北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 双曲线的简单几何性质学案

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 双曲线的简单几何性质学案，共13页。


[笔记教材]
知识点一 双曲线的几何性质
答案：x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a x轴、y轴 (0,0) (－a,0) (a,0) (0，－a) (0，a) 2a 2b eq \f(c,a) e>1
知识点二 等轴双曲线
(1)______________等长的双曲线叫作等轴双曲线．
(2)等轴双曲线具有以下性质：
①方程形式为______________；
②渐近线方程为________，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
③实轴长和虚轴长都等于________，离心率e＝________.
答案：(1)实轴和虚轴 (2)①x2－y2＝λ(λ≠0) ②y＝±x ③2a eq \r(2)
[重点理解]
1．对于双曲线范围与对称性的几点说明
(1)双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆是封闭曲线．
(2)当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的．
(3)从“形”的角度看，双曲线与椭圆一样，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
(4)利用描点法画双曲线时，可以根据点的横坐标x的取值范围进行取点，可先用描点法画出双曲线在第一象限内的部分，再利用对称性画出整个双曲线．同时，在处理双曲线的一些含参问题时，要注意x的取值范围．
2．对于离心率的理解与应用
(1)e的几何意义
由等式c2＝a2＋b2，得eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1).
因此e越大，eq \f(b,a)也越大，即渐近线y＝±eq \f(b,a)x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
(2)因为e＝eq \f(c,a)，c＝eq \r(a2＋b2)，所以e＝eq \f(\r(a2＋b2),a).又eq \f(b,a)＝eq \r(e2－1)，所以b2＝a2(e2－1)．因此，在a，b，c，e四个参数中，只要知道其中两个，便可以求出其他两个．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)双曲线是轴对称图形．(√)
(2)双曲线的离心率越大，它的开口越小．()
(3)双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝1的虚轴长为4.()
2．双曲线eq \f(y2,4)－x2＝1的实轴长为( )
A．3 B．4 C．5 D．2
答案：B
3．(2022北京人大附中检测)若双曲线eq \f(x2,a)－y2＝1(a>0)的实轴长为2，则其渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \f(\r(2),2)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±x
答案：D
4．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于________．
答案：－eq \f(1,4)

研习1 利用双曲线的标准方程研究几何性质
[典例1] 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[解] 双曲线的方程化为标准形式是eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1，
∴a2＝9，b2＝4，
∴a＝3，b＝2，c＝eq \r(13).
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－eq \r(13)，0)，(eq \r(13)，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(13),3)，渐近线方程为y＝±eq \f(2,3)x.
[巧归纳] 1.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的性质．
2．把双曲线标准方程等号右边的1换成0，化简即可得到双曲线的渐近线方程．
[练习1](2022湖南益阳月考)(多选题)已知双曲线C：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,m)＝1过点(3，eq \r(2))，则下列结论正确的是( )
A．C的焦距为4
B．C的离心率为eq \r(3)
C．C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x
D．直线2x－eq \r(3)y－1＝0与C有两个公共点
答案：AC
解析：由双曲线C：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,m)＝1过点(3，eq \r(2))，可得m＝1，
则双曲线C的标准方程为eq \f(x2,3)－y2＝1；
所以a＝eq \r(3)，b＝1，c＝eq \r(a2＋b2)＝2，
因为椭圆C的焦距为2c＝4，所以选项A正确；
因为椭圆C的离心率为eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，所以选项B不正确；
因为椭圆C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，所以选项C正确；
将直线2x－eq \r(3)y－1＝0与双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1联立消y可得3x2－4x＋4＝0，
Δ＝(－4)2－4×3×4＝－32<0，
所以直线2x－eq \r(3)y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确．
故选AC.
研习2 利用几何性质求双曲线的标准方程
[典例2] 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：
(1)离心率e＝eq \r(2)，且过点(－5,3)；
(2)过点P(2，－1)，渐近线方程是y＝±3x.
(1)[解] 因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，
所以c＝eq \r(2)a，b2＝c2－a2＝a2.
当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1，
把点(－5,3)代入，得a2＝16，所以所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1；
当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,a2)＝1，
把点(－5,3)代入，得a2＝－16，不合题意．
综上可知，所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,16)＝1.
