C.45°D.60°
例 2. 等腰三角形的腰长为25cm，另一边长为13cm，求它的周长。
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
等腰三角形与等边三角形的定义
等腰三角形与等边三角形的性质与判定等腰三角形中的“三线合一”运用
课型
一对一/一对N
教学目标
了解等腰三角形与等边三角形的概念；
理解等腰三角形的性质，能运用性质解决实际问题；
能利用等角对等边或轴对称的性质判定三角形为等腰三角形； 了解等腰三角形“三线合一”性质，并能简单运用；
重、难点
等腰三角形性质与性质的应用； 等腰三角形的判定；
等腰三角形的“三线合一”。
例 3. 等腰三角形的腰长为13cm，另一边长为25cm，求它的周长。
例 4. 已知等腰三角形的一个角是70°，求其余两角。
【学有所获】 当题中出现等腰三角形，如果对于边没有明确交代是腰还是底边；对于角没有明确交代是顶角还是底角，需要分类讨论。
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[单选题] 有两边相等的三角形的两边长为3cm，7cm，则它的周长为（）
A.15cmB．17cmC．13cmD．17cm或13cm
已知等腰三角形的一个角是110°，求其余两角。
【学有所获】当对题目进行分类讨论以后，得到的结果要验证，是否满足题意、定理、公式和实际情况。
归纳：等腰三角形的顶角可以是锐角、直角和钝角；底角只能是 所以，看到等腰三角形中的一个角的度数时，要注意判断这个角可能是 还是 ，是否需要分类讨论。
导学二 ： 等腰三角形性质及判定
知识点讲解 等腰三角形性质及判定
等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。
等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
“三线合一”性质常用来证明： 证明线段相等；
2.证明两线垂直；
等腰三角形的判定：
有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）；
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）
例 1. [单选题] 如图，在在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD,CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中等腰三角形有（
）
A.5B.4C.3D.2
例 2. [单选题] （云南中考） 如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC ＝ 5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点
E，则△BEC的周长为（）
A．13B．14C．15D．16
例 3. [单选题] （聊城中考） 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE＝
AF．如果∠AED＝62º，那么∠DBF＝（）
A．62ºB．38ºC．28ºD．26º
例 4.
如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF
【学有所获】 由三线合一，证明线段相等。例 5.
如图2，AC=AD，CF＝DF.求证：AF⊥CD.
【学有所获】 由三线合一，证明两线垂直。
例 6. 如图，在 △ABC 中，BA=BC，D 在边 CB 上，且 DB=DA=AC．
(1) 如图 1，填空 ∠B= ∘，∠C= ∘；
(2) 若 M 为线段 BC 上的点，过 M 作直线 MH⊥AD 于 H，分别交直线 AB，AC 与点 N，E，如图 2．
①求证：△ANE 是等腰三角形；
②试写出线段 BN，CE，CD 之间的数量关系，并加以证明．
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[单选题] 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70∘ 方向的 M 处，它以每小时 40 海里的速度向正北方向航行，2 小时后到达位于灯塔 P 的北偏东 40∘ 的 N 处，则 N 处与与灯塔 P 的距离为（）
A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里
[单选题] 如图，△ABC中，已知AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜3B．x＞3C．3＜x＜6D．x＞6
在ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周长为14，BC=6，则AB的长为 。
如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，AB＝5 cm，则DC的长为 ．
如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ．以下五个结论：
① AD=BE； ② PQ∥AE； ③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°
恒成立的结论有 （把你认为正确的序号都填上）．
[单选题] （2010年宁波中考） 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
（2011年山东中考） 如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
求证AD=AE；
（2) 连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
导学三 ： 等边三角形的性质及判定
知识点讲解 等边三角形性质及判定
具有等腰三角形的一切性质，且具有如有性质三边相等；
三个角都相等，都是60°；
有三条对称轴；
每边都存在三线合一。
等边三角形的判定：
三边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
例 1. [单选题] 如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（）
A.180°B.220°C.240°D.300°
例 2. 如图，以A,B两点为其中两个定点作位置不同的等边三角形，最多可以做出多少个？
例 3. 如图，ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是斜边上的高，CE是中线，若AB=8，求DE长.
