北师大版九年级下册1 锐角三角函数巩固练习

专训1.1 锐角三角函数函数的定义及求值

一、单选题

1．（2021·全国·九年级专题练习）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（    ）

A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定

【答案】C

【分析】

直接利用锐角的正弦的定义求解．

【详解】

解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都缩小5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：C．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．

2．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB，而∠B＝∠ACD，即可把求sin∠ACD转化为求sinB．

【详解】

在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB=，

∵∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，

∴∠B＝∠ACD，

∴．

故选：A．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，利用了勾股定理，余角的性质，正弦三角函数等于对边比斜边．

3．（2021·上海市川沙中学南校九年级期中）已知AE、CF是锐角的两条高，若，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

首先表示出sin∠BAC=，sin∠ACB=，进而得出答案．

【详解】

解：如图所示：

∵sin∠BAC=，sin∠ACB=，=，

∴．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了锐角三角函数关系的定义，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．

4．（2021·山东·济南市莱芜实验中学九年级期中）在中，∠C=90°，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

作出图形，设，，利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦定义求解即可．

【详解】

解：如图，

，设，，

由勾股定理得，，

．

故选A．

【点睛】

本题考查了互余两角三角函数的关系，利用“设法”表示出三角形的三边求解更加简便．

5．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在Rt中，CD是斜边AB上的高，，则下列比值中不等于的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用锐角三角函数定义判断即可．

【详解】

在中， ,

在中， ,

, ,

,

在中，,

故选：D．

【点睛】

此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

6．（2021·上海宝山·九年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，那么∠B的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意画出图形，由勾股定理求出AB的长，再根据三角函数的定义解答即可．

【详解】

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB==5，

∴sin∠B=，

故选B．

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

7．（2021·辽宁瓦房店·九年级月考）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，则BC的长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．9

【答案】B

【分析】

根据锐角三角函数定义和勾股定理求解即可．

【详解】

解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，

∴cosA＝＝＝，

∴AB＝10，

∴BC＝＝＝8．

故选：B．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．

8．（2021·全国·九年级专题练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

首先利用勾股定理求得AB的长，然后利用余弦的定义即可求解．

【详解】

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴，

则cosA=．

故选：A．

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

9．（2021·河北·石家庄外国语学校九年级月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=3，AB＝5，则cosA的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据锐角的余弦值的定义解决此题．

【详解】

解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴cosA＝．

故选：A．

【点睛】

本题考查了锐角的余弦值，熟练掌握锐角的余弦值的定义是解题的关键．

10．（2021·吉林·长春外国语学校九年级期中）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切是（     ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】

过点作于点，过点作于点，则，，利用勾股定理可求出，的长，利用等面积法可求出的长，由勾股定理求出，再利用正切的定义可求出的正切值．

【详解】

过点作于点，过点作于点，则，，如图所示．

，，

在中，由等面积法得：，

即，

，

在中，,

．

故选：B．

【点睛】

本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出长度是解题的关键．

11．（2021·全国·九年级专题练习）中，，若，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据锐角三角函数的定义，设，则，利用勾股定理即可表示出的长，利用锐角三角函数的定义即可求得的值．

【详解】

解：∵在中，，

∴，，.

∵，设，

则，，

∴.

故选A.

【点睛】

本题考查了求锐角三角函数值的方法，勾股定理等知识点，解答本题的关键是利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法表示出三角形的边长，进而求值．

12．（2021·全国·九年级专题练习）在中，，如果，那么的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

设，则，根据勾股定理求出b，再利用三角函数定义求解即可；

【详解】

解：在△ABC 中， ∠C=90° ，由知，

设，则，结合，得，

可得；

故选A．

【点睛】

本题主要考查了三角函数定义和勾股定理，准确计算是解题的关键．

13．（2021·上海市川沙中学南校九年级期中）已知在中，，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，据此进行计算即可．

【详解】

解：在Rt△ABC中，

∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴tanA==．
故选：B．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义的应用，解题时注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则tanA=．

