必修 第二册6.1 余弦定理与正弦定理巩固练习

【精挑】6.1 余弦定理与正弦定理-2课堂练习

一．填空题

1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足，则的值为           .

2．在弹性限度内，弹簧所受的压缩力与缩短的距离按胡克定律计算，今有一弹簧原长90，每压缩需的压缩力，若把这根弹簧从压缩至（在弹性限度内），则外力克服弹簧弹力所做的功为        （结果用小数表示）.

3．

在梯形中，已知，，，分别为，的中点，若，则       ．

4．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若，则m+n的取值范围是           ．

5．

已知为正实数，向量，向量，若，则最小值为___________.

6．向量，满足||=1，||=，（ +）⊥（2﹣），则向量与的夹角为　    　．

7．已知a＝(1，－1)，b＝(－1,3)，c＝(3,5)，若c＝xa＋yb，则实数x＝________，y＝________.

8．为等腰直角三角形，，为斜边的高，点在射线上，则的最小值为       ．

9．

已知向量，满足，，且（），则          ．

10．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，，则________．

11．

已知向量是单位向量，向量，若，则的夹角为___________.

12．已知向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cos α，sin α)，则向量与向量的夹角的取值范围是________．

13．已知力F1，F2，F3满足|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，且F1＋F2＋F3＝0，则|F1－F2|为________．

14．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体的重力大小为10 N，则每根绳子的拉力大小是________．

15．

已知， 是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值为__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】∵，∴，∵，∴

，．所以答案应填：．

考点：向量在几何中的应用．

【思路点睛】根据向量的加法法则，由化简得，结合已知条件的变形可得

，从而可得．本题给出中，点满足向量等式，求参数的值，着重考查了向量的加减法则．平面向量基本定理和向量在几何中的应用等知识，属于中档题．

2．【答案】

【解析】由题目条件知把这根弹簧从压缩至（在弹性限度内）需要的力，从而外力克服弹簧弹力所做的功为，故答案填.

考点：向量问题在物理方面的应用.

3．【答案】

【解析】试题分析：如图所示，因为，，，分别为，的中点，所以因为,所以,, 所以

考点：平面向量的线性运算．

【方法点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，向量加法．减法的三角形法则，考查了推理能力和运算能力，属于中档题.解得本题首先作出图形，根据，分别为，的中点，得到在中，根据向量加法的三角形法则表示出,再有向量减法的三角形法则得到的表达式.

4．【答案】（﹣1，0）

【解析】试题分析：先利用向量数量积运算性质，将两边平方，消去半径得m．n的数量关系，利用向量加法的平行四边形法则，可判断m+n一定为负值，从而可得正确结果．

试题解析：解：∵|OC|=|OB|=|OA|，，

∴2=（）2=m22+n22+2mn？

∴1=m2+n2+2mncos∠AOB

当∠AOB=60°时，m2+n2+mn=1，即（m+n）2﹣mn=1，即（m+n）2=1+mn＜1，

所以（m+n）2＜1，

∴﹣1＜m+n＜1，当，趋近射线OD，由平行四边形法则=，此时显然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，

∴m+n＜0，所以m+n的取值范围（﹣1，0）．

故答案为：（﹣1，0）．

考点：向量在几何中的应用．

点评：本题主要考查了平面向量的几何意义，平面向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，平面向量数量积运算的综合运用，排除法解选择题，难度较大．

5．【答案】

【解析】

试题分析：因为，所以，即.因为为正实数，则有，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为.

考点：1．向量平行的充要条件；2．基本不等式.

【思维点睛】在解答一些有附有一定条件的求代数式的值．值域（最值）时，根据代数式的结构特征，将相关位置上的常数利用已知限制条件代换为一个代数式，从中发现规律，进而发现解题途径，常常能简化计算过程，减小计算量，又能收到意想不到的效果.

6．【答案】90°

【解析】解：因为||=1，||=，（ +）⊥（2﹣），

所以（+）？（2﹣）=2+﹣=0，

则2+﹣2=0，即=0，

所以，则向量与的夹角为90°，

故答案为：90°．

7．【答案】7　4

【解析】

8．【答案】

【解析】如图，建立平面直角坐标系，设，那么，

所以，所以当时，函数的最小值是．

考点：平面向量的应用

9．【答案】

【解析】

试题分析：设，则，又因为，即，所以，解得，即，解得．

考点：向量的坐标运算．

10．【答案】

【解析】因为

,根据向量数量积的几何意义得：

．

【考点】向量在几何中的应用．

【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算．向量的数量积．运用向量的几何运算求，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积几何意义计算，体现了数学几何意义的运用，．是思维能力与计算能力的综合体现．

11．【答案】

【解析】

试题分析：设的夹角为，因为向量是单位向量，所以，，所以，解之得，所以.

考点：1.向量数量积的定义；2.向量的坐标运算.

12．【答案】

【解析】由题意，得＝＋＝(2＋cos α，2＋sin α)，所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使直线OA与圆相切时，向量与向量的夹角分别达到最大．最小值．

13．【答案】

【解析】∵F1＋F2＝－F3，(F1＋F2)2＝(－F3)2.

即F＋F＋2F1·F2＝F，

∴F1·F2＝－.

∴|F1－F2|＝＝＝.

14．【答案】10 N

【解析】因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.

15．【答案】

【解析】由题意可得： ，则： ，

，

由平面向量的夹角公式可得：

，解得： .