北师大版高中数学选择性必修第一册1-2-3直线与圆的位置关系学案

2.3　直线与圆的位置关系

[笔记教材]

知识点　直线与圆的位置关系及判断

直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系及判断

答案：两　一　零　＜　＞　＞　＝　＜

[重点理解]

1．判断直线与圆的位置关系的提醒

(1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入到圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程解的个数，进一步判断两者的位置关系．

(2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径长及圆心到直线的距离．

(3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，但较繁琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，也是判断直线与圆的位置关系的常用方法．

2．判断直线与圆的位置关系的具体方法

已知直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(1)几何法：圆心(a，b)到直线的距离d＝，当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交．

(2)代数法：联立直线与圆的方程，可得方程组消元后得到一个关于x(或y)的一元二次方程．根据一元二次方程的解的情况来判断直线与圆的位置关系．

若Δ<0，则方程无实数解，即方程组无实数解，直线与圆相离；若Δ＝0，则方程有唯一实数解，即方程组只有一个实数解，直线与圆相切；若Δ>0，则方程有两个不同的实数解，即方程组有两个不同的实数解，直线与圆相交．

3．求圆的切线的方法

(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线所在直线的斜率k(k存在时)，则由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可得切线方程．如果k＝0或k不存在，则由图形可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0.如图1所示，过点P1，P2的切线方程分别为l1：x＝x1，l2：y＝y2.

(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先假设切线斜率存在，如图2所示．

a．几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可得k，切线方程即可求出．

b．代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切线方程即可求出．

特别提醒

过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得k值是一个时，另一条切线斜率一定不存在，可用数形结合法求出，如图3中过P点的一条切线PB的斜率不存在．

4．弦长问题方法点拨

解决圆的弦长问题常用几何法，即由半径、弦心距、弦长一半构成的直角三角形建立等式关系．若用代数法，则要用弦长公式，即直线y＝kx＋b上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离为|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|·，计算繁琐．

5．与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题大致分为两类：一类是运用几何特征及几何手段先确定最值的位置，再进行计算；另一类是通过建立目标函数后，转化为函数的最值问题．这类问题具有较强的综合性．

[自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)直线与圆最多有两个公共点．(√)

(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．(√)

(3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离．()

(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．(√)

2．直线x－3y＋1＝0与圆x2＋y2＝的位置关系是(　　)

A．相离    B．相切

C．相交且过圆心      D．相交但不过圆心

答案：D

3．当直线x＋y－a＝0与圆x2＋(y－1)2＝2相离时，a的取值范围是________________．

答案：a<－1或a>3

4．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________.

答案：2

研习1  直线与圆的位置关系的判定

[典例1]　已知圆C：x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k为何值时，直线与圆：(1)相交；(2)相切；(3)相离.

[解]　方法一(代数法)：联立

消去y，整理得(k2＋1)x2－6k2x＋9k2－1＝0.

 Δ＝(－6k2)2－4(k2＋1)(9k2－1) ＝－32k2＋4＝4(1－8k2)．

(1)当直线与圆相交时，Δ>0，即－<k<.

(2)当直线和圆相切时，Δ＝0，即k＝±.

(3)当直线和圆相离时，Δ<0，即k<－或k>.

方法二(几何法)：圆心(0,0)到直线y＝kx－3k的距离d＝＝.

由条件知，圆的半径为r＝1.

(1)当直线与圆相交时，d<r，即<1，得－<k<.

(2)当直线与圆相切时，d＝r，即＝1，得k＝±.

(3)当直线与圆相离时，d>r，即>1，得k<－或k>.

[巧归纳]　直线与圆位置关系判断的三种方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断；(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

[练习1](2022浙江湖州联考)直线x－2y－1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)

A．相切

B．相交且直线过圆心  

C．相交但直线不过圆心 

D．相离

答案：C

解析：圆x2＋y2＝1的圆心O(0,0)，半径r＝1，因为圆心O(0,0)到直线x－2y－1＝0的距离．d＝＝<1.所以直线与圆相交但直线不过圆心．故选C.