例 4. 如下图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶ ∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数
例 5. （山东年2011） 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝ CA．
求证：DE平分∠BDC；
若点M在DE上，且DC=DM， 求证： ME=BD．
例 6. （山东年） 如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.
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[单选题] 已知：△ABD和△ACE均为等边三角形，且∠DAB=∠CAE=60°，那么△ADC≌△AEB的根据是（ ）
A．边边边B．边角边C．角边角D．角角边
[单选题] 如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．120°D．15°
限时考场模拟
在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC
[单选题] 如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论： ①AE=BD ②CN=CM ③MN∥AB
其中正确结论的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？ 并说明理由．
课后作业
文字型课后作业
回顾等腰三角形，等边三角形性质及判定定理
题目型课后作业
等边三角形的三条边都 ，三个内角都 ，且每个内角都等于 。等边三角形的 、 、 互相重合。
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，若BD＝10，则CD＝ .
如图，AC和BD相交于点O，且AB//DC，OC=OD，求证：OA=OB。
及时复习等腰三角形与等边三角形。及时完成家庭作业。
课首小测
1.120°
2.C
导学一
知识点讲解 等腰三角形的定义：指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。
例题
1.B
2.63cm
解析:若腰长为25cm，则另一腰长也为25cm，底边长为13cm，则等腰三角形的周长为：25+25+13=63cm。3.25+13+13=51cm
解析:若底边长为25cm，则腰长为13cm，则等腰三角形的周长为：25+13+13=51cm。
4.70°、40°或55°、55°
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1.B
解析:分情况考虑：相等的两边是3cm时或相等的两边是7cm时．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断能否组成三角形后，再进一步计算其周长．
当相等的两边是3cm时，此时3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；
当相等的两边是7cm时，此时能够组成三角形，则其周长是7+7+3=17（cm）． 故选B．
2.35°、35°
锐角；顶角；底角
导学二
知识点讲解 等腰三角形性质及判定
例题
1.C
2.A
解析:选A.∵△ABC周长等于21， 又∵BC等于5，且AB=AC，∴AC=8，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴AE+EC=BE+EC=AC=8,
∴△BEC的周长=BE+EC+BC=8+5=13； 3.C
解析:选C.在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC得∠BAF=∠C=∠CAD=45 º， 又∠AED＝62º ,
∴∠EAC=62º - 45 º =17 º
,又CE＝AF，
∴△ABF≌△CAE,
∴∠ABF=17 º ,
∴∠DBF＝45 º-17 º=28º.
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
∵BD=CD
∴AD为等腰三角形ABC中位线
又∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F
∴DE＝DF（三线合一） 5.∵AC==AD
∴三角形ACD为等腰三角形又∵CF=DF
∴AF为等腰三角形中位线
∴AF⊥CD（三线合一）
6.（1）36；72 （2）①是等腰三角形；②CD=BN+CE． 解析:(2) ①在 △ADB 中， ∵DB=DA，∠B=36∘，
∴∠BAD=36∘． 在 △ACD 中
∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=72∘， ∴∠CAD=36∘， ∴∠BAD=∠CAD=36∘． ∵MH⊥AD，
∴∠AHN=∠AHE=90∘，
∴∠AEN=∠ANE=54∘，即 △ANE 是等腰三角形．
② CD=BN+CE． 证明：由①知 AN=AE， ∵BA=BC，DB=AC，
∴BN=AB−AN=BC−AE，CE=AE−AC=AE−BD，
∴BN+CE=BC−BD=CD，即 CD=BN+CE．
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1.D
B;C
解析:根据三角形的三边关系定理来确定腰长x的取值范围． 若△ABC是等腰三角形，需满足的条件是：
6-x＜x＜6+x，解得x＞3； 故选B．
3.8
4.2.5 cm 5.①②③⑤ 6.D
解析:由已知条件，根据等腰三角形的性质，角的平分线的性质，三角形内角和等于180°得到各个角的度数，应用度数进行判断，答案可得．