14．（2021·全国·九年级课时练习）在中，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

依题意，作出图形，设，则，进而求得，根据正切的定义求得即可．

【详解】

如图，在中，，

，

设，则，

由勾股定理可得，

．

故选A．

【点睛】

本题考查了锐角三角形函数的定义，求得是解题的关键．

15．（2021·吉林·长春市第八十七中学九年级月考）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC=4，那么下列各式中正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据三角函数的定义即可求解．

【详解】

解：如图，在Rt△ABC中，

∵∠C＝90°，AC＝3，BC=4，

∴,

∴，，．

故选：D

【点睛】

本题考查了三角函数的意义，熟知三角函数的意义是解题的关键．

二、填空题

16．（2021·上海虹口·九年级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，则sinB等于____．

【答案】

【分析】

根据正弦函数的定义“在直角三角形中，任意一锐角的对边比斜边的比叫做这个角的正弦”进行解答即可得．

【详解】

解：在中，，AC=6，AB=8，

则，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数，解题的关键是熟记正弦函数的定义．

17．（2021·上海宝山·九年级期中）已知△ABC中，∠ABC＝90°，如果AC＝5，sinA＝，那么AB的长是____．

【答案】4

【分析】

根据三角函数的定义，求得的长度，再根据勾股定理求解即可．

【详解】

解：由三角函数的定义可得：

又∵

∴

由勾股定理得

故答案为4

【点睛】

此题考查了三角函数的定义以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的有关定义．

18．（2021·山东栖霞·九年级期中）如图，的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则等于_________．

【答案】

【分析】

设小正方形的边长为1，过C作CD⊥AB于D，求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AB和AC，根据三角形的面积求出高CD长，根据勾股定理求出AD，再求出答案即可．

【详解】

解：设小正方形的边长为1，

过C作CD⊥AB于D，

S△ABC2，

由勾股定理得：AB2，AC2，

∴2CD，

解得：CD，

由勾股定理得：AD，

∴cos∠BAC，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了解直角三角形和勾股定理，能求出△ABC的面积是解此题的关键．

19．（2021·全国·九年级专题练习）在中，，，则等于________．20．（2021·山东招远·九年级期中）如图，在中，，，以边上的中线为折痕将折叠，使点落在点处，如果恰好与垂直，则____．

【答案】##

【分析】

根据直角三角形斜边中线的性质及折叠的性质得到∠D=∠A=∠MCD=∠ACM，再利用垂直的定义求出∠A=30°，由此得到答案．

【详解】

解：∵在中，，为边上的中线，

∴CM=AM=BM，

∴∠A=∠ACM，

由折叠得DM=AM，

∴CM=DM，

∴∠D=∠A=∠MCD=∠ACM，

∵CD⊥AB，

∴∠A+∠ACD=90°，

∴∠A=30°，

∴tan30°=，

故答案为：．

【点睛】

此题考查折叠的性质，直角三角形斜边中线的性质，垂直的定义，求特殊角度的正切值，熟记折叠的性质及直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．

21．（2021·浙江·宁波市海曙外国语学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接并延长至，连接，若满足，，则点的坐标为___．

【答案】

【分析】

根据相似三角形的判定和性质得出，进而得出，利用，得出，利用勾股定理解得，从而可知的长，进而可知的值，由，设，，的值列出关于的方程，解得的值，则可得点的坐标．

【详解】

解：，

，

即，

，

，

，，

，

，

，

，

，

由勾股定理可得：，

即，

解得：，

．

．

如图，过点作轴于点，

，

设，，

，

，

，

，

解得：，

经检验，是原方程的解．

点坐标为：．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用及解分式方程等知识点，熟练掌握相关性质定理并数形结合是解题的关键．

