高中数学北师大版 (2019)选择性必修第一册1.2 椭圆的简单几何性质学案设计

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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修第一册1.2 椭圆的简单几何性质学案设计，共12页。

[笔记教材]
知识点一椭圆的几何性质
答案：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 坐标轴原点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 2a 2b F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c
知识点二椭圆的离心率
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比________称为椭圆的离心率．
(2)性质：①
②形象记忆：0答案：(1)eq \f(c,a)
[重点理解]
1．对于范围的两点说明
(1)在处理椭圆的一些参数问题或者最值问题时要注意x，y的取值范围．
(2)在解析几何中，讨论曲线的范围就是确定方程中两个变量的取值范围．
2．对于顶点与长、短轴的四点说明
(1)椭圆的焦点必在它的长轴上．
(2)椭圆有四个顶点，两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置.
(3)要明确a，b，c三者的几何意义：a是长半轴长，也是短轴端点与焦点所连线段的长(a＝eq \r(b2＋c2))，b是短半轴长，c是焦距的一半，叫作半焦距．a，b，c恰好构成一个直角三角形(如图所示)，其中a是斜边，a>b，a>c，且a2＝b2＋c2.
(4)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图，找出其焦点，方法是以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．
3．对于离心率e的几点认识
(1)椭圆离心率e的取值范围：e∈(0,1)．
(2)e和eq \f(b,a)之间可以相互转化，因为由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))可推出eq \f(b,a)＝eq \r(1－e2).由eq \f(b,a)＝eq \r(1－e2)可知，当e趋近于1时，eq \f(b,a)趋近于0，此时椭圆扁平；当e趋近于0时，eq \f(b,a)趋近于1，此时b趋近于a，椭圆趋近于圆，因此，椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，离心率e越大，椭圆越扁，离心率e越小，椭圆越圆．若a＝b，则c＝0，两个焦点重合，这时椭圆就变为圆，它的方程为x2＋y2＝a2.
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.()
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.(√)
(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．(√)
2．(2022中央民族大学附属中学模拟)已知椭圆方程为4x2＋3y2＝12，则椭圆的长轴长为( )
A.eq \r(3) B．2 C．2eq \r(3) D．4
答案：D
3．(2022北京人大附中模拟)椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦距和离心率分别为( )
A．2和eq \f(1,4) B．1和eq \f(1,4)
C．2和eq \f(1,2) D．1和eq \f(1,2)
答案：C
4．(2022河北邢台模拟)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C．2 D．4
答案：A
5．若焦点在y轴上的椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,2)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则m的值为________．
答案：eq \f(3,2)
研习1 利用椭圆的标准方程研究几何性质
[典例1] 已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[解] 椭圆方程可化为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,\f(m,m＋3))＝1(m>0)，
∵m－eq \f(m,m＋3)＝eq \f(mm＋2,m＋3)＞0，
∴m＞eq \f(m,m＋3)，即a2＝m，b2＝eq \f(m,m＋3).
∴c＝eq \r(a2－b2)＝ eq \r(\f(mm＋2,m＋3)).
由e＝eq \f(\r(3),2)，得 eq \r(\f(m＋2,m＋3))＝eq \f(\r(3),2)，解得m＝1，
∴椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1.
∴a＝1，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(\r(3),2).
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两个焦点坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0))，四个顶点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
[巧归纳] 用标准方程研究几何性质的步骤：
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
[注意] 长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．
[练习1]求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解：椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m>0)可转化为eq \f(x2,\f(1,m2))＋eq \f(y2,\f(1,4m2))＝1.
∵m2<4m2，∴eq \f(1,m2)>eq \f(1,4m2)，
∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝eq \f(1,m)，短半轴长b＝eq \f(1,2m)，半焦距长c＝eq \f(\r(3),2m).
∴椭圆的长轴长2a＝eq \f(2,m)，短轴长2b＝eq \f(1,m)，焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2m)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2m)，0))，顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,m)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2m)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2m))).离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\f(\r(3),2m),\f(1,m))＝eq \f(\r(3),2).
研习2 利用几何性质求椭圆的标准方程
[典例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)短轴长2eq \r(5)，离心率e＝eq \f(2,3)；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
(1)[解] 由2b＝2eq \r(5)，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,3)，得b2＝5，eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(4,9)，a2＝9.
当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1；
当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1.
综上，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1或eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,5)＝1.
(2)[解] 依题意可设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
[巧归纳] 由几何性质求椭圆的标准方程的常用方法：
(1)用待定系数法．
(2)注意焦点位置不能确定时，应分类讨论．一般步骤是：
①求出a2，b2的值．
②确定焦点所在的坐标轴．
③写出标准方程．
[练习2](2022山东济南月考)(多选题)点F1，F2为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1
答案：ACD
解析：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
设椭圆上顶点为B，椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则需∠F1BF2≥90°，
∴|BF1|2＋|BF2|2≤|F1F2|2，即a2＋a2≤4c2，
∵c2＝a2－b2，则a2≥2b2，所以选项ACD满足．
故选ACD.
研习3 求椭圆的离心率
[典例3] (2022山东泰安一中学情检测)(多选题)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦点分别F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆C于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则该椭圆C的离心率e＝( )
A.eq \r(2)－1 B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \r(5)－2 D.eq \f(\r(5),3)
[答案] CD
[解析] 当∠PF2F1＝eq \f(π,2)时，
设|PF2|＝2，则由于tan∠PF1F2＝2，∴|F1F2|＝1，|PF1|＝eq \r(5)，
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝eq \r(5)＋2,2c＝|F1F2|＝1，
∴椭圆C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(1,\r(5)＋2)＝eq \r(5)－2，
当∠F1PF2＝eq \f(π,2)时，设|PF2|＝2，
则由于tan∠PF1F2＝2，
∴|PF1|＝1，|F1F2|＝eq \r(5)，
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝3,2c＝|F1F2|＝eq \r(5)，
∴椭圆C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(\r(5),3)，故选CD.