设CE与BD的交点为点O，
∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB，
再根据三角形内角和定理知，∠ABC=∠ACB=（180°-36°）/2 =72°，
∵BD是∠ABC的角的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=1/2 ∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
同理，∠A=∠ACE=∠BCE=36°，AE=CE，
∵∠DBC=36°，∠ACD=72°，
根据三角形内角和定理知，∠BDC=180°-72°-36°=72°
∴BD=BC，
同理CE=BC，
∵∠BOC=180°-36°-36°=108°，
∴∠ODC=∠DOC=∠OEB=∠EOB=72°，
∴△ABC，△ADB，△AEC，△BEO，△COD，△BCE，△BDC，△BOC都是等腰三角形，共8个． 故选D
7.(1)AD=AE
互相垂直
解析:（1）证明：在△ACD与△ABE中，
∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC
∴ △ACD≌△ABE．
∴ AD=AE．
（2) 互相垂直
在Rt△ADO与△AEO中，
∵OA=OA，AD=AE，
∴ △ADO≌△AEO．
∴ ∠DAO=∠EAO．即OA是∠BAC的平分线． 又∵AB=AC，
∴ OA⊥BC．
导学三
知识点讲解 等边三角形性质及判定
例题
1.C
2.2个
3.2
4.解：∵AD=DC，且∠A=20°，
∴∠A=∠ACD=20°， 又∵∠ACD∶∠BCD=2∶3
∴∠BCD=30°，
∴∠ACB=50°
∴∠ABC=180°－∠A－∠ACB =180°－20°－50°=110°
5.证明：（1）在等腰直角△ABC中，
∵∠CAD=∠CBD=15，
∴∠BAD=∠ABD=45-15=30，
∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，
∴∠DCA=∠DCB=45．
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30+30=60，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15+45=60，
∴∠BDM=∠EDC，∴DE平分∠BDC；
（2）
如图，连接MC，∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD． 又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM=15°，
∴△ADC≌△EMC，
6.证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABE=60° 又∵△BDE是等边三角形， ∴BE=BD，∠DBE=60°，
∴∠ABE=∠DBE
∴在△ABE和△CBD中， AB=BC;
∠ABE=∠DBE； BE=BD
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD
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1.B
解析:分析：根据判定方法寻找条件判断． 解答：∵△ABD和△ACE均为等边三角形，
∴DA=BA，AC=AE，∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC．
∴△ADC≌△AEB．（SAS） 故选B．
2.C
解析:分析：根据直角三角形的判定得△ABE是直角三角形，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解． 解答：设∠B=x
∵BD=AD
则∠B=∠BAD=x，∠ADE=2x，
∵AD=AE
∴∠AED=∠ADE=2x，
∵AE=EC，∠AED=∠EAC+∠C
∴∠EAC=∠C=x
又BD=DE=AD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，知∠BAE=90°， 则∠B+∠AED=x+2x=90° 得x=30°
∴∠BAC=180°-2x=120°
故选C．
限时考场模拟
1.解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，
∴DB=DO，OE=EC，
∵DE=DO+OE，
∴DE=BD+EC．
2.D
解析:解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，故①正确；
∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°，
∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，故②正确；
又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠NMC=∠ACD=60°，
∴MN∥AB，
故③正确．故选D．
3.等腰三角形
解析:△ABC是等腰三角形．
证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，
∵D是△ABC的BC边上的中点，
∴BD=DC，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），
∴∠EBD=∠FCD，
∴△ABC是等腰三角形．
课后作业
1.相等；相等；60°；高； 中线； 角平分线
2.5
证明：∵OC=OD
∴∠D=∠C
∵AB//DC
∴∠B =∠D，∠A =∠C
∴∠A =∠B
∴OA=OB