22．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点处，则的正弦值为______．

【答案】##

【分析】

根据网格的特点先计算的长度，进而可得是等腰三角形，找到的中点，连接，在中即可求得的值，即的正弦值．

【详解】

如图，

在中

．

故答案为：

【点睛】

本题考查了网格与勾股定理，等腰三角形的性质，正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．

23．（2021·辽宁·大连市第三十四中学九年级月考）在中，，若，则__．

【答案】

【分析】

根据题意画出相应图形，然后利用三角函数的定义及勾股定理求解即可．

【详解】

解：在中，，，

设，则，

∴，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，通过设参数的方法求三角函数值是解决本题的关键．

24．（2021·全国·九年级专题练习）在中，，若，，则______，______，______，______，______．

【答案】5                   

【分析】

根据勾股定理求出c，再利用锐角三角函数求出对应的三角函数值．

【详解】

解：在中，，

∴，

∴，，，，

故答案为：5，，，，．

【点睛】

此题考查利用锐角三角函数解直角三角形，勾股定理，熟记各锐角三角函数的求值公式是解题的关键．

25．（2021·全国·九年级课时练习）如图，各三角形的顶点都在方格纸的格点上，则_______，_______，_______．

【答案】           

【分析】

将、、置于直角三角形中，进而求出、、的值即可．

【详解】

解：如图所示，构造直角三角形，

∵在中，

，，

∵在中，

， ，

∵在中，

∵在中，

，，

∴；

故答案为；，．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是将所求角置于直角三角形中．

三、解答题

26．（2021·全国·九年级课时练习）分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值．

【答案】图（1），，，，，；图（2），，，，，

【分析】

根据勾股定理，可得直角三角形的另一边，根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，正切函数是对边比邻边，可得答案 ．

【详解】

解：（1） 图1由勾股定理得：

，

，，，

，，；

（2）图2 由勾股定理得：

，

，，，

，，．

【点睛】

本题考查了锐角三角函数， 利用锐角三角函数的定义是解题关键 ．

27．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?

【答案】AD=2

【分析】

作DE⊥AB于E，先利用勾股定理求出，然后证明△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，设AE=x，则DE=x，则，在Rt△BED中，，则BE=5x，再由即可求解．

【详解】

解：作DE⊥AB于E，如图，

∴∠AED=∠DEB=90°

∵∠C=90°，AC=BC=6，

∴，∠A=45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE=DE

在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，

∴

在Rt△BED中，，

∴BE=5x，

∴，

∴

∴

【点睛】

本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握解直角三角形的方法．

28．（2021·全国·九年级课时练习）如图，在Rt中，，求和的值．

【答案】图（1），，图（2），

【分析】

图（1）利用勾股定理求出的长度，再利用三角函数的定义求出，，图（2）利用勾股定理求出的长度，再利用三角函数的定义求出，即可．

【详解】

解：如图（1），在中，由勾股定理得

．

∴，．

如图（2），在中，由勾股定理得

．

∴，．

【点睛】

本题考查解直角三角形，勾股定理．掌握三角函数的定义是解答本题的关键．

29．（2021·全国·九年级课时练习）分别求出图中，的正弦值、余弦值和正切值．

【答案】图（1），，，，，；图（2），，，，，；图（3），，，，，

【分析】

先由勾股定理求出每个直角三角形未知的第三边，再由锐角三角函数的定义即可求得两个锐角的各个三角函数值．

【详解】

解：图（1）由勾股定理得：

∴，，，，，；

图（2）由勾股定理得：

，，， ，，；

图（3）由勾股定理得：

，，， ，，；

【点睛】

本题考查了锐角三角函数定义，掌握锐角三角函数的定义是关键．

30．（2021·全国·九年级课时练习）在中，，是边上的中线，，求和．

【答案】.，，

【分析】

利用，是边上的中线，先求解 证明再利用勾股定理求解 再由等角的三角函数值相等，从而可得答案.

【详解】

解：如图，，是边上的中线，

【点睛】

本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的定义，掌握锐角的正弦，余弦，正切的定义是解题的关键.