(2)[解] 由渐近线方程是3x±y＝0，可设所求双曲线方程为eq \f(x2,\f(1,9))－y2＝λ(λ≠0)，(*)将点P(2，－1)的坐标代入(*)，得λ＝35，
所以所求双曲线方程为eq \f(x2,\f(35,9))－eq \f(y2,35)＝1.
[巧归纳] (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧：
①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
③与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,b2＋λ)＝1(λ≠0，－b2<λ④与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
[练习2](1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(eq \r(6)，2)，求双曲线方程．
(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为eq \f(5,3)，且经过点M(－3,2eq \r(3))，求双曲线方程．
(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6，求双曲线方程．
(1)解：设双曲线方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
由题意知eq \f(a,b)＝eq \f(2,3).
又∵双曲线过点P(eq \r(6)，2)，
∴eq \f(4,a2)－eq \f(6,b2)＝1，
依题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,b)＝\f(2,3)，,\f(4,a2)－\f(6,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(4,3)，,b2＝3.))
故所求双曲线方程为eq \f(y2,\f(4,3))－eq \f(x2,3)＝1.
(2)解：设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
∵e＝eq \f(5,3)，
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝eq \f(25,9)，
∴eq \f(b,a)＝eq \f(4,3).
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(4,3)，,\f(9,a2)－\f(12,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝\f(9,4)，,b2＝4.))
∴所求的双曲线方程为eq \f(x2,\f(9,4))－eq \f(y2,4)＝1.
(3)解：设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，即eq \f(x2,\f(λ,4))－eq \f(y2,\f(λ,9))＝1(λ≠0)，
由题意得a＝3.
当λ>0时，eq \f(λ,4)＝9，λ＝36，双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1；
当λ<0时，eq \f(－λ,9)＝9，λ＝－81，双曲线方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,\f(81,4))＝1.
故所求双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,\f(81,4))＝1.
研习3 与离心率、渐近线有关的性质问题
[典例3] 双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x，则离心率为( )
A.eq \f(5,4) B.eq \f(\r(5),2)
C.eq \f(5,3)或eq \f(5,4) D.eq \f(\r(5),2)或eq \f(\r(15),3)
[答案] C
[解析] 当焦点在x轴上时，eq \f(b,a)＝eq \f(3,4)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(5,4)，
当焦点在y轴上时，eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(5,3)，故选C.
[巧归纳] (1)求双曲线离心率的常见方法：
一是依据条件求出a，c，再计算e＝eq \f(c,a).
二是依据条件建立参数a，b，c的关系式．可以消去b转化成离心率e的方程求解，也可以消去c转化成eq \f(b,a)的方程，求出eq \f(b,a)后利用e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))求离心率．
(2)若求离心率e的取值范围，则应由题意寻求a，b，c的不等关系，由此得出关于e的不等式，再进行求解．
[练习3](2022江苏南京月考)(多选题)关于双曲线C1：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1与双曲线C2：eq \f(y2,9)－eq \f(x2,16)＝－1，下列说法正确的是( )
A．它们有相同的渐近线
B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等
D．它们的焦距相等
答案：CD
解析：双曲线C1的渐近线为y＝±eq \f(4,3)x，
双曲线C2的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x，故A错误；
双曲线C1的顶点坐标为(±3,0)，双曲线C2的顶点坐标为(±4,0)，故B错误；
双曲线C1的离心率e1＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(16,9))＝eq \f(5,3)，双曲线C2的离心率e2＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(9,16))＝eq \f(5,4)，e1≠e2，故C正确；
双曲线C1的焦距2c＝10，双曲线C2的焦距2c＝10，故D正确．故选CD.
1．(2022内蒙古赤峰二中检测)双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1与双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1有相同的( )
A．离心率 B．渐近线
C．实轴长 D．焦点
答案：D
解析：由双曲线的方程eq \f(x2,3)－y2＝1，得离心率为e＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，实轴长为2eq \r(3)，焦点为(－2,0)，(2,0)．
由双曲线的方程x2－eq \f(y2,3)＝1得，离心率为e＝eq \f(2,1)＝2，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，实轴长为2，焦点为(－2,0)，(2,0)．故选D.