[巧归纳] 求椭圆离心率的值或范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c，可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
[练习3]已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
答案：A
解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，
所以eq \f(|b×0－a×0＋2ab|,\r(b2＋－a2))＝a，即2b＝eq \r(a2＋b2)，
所以a2＝3b2，
因为a2＝b2＋c2，
所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(2,3)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3).
1．(2022安徽马鞍山二中检测)已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的两焦点为F1，F2，点P是椭圆外部的一点，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为( )
A．(4，＋∞) B．(32，＋∞)
C．(8，＋∞) D．(2eq \r(3)，＋∞)
答案：A
解析：设点M是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上的任意一点，
由椭圆的定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＝4(定值)，
又因为点P是椭圆外部的一点，则|PF1|＋|PF2|>|MF1|＋|MF2|，
所以|PF1|＋|PF2|的取值范围为(4，＋∞)．
故选A.
2．(2022上海复旦附中检测)如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，tan B＝eq \f(3,4).以A，B为焦点的椭圆经过点C，若该椭圆的焦距为4，则其短轴的长为______．
答案：4eq \r(3)
解析：因为在△ABC中，∠A＝90°，tan B＝eq \f(3,4)，AB＝4，
所以AC＝3，BC＝eq \r(AB2＋AC2)＝5，
由椭圆的定义得AC＋BC＝2a，所以a＝4，
因为c＝2，所以b＝eq \r(a2－c2)＝2eq \r(3)，
故答案为4eq \r(3).
3．离心率e＝eq \f(1,2)，且过(2eq \r(2)，eq \r(3))的椭圆的标准方程为______________________．
答案：eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(y2,\f(41,3))＋eq \f(x2,\f(41,4))＝1
解析：(1)当焦点在x轴上时，因为离心率e＝eq \f(1,2)，此时a＝2c，b＝eq \r(3)c.
设椭圆方程eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1.
代入(2eq \r(2)，eq \r(3))可得eq \f(2\r(2)2,4c2)＋eq \f(\r(3)2,3c2)＝1⇒eq \f(2,c2)＋eq \f(1,c2)＝1⇒c2＝3.
故a2＝12，b2＝9，即椭圆方程eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2) 当焦点在y轴上时，因为离心率e＝eq \f(1,2)，此时a＝2c，b＝eq \r(3)c.
设椭圆方程eq \f(x2,3c2)＋eq \f(y2,4c2)＝1.
代入(2eq \r(2)，eq \r(3))可得eq \f(2\r(2)2,3c2)＋eq \f(\r(3)2,4c2)＝1⇒eq \f(8,3c2)＋eq \f(3,4c2)＝1⇒c2＝eq \f(41,12).故a2＝eq \f(41,3)，b2＝eq \f(41,4)，即椭圆方程eq \f(y2,\f(41,3))＋eq \f(x2,\f(41,4))＝1.
4．(2022吉林四平模拟)若椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与圆C1：x2＋y2＝9和圆C2：x2＋y2＝8均有且只有两个公共点，则椭圆C的标准方程是____________________．
答案：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
解析：根据圆和椭圆的对称性可知，圆C1与椭圆C交于长轴的两端点，圆C2与椭圆C交于短轴的两端点，
所以a＝3，b＝2eq \r(2)，
故椭圆C的标准方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
故答案为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.
5．(2022吉林汪清检测)求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标.
解：椭圆9x2＋y2＝81化为标准方程：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,81)＝1.
其中a＝9，b＝3，c＝eq \r(a2－b2)＝6eq \r(2).且焦点在y轴上．
长轴长2a＝18；短轴长2b＝6；离心率eq \f(c,a)＝ eq \f(2\r(2),3)；焦点坐标为(0，±6eq \r(2))；顶点坐标为(0，±9)，(±3,0)．
[误区警示]
忽略椭圆焦点的位置致错
[示例] 若椭圆eq \f(x2,k＋8)＋eq \f(y2,9)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，求k的值．
[错解] 由已知得a2＝k＋8，b2＝9.
又因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(k－1,k＋8)＝eq \f(1,4)，
解得k＝4.
[正解] (1)若焦点在x轴上，即当k＋8>9时，a2＝k＋8，b2＝9.
又因为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(k－1,k＋8)＝eq \f(1,4)，
解得k＝4.
(2)若焦点在y轴上，即当0又因为e＝eq \f(1,2)，
所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1－k,9)＝eq \f(1,4)，
解得k＝－eq \f(5,4).
综上可知，k＝4或k＝－eq \f(5,4).
[易错警示] 错解中忽视了椭圆的焦点位置的不确定性，应分焦点在x轴和y轴上两种情况进行讨论．在解椭圆的有关问题时，有时需要进行分类讨论，否则极易犯以偏概全的错误，如当字母的取值范围不能确定时，就需要分类讨论．
新课程标准
新学法解读
1.掌握简单的椭圆的几何性质．
2．了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响．
3．掌握直线与椭圆的位置关系及其应用.
1.根据椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质．
2．依据几何条件求出椭圆方程，并根据椭圆方程研究其他的几何性质．
3．类比直线与圆的位置关系研究直线与椭圆的位置关系．
4．会求直线与椭圆相交得到的弦长问题．
5．能够灵活运用椭圆的简单几何性质解决相关问题.
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
________
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
________
________
对称性
对称轴为________，对称中心为________
顶点
____________
____________
轴长
长轴长|A1A2|＝________，短轴长|B1B2|＝________
焦点
________
________
焦距
|F1F2|＝________