九年级下册2 30°、45°、60°角的三角函数值一课一练

专训1.2-3 特殊角三角函数值的有关计算

一、单选题

1．（2021·山东招远·九年级期中）点关于轴对称的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

先根据特殊角的三角函数值，求得点的坐标，然后根据关于轴对称的性质，求解即可．

【详解】

解：，

∴点的坐标为

点关于轴对称的点的坐标是

故选C

【点睛】

此题主要考查了特殊角的三角函数值，平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数

2．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）sin45°的值为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】

直接利用45°的正弦值得到答案即可．

【详解】

解：∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查了45°的正弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解本题的关键．

3．（2021·黑龙江肇源·九年级期中）点关于y轴对称的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据关于y轴的对称点的坐标特点为：横坐标互为相反数，纵坐标不变进行解题即可．

【详解】

解：点化简得，

∴关于y轴对称的点的坐标是；

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了特殊角的三角函数值，平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

4．（2021·上海市罗星中学九年级期中）以下与tan30°大小相等的是（　　）

A．cos60° B．cot60° C．cot30° D．tan60°

【答案】B

【分析】

分别求出特殊角锐角三角函数值，即可求解．

【详解】

解：因为 ，

A、 ，故本选项不符合题意；

B、 ，故本选项符合题意；

C、，故本选项不符合题意；

D、 ，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握 角锐角三角函数值是解题的关键．

5．（2021·安徽·合肥一六八中学模拟预测）下列是有理数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

需要对每一个实数的值进行计算，再根据有理数的定义进行判断．

【详解】

解：A、，是有理数，符合题意；

B、，不是有理数，不符合题意；

C、，不是有理数，不符合题意；

D、，不是有理数，不符合题意；

故选：A．

【点睛】

此题考查了有理数的概念以及求特殊角的三角函数值，掌握有理数的概念和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

6．（2021·全国·九年级专题练习）已知为锐角，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据已知条件可以求得，再根据特殊角的正弦值解答即可．

【详解】

解：∵为锐角，，

∴，

∴.

故选：A．

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，熟悉、、角的各种三角函数值是解题的关键．

7．（2021·江苏·常州外国语学校九年级月考）已知α为锐角，sin（α﹣15°）＝，则α的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【答案】D

【分析】

根据sin60°＝得到α﹣15°=60°计算即可．

【详解】

∵sin60°＝，sin（α﹣15°）＝，

∴α﹣15°=60°，

∴α=75°，

故选D．

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

8．（2021·安徽省安庆市外国语学校九年级月考）已知锐角满足sin＝1，则锐角的度数为（    ）

A．25° B．40° C．45° D．65°

【答案】D

【分析】

先求出sin的值，然后可得出锐角的度数．

【详解】

解：，

∴，

解得：，

故选：D．

【点睛】

此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题．

9．（2021·重庆巴蜀中学九年级月考）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，，则∠B的度数是（   ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【答案】C

【分析】

根据特殊角的三角函数值即可求出∠A的值，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出∠B的度数．

【详解】

解：∵在RtABC中，∠C＝90°，，

∴∠A＝30°．

∴∠B＝90°－∠A＝60°．

故选：C．

【点睛】

解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值及直角三角形的性质．

10．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校九年级月考）若cosA，则锐角∠A为（　　）

A．30° B．15° C．45° D．60°

【答案】C

【分析】

直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案．

【详解】

由cosA，则锐角∠A为45°，

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

二、填空题

11．（2021·山东招远·九年级期中）的值为____．

【答案】

【分析】

根据特殊角的三角函数值与负指数幂的运算法则即可求解．

【详解】

=

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值与负指数幂的运算．

12．（2021·全国·九年级专题练习）在中，，若∠A=45°，则______，______，______，______，______．

【答案】45°                   

【分析】

由直角三角形中两锐角互余得到的度数，再由特殊角的三角函数值得到答案．

【详解】

解：∵在中，，

∴

∴，，，

故答案为：；；；；

【点睛】

本题考查直角三角形中两锐角互余，特殊角的三角函数值等知识点，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题关键．

13．（2021·山东省泰安第十五中学九年级月考）在 中，，，，则 ___________， ___________， __________．

【答案】        3   

【分析】

利用含30度角的直角三角形的性质和三角函数进行求解即可．

【详解】

解：如图所示，

∵∠C=90°，∠A=60°，

∴∠B=30°，

∴，，

∴，

故答案为：；；3．

【点睛】

本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质和三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