2．(2022湖南长郡中学月考)已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，且经过点(2，2eq \r(5))，则该双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－y2＝1 B.eq \f(y2,4)－x2＝1
C．x2－eq \f(y2,4)＝1 D．y2－eq \f(x2,4)＝1
答案：B
解析：对于A选项，双曲线的渐近线为y＝±eq \f(1,2)x，不符合题意．
对于B选项，双曲线的渐近线为y＝±2x，且过点(2，2eq \r(5))，符合题意．
对于C选项，双曲线的渐近线为y＝±2x，但不过点(2，2eq \r(5))，不符合题意．
对于D选项，双曲线的渐近线为y＝±eq \f(1,2)x，不符合题意．
综上所述，本题选B.
3．(2022上海交大附中检测)若方程(k－1)x2＋(5－2k)y2＝1表示的曲线为双曲线，则实数k的取值范围为________________．
答案：(－∞，1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞))
解析：因为方程(k－1)x2＋(5－2k)y2＝1表示双曲线．
故(k－1)(5－2k)<0，即(k－1)(2k－5)>0，解得k∈(－∞，1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞)).
故答案为(－∞，1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞)).
4．(2022四川泸县第一中学月考)已知矩形 ABCD，AB＝4，BC＝3，以 A, B 为焦点，且 过 C，D 两点的双曲线的离心率为________．
答案：2
解析：A，B为焦点⇒2c＝4⇒c＝2，C在双曲线上，则|AC|－|BC|＝2a，
又|AC|＝eq \r(AB2＋BC2)＝5⇒2a＝2⇒a＝1，
∴e＝eq \f(c,a)＝2.
故答案为2.
5．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为eq \f(13,5)；
(2)渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，且经过点A(2，－3)．
(1)解：由题意，知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
因为eq \f(c,a)＝eq \f(13,5)，
所以a＝5，b＝eq \r(c2－a2)＝12.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,144)＝1.
(2)解：方法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，若焦点在x轴上，
设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2).①
因为点A(2，－3)在双曲线上，
所以eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1.②
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \f(a,b)＝eq \f(1,2).③
因为点A(2，－3)在双曲线上，
所以eq \f(9,a2)－eq \f(4,b2)＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1.
方法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，
可设双曲线的方程为eq \f(x2,22)－y2＝λ(λ≠0)．
因为点A(2，－3)在双曲线上，
所以eq \f(22,22)－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1.
[误区警示]
忽略双曲线方程中含有的字母正负致错
[示例] 已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值．
[错解] 将双曲线方程化为标准方程为eq \f(x2,\f(1,k))－eq \f(y2,\f(8,k))＝1.
由题意知焦点在y轴上，
所以a2＝eq \f(8,k)，b2＝eq \f(1,k)，
所以c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(\f(8,k)－\f(1,k))＝3，即eq \f(7,k)＝9，
所以k＝eq \f(7,9).
[正解] 将双曲线方程化为标准方程为 eq \f(x2,\f(1,k))－eq \f(y2,\f(8,k))＝1.
因为双曲线的一个焦点是(0,3)，
所以焦点在y轴上，
所以c＝3，a2＝－eq \f(8,k)，b2＝－eq \f(1,k)，
所以a2＋b2＝－eq \f(8,k)－eq \f(1,k)＝c2＝9，
所以k＝－1.
[易错警示] 错解有两处错误：一是a2，b2的值的确定，应该是a2＝－eq \f(8,k)，b2＝－eq \f(1,k)；二是用错了a，b，c的关系式，在双曲线中c2＝a2＋b2.
新课程标准
新学法解读
1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称轴、顶点、实轴长和虚轴长等)．
2．了解双曲线的渐近线，能用双曲线的简单几何性质解决简单的相关问题.
1.依据双曲线的方程、图象研究双曲线的简单几何性质．
2．依据几何条件求出双曲线的标准方程，并利用双曲线的简单几何性质解决相关的问题．
3．能综合利用双曲线的简单几何性质解决相关的问题.
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准
方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
图形
范围
____________
____________
对称性
对称轴：________，对称中心：________
顶点
A1________，
A2________
A1________，
A2________
轴长
实轴长|A1A2|＝________，虚轴长|B1B2|＝________
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
离心率
e＝________且________
渐近线
直线y＝±eq \f(b,a)x
直线y＝±eq \f(a,b)x