研习2  直线与圆相切的问题

[典例2]　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．

[解]　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外．

(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－3－4k＝0，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，

所以＝1，即|k＋4|＝，

所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.

所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0.

(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.

综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.

[巧归纳]　1.过一点P(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y－y0＝k(x－x0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程．

2．一般地圆的切线问题，若已知切点，则用k1·k2＝－1(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点，则用d＝r(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式．

[练习2](2022广东东莞质量检查)若直线x＝5与圆x2＋y2－6x＋a＝0相切，则a＝________.

答案：5

解析：由题意，圆x2＋y2－6x＋a＝0可化为(x－3)2＋y2＝9－a，可得圆心坐标为(3,0)，半径r＝(a<9)，

因为直线x＝5和圆x2＋y2－6x＋a＝0相切，则圆的半径r＝5－3＝2，即＝2，解得a＝5.

研习3  弦长问题

[典例3]　如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．

[解]　圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，

所以弦心距d＝＝＝3.

因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，

所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．

设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，

于是＝3，解得k＝－.

故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.

综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.

[巧归纳]　求直线与圆相交弦长的三种方法

(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝求解．

 (2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝·|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．

(3)几何法：如上图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝.

[注意]通常采用几何法较为简便．

[练习3](原创题)在平面直角坐标系xOy中，直线(4m＋3)x－(m＋1)y＋＝0与圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．

答案：

解析：由(4m＋3)x－(m＋1)y＋＝0，得m(4x－y)＋3x－y＋＝0，

即直线过定点M，

圆C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，圆心C(1,1)，半径r＝2，

因为2＋(2－1)2<4，

所以M在圆内，

|CM|＝＝，

当CM⊥AB时，AB最短，M是AB的中点，

所以|AB|＝2＝2＝.

故答案为.

1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)

A．过圆心   B．相切

C．相离     D．相交

答案：D

解析：圆心为(1，－1)，圆心距d＝＝＜3＝r，所以直线与圆相交．

2．若直线x＋y＝4与圆x2＋y2＝r2(r>0)相切，则实数r的值等于(　　)

A.    B．1    

C.      D．2

答案：D

解析：由题意知圆心到直线的距离等于半径，得＝r，所以r＝2，故选D.

3．直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦长等于(　　)

A．4    B．2

C．2   D．2

答案：C

解析：如图易知，

直线y＝kx过圆x2＋y2＝2的圆心，则弦长|AB|即为该圆的直径，则弦长|AB|＝2.故选C.

4．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为________．

答案：2

解析：由圆心到直线的距离d＝＝，解得m＝2.

5．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线，其切线长是________．

答案：1

解析：点P到原点O的距离为|PO|＝，

∵r＝3，∴切线长为＝1.

[误区警示]

忽略斜率不存在的切线致错

[示例]　求过点P(6，－8)与圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0相切的直线方程．

[错解]　将圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－2)2＝25，

∴圆心的坐标为C(1,2)，半径r＝5.

易知点P(6，－8)在圆C的外部，设切线的方程为y＋8＝k(x－6)，即kx－y－6k－8＝0.

由圆心到切线的距离等于半径，得＝5，解得k＝－，

∴切线的方程为－x－y－6×－8＝0，即3x＋4y＋14＝0.

[错因分析]　过圆外一点作圆的切线有两条，错解中只考虑了斜率存在的情况，忽略了斜率不存在的情况，造成漏解．

[正解]　将圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－2)2＝25，

∴圆心的坐标为C(1,2)，半径r＝5.

易知点P(6，－8)在圆C的外部，显然直线x＝6是其中一条切线，设另一条切线的方程为y＋8＝k(x－6)，即kx－y－6k－8＝0.

由圆心到切线的距离等于半径，得＝5，解得k＝－.

∴切线的方程为－x－y－6×－8＝0，即3x＋4y＋14＝0.

综上可知，切线的方程为x＝6或3x＋4y＋14＝0.

[题后总结]　解决此类问题的关键是要考虑全面，分情况讨论．在解题过程中，常因为忽略斜率不存在的情况而出错．