14．（2021·江苏·星海实验中学九年级期中）已知△ABC的内角满足|tanA﹣3|+＝0，则∠C＝_____度．

【答案】75

【分析】

根据非负数的和为零，可得特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．

【详解】

解：由题意，得，

∴

∴∠A＝60°，∠B＝45°，

∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，

故答案为与：75．

【点睛】

本题主要考查了绝对值和二次根式的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握特殊角的三角函数值．

15．（2021·山东栖霞·九年级期中）计算：_________．

【答案】

【分析】

根据解特殊角的三角函数值解答．

【详解】

解：

【点睛】

考查了特殊角的三角函数值．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

16．（2021·全国·九年级专题练习）若则________°．

【答案】

【分析】

根据可转化为，然后根据特殊角的三角函数值解答即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∴.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了特殊角的三角函数值的知识点，熟悉相关性质是解题的关键．

17．（2021·全国·九年级专题练习）已知，则锐角________．

【答案】

【分析】

根据一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．

【详解】

解：∵，

而，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查在直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦，熟悉相关性质是解题的关键．

18．（2021·全国·九年级专题练习）为一锐角，且，那么________．

【答案】

【分析】

直接根据tan45°＝1进行解答即可．

【详解】

解：∵为锐角，且，，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．

19．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）已知是锐角，，则=____°．

【答案】

【分析】

根据为锐角及解答即可．

【详解】

解：∵是锐角，，

∴，

又∵，

．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

三、解答题

20．（2021·吉林·长春外国语学校九年级期中）计算：．

【答案】2

【分析】

按顺序分别进行零指数幂运算、代入特殊角的三角函数值、化简绝对值、进行负整数指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可．

【详解】

解：

=

=．

【点睛】

本题考查了实数的运算，涉及了0次幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．

21．（2021·江苏惠山·九年级期中）计算：

（1）         （2） a(2 − a) + (a + 1)(a − 1)

【答案】（1）8；（2）2a-1

【分析】

（1）根据绝对值，特殊三角函数值，负整指数幂的运算法则求解即可；

（2）根据整式的乘法，求解即可．

【详解】

解：（1）

（2）

【点睛】

此题考查了实数的运算和整式的乘法，涉及了特殊三角函数值、绝对值、负整指数幂，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

22．（2021·浙江平阳·九年级期中）（1）计算：．

（2）化简：．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂的意义及乘方运算即可完成；

（2）用完全平方公式、单项式乘多项式的法则进行，最后合并同类项即可．

【详解】

（1）解：原式

（2）解：原式

【点睛】

本题考查了特殊角三角函数值，零指数幂的意义，完全平方公式，单项式乘多项式及同类项合并等知识，掌握这些知识并熟练进行运算是关键．

23．（2021·黑龙江肇源·九年级期中）计算：；

【答案】3

【分析】

由负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数进行化简，即可得到答案．

【详解】

解：

=

=．

【点睛】

本题考查了负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．

24．（2021·全国·九年级专题练习）先化简，再求代数式的值，．

【答案】，

【分析】

将除法转化为乘法运算，括号内进行分式的减法运算，进而根据分式的性质化简，根据特殊角的三角函数值代入求得，进而将的值代入求出分式的值即可．

【详解】

原式

当时

原式

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，准确的计算是解题的关键．

25．（2021·黑龙江·哈尔滨市第一一三中学校九年级月考）先化简，再求代数式的值，其中a＝3tan30°﹣2cos60°．

【答案】，

【分析】

先把除法化为乘法进行约分，再算减法，最后代入求值即可求解．

【详解】

解：原式=

=

=

=，

当a＝3tan30°﹣2cos60°=时，

原式=．

【点睛】

本题主要考查分式化简求值，以及特殊角三角函数值，分母有理化，掌握分式约分和分式的加减法运算法则是解题的关键．

26．（2021·山东招远·九年级期中）（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

根据特殊角的三角函数值依次代入，然后根据实数的混合运算法则求解即可．

【详解】

解：（1）原式

；

（2）原式

．

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，掌握实数的混合运算法则是解题关键．

27．（2021·江苏·苏州市立达中学校九年级期中）计算：3sin30°•cos60°﹣tan230°．

【答案】

【分析】

把特殊角的三角函数值代入计算可得答案．

【详解】

解：原式

．

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

28．（2021·江苏姑苏·九年级期中）计算：|﹣1|+sin45°﹣+tan260°．

【答案】

【分析】

本题涉及绝对值、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【详解】

解：|﹣1|+sin45°﹣+tan260°

．

【点睛】

本题考查了实数的综合运算能力．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值、乘方、二次根式化简等考点的运算．

29．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级期中）计算：．

【答案】

【分析】

将特殊角的三角函数值代入求解即可．

【详解】

解：原式

．

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

30．（2021·山东·济宁市第十五中学九年级月考）如图，是的高，，，，求的长．

【答案】

【分析】

在 中，利用锐角三角函数可得： ，然后在中，由，可得 ，从而得到 ，即可求解．

【详解】

解：∵是的高，

∴AD⊥BC，

在 中，，，

∴ ，

∴ ，

在中，，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即 ，

∴ ．

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，特殊锐角三角函数值是解题的关键．